数学物理 (今日 10

数学类纯科学,物理和应用物理,但不包括核技术


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数学物理天文与空间科学

拓变论给出E=mc^2质能守恒转化的经典物理与量子物理的导出过程 从物理学的角度来看,由能功定义与关系来看,则有:E=W=∫Fdx=∫(dp/dt)dx=∫dp(dx/dt)=∫ud(mu)。并由此进行具体情况具体分析,则有如下有几种情况: 1是从数学角度有不同变量来看,则有只有速度为变量的时候,速度变化的原因是外力作用物质体系做功,即有∫mudu=mu^2/2=Ek,这是单纯的质体整体运动的动能。说白了就是动量对体系运动速度的积分就是动能,而动能对体系运动速度的微分就是动量,这就是这两者的关系,它们都隐含在经典物理学中的能功关系当中。这不是巧合吧? 2是从数学角度有不同变量来看,则又有只有质量为变量的时候,即当质量是变量的时候,质量变化的原因是质量体系内力做功,原子弹爆炸的核反应事实告诉我们,物质质量瓦解以量子辐射的形式转化为能量形态;这量子辐射的速度就是光速,因此则有:∫ud(mu)=∫u^2dm=∫c^2dm=mc^2=E,这是单纯的内能或质能或核能。这也不是巧合吧? 3是动能属于运动体系的外在能量,质能属于体系的内在能势。全能=动能+质能:E全=mc^2+mu^2/2=E+Ek。因此再从数学的全微分角度来看,即速度为变量和质量为变量的具体情况,合起来则有:∫ud(mu)=∫(u^2dm+mudu)=mc^2+mu^2/2=E+Ek。这种情况也不是巧合吧?并且还具有逻辑一贯性,这也不是巧合吧?






作者:中国科学院国家天文台 刘博洋,出品方:科普中国;本社转发时略有改动。 第一部分 大新闻懒人包 1、到底发现了啥? 简单说,一次引力波事件。 而且是跟以前所有几次引力波事件都不同的一次。 以前几次,都是双黑洞并合。并合完,还是黑的,啥也看不着。 这次是双中子星并合,并合完,火光冲天,宇宙里的文明都看到了。 2、为啥天文学家这么兴奋? 同上,因为俩中子星并合完不是黑的,能看到。 所以所有听说了这事儿的人,只要有自己的望远镜,都拼了老命想要去看一下。 而且,基本上大家都看到了。 据不完全统计,全球一共有70架以上的各种天文望远镜参加了观测,这些观测覆盖了整个电磁波段:光学、红外、紫外、高能、射电。 本文开篇的视频,展示了全球各地光学望远镜跟进观测的情况。(可以翻回去再看一遍) 南美、夏威夷、澳洲、南非、西班牙……全球所有顶级天文台都像疯了一样。 从东向西,随着黑夜降临在一个个大陆,各个天文台一波波的开工,接力完成了对这个事件的跟进观测。 注意南极也有一个小光点!是什么看下文 5。 3、这事对天文学有啥意义? 最大的意义是:引力波和传统天文学终于成功的并肩作战。 从今以后,“引力波”领域,终于毫无疑问的成为天文科学的一员。 在此之前,射电天文学的加入,让光学和射电成为天文学的两架马车;空间望远镜的加入,让电磁波的全波段天文时代降临;宇宙线和中微子的加入,又让我们看到了“多信使天文学”时代的曙光。 (本次事件的X射线图像) 然后,我们看到了引力波。 如今,我们用引力波和电磁波一起看到了一场宏大宇宙烟火的前后全貌。 一个新的时代——多信使天文学全面开张的时代——来了! 4、这事对普通人有啥意义? 愚蠢的人类终于知道了黄金怎么来的。 (如果你还不知道,往下看) 5、中国这回掺和没? 掺和了。掺和了不少。 紫金山天文台的南极巡天望远镜,参与了光学波段的后续观测。 (摄影:李正阳) 中科院高能物理研究所的“慧眼”X射线望远镜(HXMT),参与了X射线波段的后续观测。 清华大学等单位的研究人员,通过和LIGO组织合作,参与了引力波信号分析。 但对这次来说,主要是前两条。 第二部分 稍微细一点 1、这次的引力波长啥样? 引力波长啥样,听听就知道了。以下视频的背景音是在双中子星即将发生并合前,由于相互绕转频率不断提高而发出的所谓“鸟鸣”(Chirp)。 https://www.youtube.com/watch?v=vTeAFAGpfso (国内用户需科学上网) 如果你还记得去年刚发现引力波时候的那个chirp,你会发现体验完全不一样——那次的只有不到1秒,而这次在音频中出现的就有将近1分钟——实际上,这次LIGO一共探测到了大约100秒! 2、为啥这次探测到这么长的“鸟鸣”? 一方面因为中子星并合本来就需要比较久的旋进阶段,另一方面就是,因为近啊! 人们很早就怀疑短伽马暴起源于双中子星并合,此前的短伽马暴通过查找宿主星系的办法,也有一些能得到距离的,但通常都极远,往往在几十亿光年开外,而这次,只有1.3亿光年!是最近的一次短伽马暴! 因为特别近,信号就比较强,前面比较弱的部分就能看到比较多,也就探测到了超长的旋进阶段。 3、这次怎么找到引力波源位置的? 去年只有LIGO两个站的时候,我们只能大体把引力波源定位在天空中一个大圈上,而今年随着欧洲Virgo引力波探测器的加入,引力波源定位的精确度大大提高! 如下图所示,本次引力波事件,GW170817,被定位在了大约31平方度的非常小的天区内!(下图黄色区域) 在LIGO&Virgo探测到引力波之后的短短不到两秒,费米卫星也独立探测到了双中子星并合产生的伽马暴。 引力波探测器给出的定位结果(绿色),和费米卫星给出的定位(蓝色),非常吻合: 但是其实,31个平方度说小也不小。 下图是后来发现了引力波源的星系 NGC 4993 周围 3 平方度的天区,蓝色椭圆标记出了这里面所有已知的星系。可以发现 NGC 4993 刚好位于一个星系团旁边,里面星系多得很。而 31 个平方度里,星系自然就更多。 一个一个看过去,什么时候才能找到呢? 虽然有好几十台望远镜参加观测,能在一天之内就找到,也太快了吧! ——实际上,事情没有那么复杂。 LIGO & Virgo 在收到引力波信号后,会根据信号强度估计一个距离。这一次他们给出的是40±0.8 Mpc(Mpc=百万秒差距=326万光年)。我用这个距离范围在 NGC 4993 周围 ~300 个平方度里搜,记录在册的星系一共也就21个。考虑到事情发生的时候出于慎重可能会把距离范围放宽点,但在31度天区中真正需要查证的,也还是只有几十个星系而已。 比找MH370容易多了。 4、这次看到的引力波源“光学对应体”,长啥样? 下图是欧洲南方天文台几架不同的望远镜捕捉到的画面。虽然画质高下有别,在星系中心左上边一点,都看到了同一个小亮点——也就是双中子星并合之后持续发光的,被称作“千新星”的现象。(左上角是2014年拍的对比图,这张上没有这次的小亮点。) 特别有意思的是,在持续十几天的不间断跟踪观测中,我们发现这个千新星的颜色会变!变的越来越红! 这主要是因为爆炸之后,抛射物的温度无法维持,在刚爆发的短期内尚且有一些重元素衰变发光发热,但很快颜色就被降温导致的黑体辐射峰值向红端移动而主导了。 5、双中子星并合具体什么样? 前面已经放过并合的一个艺术家想象动画,下面再放个科学一点的模拟。 它展示了双中子星并合最后几十毫秒发生了什么。 两颗中子星在互相绕转的最后阶段,都在对方引力作用下发生了明显的变形。相接触的瞬间,整颗星体瓦解,大部分物质融合在一起成为了新的中心天体,要么是大质量中子星,要么是黑洞。还有不少物质在解体中抛向空间。这些富中子物质会形成大量富中子的不稳定同位素,并通过衰变释放出大量辐射,这一过程的光度可达一般新星事件的千倍,所以这个现象被命名为“千新星”。 千新星事件虽然不是第一次被看到,但结合了引力波和电磁波全波段观测数据的这次事件,让我们可以更透彻的研究“千新星”事件到底是怎么回事。 6、所以黄金到底怎么来的? 上一段说了,中子洒出来之后,会产生很多所谓富中子的不稳定同位素,也就是说很多原子核中包含大量中子的元素,这些中子会迅速衰变成质子,产生大量原子序数(即原子核中的质子数)较高的重元素,其中就包括金。 先前人们曾经认为重元素主要由超新星爆发产生,但后来发现超新星爆发不是一个足够有效的机制,于是双中子星并合被寄予厚望。 7、中子星?夸克星? 我们一直说“双中子星并合”,但实际上对于中子星是不是“中子”星,在天文学界是有争议的——一部分理论学家认为,这些致密天体可能是由更基本的粒子夸克组成的,应该被叫做“夸克星”。 检验这种致密星到底是由“中子”还是“夸克”构成,最直接的办法应该是去测量星体的质量和半径。因为夸克星原则上会更致密。但是这些致密星太小,用我们现有的观测手段很难给出精确的测定。 另一种思路,就是利用双星并合时的现象——前面说了,“千新星”这种现象只有在富中子的环境才能发生。而大量的中子来自于中子星,所以如果我们在双致密星并合后能看到“千新星”现象,说明这些致密星的本质应该是中子星,而如果看不到,则更有理由倾向于夸克星的假说。 就这次的观测证据来说,“中子”星一派占据了上风。 8、这次事件还告诉我们什么 还告诉宇宙膨胀有多快。也就是测定了哈勃常数。 一方面,引力波观测可以通过接收到引力波的强度,算出源天体的光度距离;另外通过源天体所在的星系红移的测量,我们知道它的退行速度。结合起来,就算出了宇宙膨胀有多快。 当然这一次事件给出的测量精度还没有比我们此前已经获得的结果更好,不过随着未来类似观测的积累,引力波与电磁波的联合观测还是可以给出越来越精确的,对宇宙膨胀速度的独立估计。 9、仍然未解的迷 我们不知道并合后形成的是中子星还是黑洞。 我们认为中子星的质量有个上限,叫做奥本海默极限。超过了这个极限,中子星就会坍缩成黑洞——但在理论上,这个极限究竟是多少,还有争议。争议的原因就是上面7中所说的,理论学家对中子星的具体构成有不同的见解。而我们通过引力波的观测知道了系统总质量为2.74个太阳质量,刚好在“争议区”,于是无法判断这是不是足以形成黑洞。 10、小望远镜的威力 在这次全球观测天文学家的大联欢中,小望远镜发挥了功不可没的重要作用。 率先在星系 NGC 4993 中找到引力波光学对应体的,是欧南台的 Swope 望远镜,口径1.02米。 要知道在专业天文学界,1米口径是相当小的光学望远镜了。 而更让人惊讶的是,这次还有很多台40~60厘米的超轻量级望远镜加入战斗——这对天文爱好者来说可能还算是镇宅之宝,对专业天文学来说,有点玩具的意思了。 甚至,盛会中还有一个口径25厘米的 TAROT 望远镜。(下图右下) 不过这些“玩具”其实近年来越来越多出现在专业天文学的一个领域:时域天文学。小望远镜有很多优势:成本低,方便大规模采购投放;通常视场范围比较大,结合数量优势,可以快速的开展大面积巡天——这正是搜寻引力波光学对应体所必备的能力。 系外行星搜寻、超新星搜寻、微引力透镜搜寻……还有很多有趣的科学领域,是小望远镜能够一展身手的地方。 11、欧南台的“舰队” 在看文首视频的时候,有没有被智利北部密集的光点吓到? (图为欧南台所属智利 La Silla 天文台) 欧南台在新闻中用“舰队”来形容自己的望远镜们——这支舰队,不只有8米、10米级的“航空母舰”,更有一大堆4-6米级的“巡洋舰”、2-3米级的“护卫舰”、1米级以下的“保障船只”,乃至其他波段的“协同军种”,共同构成了令人望而生畏的欧南台舰队。 下图展示了欧南台参与本次联合观测的部分“大船”。紫外、可见光、红外、射电,都有。 说实话,看欧南台在智利下饺子,再看看国内这几台望远镜,还真有点20年前看中国军队的那种望穿秋水的感觉。尤其是看到欧南台里还放着很多日本、韩国等国家的望远镜,真希望中国也能在这样世界上观测条件最好的地方有自己的望远镜。 幸好这次还有南极巡天望远镜和慧眼卫星给中国撑场子,不然真的是毫无脸面了。 希望中国天文的盛世,早点来吧!

作者:中国科学院国家天文台 刘博洋,出品方:科普中国;本社转发时略有改动。 第一部分 大新闻懒人包 1、到底发现了啥? 简单说,一次引力波事件。 而且是跟以前所有几次引力波事件都不同的一次。 以前几次,都是双黑洞并合。并合完,还是黑的,啥也看不着。 这次是双中子星并合,并合完,火光冲天,宇宙里的文明都看到了。 (附件:278302) 2、为啥天文学家这么兴奋? 同上,因为俩中子星并合完不是黑的,能看到。 所以所有听说了这事儿的人,只要有自己的望远镜,都拼了老命想要去看一下。 而且,基本上大家都看到了。 据不完全统计,全球一共有70架以上的各种天文望远镜参加了观测,这些观测覆盖了整个电磁波段:光学、红外、紫外、高能、射电。 本文开篇的视频,展示了全球各地光学望远镜跟进观测的情况。(可以翻回去再看一遍) 南美、夏威夷、澳洲、南非、西班牙……全球所有顶级天文台都像疯了一样。 (附件:278303) 从东向西,随着黑夜降临在一个个大陆,各个天文台一波波的开工,接力完成了对这个事件的跟进观测。 注意南极也有一个小光点!是什么看下文 5。 3、这事对天文学有啥意义? 最大的意义是:引力波和传统天文学终于成功的并肩作战。 从今以后,“引力波”领域,终于毫无疑问的成为天文科学的一员。 在此之前,射电天文学的加入,让光学和射电成为天文学的两架马车;空间望远镜的加入,让电磁波的全波段天文时代降临;宇宙线和中微子的加入,又让我们看到了“多信使天文学”时代的曙光。 (附件:278316) (本次事件的X射线图像) 然后,我们看到了引力波。 如今,我们用引力波和电磁波一起看到了一场宏大宇宙烟火的前后全貌。 一个新的时代——多信使天文学全面开张的时代——来了! 4、这事对普通人有啥意义? 愚蠢的人类终于知道了黄金怎么来的。 (附件:278304) (如果你还不知道,往下看) 5、中国这回掺和没? 掺和了。掺和了不少。 紫金山天文台的南极巡天望远镜,参与了光学波段的后续观测。 (附件:278305) (摄影:李正阳) 中科院高能物理研究所的“慧眼”X射线望远镜(HXMT),参与了X射线波段的后续观测。 清华大学等单位的研究人员,通过和LIGO组织合作,参与了引力波信号分析。 但对这次来说,主要是前两条。 第二部分 稍微细一点 1、这次的引力波长啥样? 引力波长啥样,听听就知道了。以下视频的背景音是在双中子星即将发生并合前,由于相互绕转频率不断提高而发出的所谓“鸟鸣”(Chirp)。 https://www.youtube.com/watch?v=vTeAFAGpfso (国内用户需科学上网) (附件:278306) 如果你还记得去年刚发现引力波时候的那个chirp,你会发现体验完全不一样——那次的只有不到1秒,而这次在音频中出现的就有将近1分钟——实际上,这次LIGO一共探测到了大约100秒! 2、为啥这次探测到这么长的“鸟鸣”? 一方面因为中子星并合本来就需要比较久的旋进阶段,另一方面就是,因为近啊! 人们很早就怀疑短伽马暴起源于双中子星并合,此前的短伽马暴通过查找宿主星系的办法,也有一些能得到距离的,但通常都极远,往往在几十亿光年开外,而这次,只有1.3亿光年!是最近的一次短伽马暴! 因为特别近,信号就比较强,前面比较弱的部分就能看到比较多,也就探测到了超长的旋进阶段。 3、这次怎么找到引力波源位置的? 去年只有LIGO两个站的时候,我们只能大体把引力波源定位在天空中一个大圈上,而今年随着欧洲Virgo引力波探测器的加入,引力波源定位的精确度大大提高! 如下图所示,本次引力波事件,GW170817,被定位在了大约31平方度的非常小的天区内!(下图黄色区域) (附件:278307) 在LIGO&Virgo探测到引力波之后的短短不到两秒,费米卫星也独立探测到了双中子星并合产生的伽马暴。 引力波探测器给出的定位结果(绿色),和费米卫星给出的定位(蓝色),非常吻合: (附件:278308) 但是其实,31个平方度说小也不小。 下图是后来发现了引力波源的星系 NGC 4993 周围 3 平方度的天区,蓝色椭圆标记出了这里面所有已知的星系。可以发现 NGC 4993 刚好位于一个星系团旁边,里面星系多得很。而 31 个平方度里,星系自然就更多。 (附件:278309) 一个一个看过去,什么时候才能找到呢? 虽然有好几十台望远镜参加观测,能在一天之内就找到,也太快了吧! ——实际上,事情没有那么复杂。 LIGO & Virgo 在收到引力波信号后,会根据信号强度估计一个距离。这一次他们给出的是40±0.8 Mpc(Mpc=百万秒差距=326万光年)。我用这个距离范围在 NGC 4993 周围 ~300 个平方度里搜,记录在册的星系一共也就21个。考虑到事情发生的时候出于慎重可能会把距离范围放宽点,但在31度天区中真正需要查证的,也还是只有几十个星系而已。 比找MH370容易多了。 4、这次看到的引力波源“光学对应体”,长啥样? 下图是欧洲南方天文台几架不同的望远镜捕捉到的画面。虽然画质高下有别,在星系中心左上边一点,都看到了同一个小亮点——也就是双中子星并合之后持续发光的,被称作“千新星”的现象。(左上角是2014年拍的对比图,这张上没有这次的小亮点。) (附件:278310) 特别有意思的是,在持续十几天的不间断跟踪观测中,我们发现这个千新星的颜色会变!变的越来越红! (附件:278311) 这主要是因为爆炸之后,抛射物的温度无法维持,在刚爆发的短期内尚且有一些重元素衰变发光发热,但很快颜色就被降温导致的黑体辐射峰值向红端移动而主导了。 5、双中子星并合具体什么样? 前面已经放过并合的一个艺术家想象动画,下面再放个科学一点的模拟。 它展示了双中子星并合最后几十毫秒发生了什么。 (附件:278312) 两颗中子星在互相绕转的最后阶段,都在对方引力作用下发生了明显的变形。相接触的瞬间,整颗星体瓦解,大部分物质融合在一起成为了新的中心天体,要么是大质量中子星,要么是黑洞。还有不少物质在解体中抛向空间。这些富中子物质会形成大量富中子的不稳定同位素,并通过衰变释放出大量辐射,这一过程的光度可达一般新星事件的千倍,所以这个现象被命名为“千新星”。 千新星事件虽然不是第一次被看到,但结合了引力波和电磁波全波段观测数据的这次事件,让我们可以更透彻的研究“千新星”事件到底是怎么回事。 6、所以黄金到底怎么来的? 上一段说了,中子洒出来之后,会产生很多所谓富中子的不稳定同位素,也就是说很多原子核中包含大量中子的元素,这些中子会迅速衰变成质子,产生大量原子序数(即原子核中的质子数)较高的重元素,其中就包括金。 先前人们曾经认为重元素主要由超新星爆发产生,但后来发现超新星爆发不是一个足够有效的机制,于是双中子星并合被寄予厚望。 7、中子星?夸克星? 我们一直说“双中子星并合”,但实际上对于中子星是不是“中子”星,在天文学界是有争议的——一部分理论学家认为,这些致密天体可能是由更基本的粒子夸克组成的,应该被叫做“夸克星”。 检验这种致密星到底是由“中子”还是“夸克”构成,最直接的办法应该是去测量星体的质量和半径。因为夸克星原则上会更致密。但是这些致密星太小,用我们现有的观测手段很难给出精确的测定。 另一种思路,就是利用双星并合时的现象——前面说了,“千新星”这种现象只有在富中子的环境才能发生。而大量的中子来自于中子星,所以如果我们在双致密星并合后能看到“千新星”现象,说明这些致密星的本质应该是中子星,而如果看不到,则更有理由倾向于夸克星的假说。 就这次的观测证据来说,“中子”星一派占据了上风。 8、这次事件还告诉我们什么 还告诉宇宙膨胀有多快。也就是测定了哈勃常数。 一方面,引力波观测可以通过接收到引力波的强度,算出源天体的光度距离;另外通过源天体所在的星系红移的测量,我们知道它的退行速度。结合起来,就算出了宇宙膨胀有多快。 当然这一次事件给出的测量精度还没有比我们此前已经获得的结果更好,不过随着未来类似观测的积累,引力波与电磁波的联合观测还是可以给出越来越精确的,对宇宙膨胀速度的独立估计。 9、仍然未解的迷 我们不知道并合后形成的是中子星还是黑洞。 我们认为中子星的质量有个上限,叫做奥本海默极限。超过了这个极限,中子星就会坍缩成黑洞——但在理论上,这个极限究竟是多少,还有争议。争议的原因就是上面7中所说的,理论学家对中子星的具体构成有不同的见解。而我们通过引力波的观测知道了系统总质量为2.74个太阳质量,刚好在“争议区”,于是无法判断这是不是足以形成黑洞。 10、小望远镜的威力 在这次全球观测天文学家的大联欢中,小望远镜发挥了功不可没的重要作用。 率先在星系 NGC 4993 中找到引力波光学对应体的,是欧南台的 Swope 望远镜,口径1.02米。 要知道在专业天文学界,1米口径是相当小的光学望远镜了。 而更让人惊讶的是,这次还有很多台40~60厘米的超轻量级望远镜加入战斗——这对天文爱好者来说可能还算是镇宅之宝,对专业天文学来说,有点玩具的意思了。 甚至,盛会中还有一个口径25厘米的 TAROT 望远镜。(下图右下) (附件:278313) 不过这些“玩具”其实近年来越来越多出现在专业天文学的一个领域:时域天文学。小望远镜有很多优势:成本低,方便大规模采购投放;通常视场范围比较大,结合数量优势,可以快速的开展大面积巡天——这正是搜寻引力波光学对应体所必备的能力。 系外行星搜寻、超新星搜寻、微引力透镜搜寻……还有很多有趣的科学领域,是小望远镜能够一展身手的地方。 11、欧南台的“舰队” 在看文首视频的时候,有没有被智利北部密集的光点吓到? (附件:278314) (图为欧南台所属智利 La Silla 天文台) 欧南台在新闻中用“舰队”来形容自己的望远镜们——这支舰队,不只有8米、10米级的“航空母舰”,更有一大堆4-6米级的“巡洋舰”、2-3米级的“护卫舰”、1米级以下的“保障船只”,乃至其他波段的“协同军种”,共同构成了令人望而生畏的欧南台舰队。 下图展示了欧南台参与本次联合观测的部分“大船”。紫外、可见光、红外、射电,都有。 (附件:278315) 说实话,看欧南台在智利下饺子,再看看国内这几台望远镜,还真有点20年前看中国军队的那种望穿秋水的感觉。尤其是看到欧南台里还放着很多日本、韩国等国家的望远镜,真希望中国也能在这样世界上观测条件最好的地方有自己的望远镜。 幸好这次还有南极巡天望远镜和慧眼卫星给中国撑场子,不然真的是毫无脸面了。 希望中国天文的盛世,早点来吧!




[paragraph]太神奇!飞秒激光技术新进展 摘要 :金属的氧化腐蚀一度是件让人头疼的事。如何让金属不在岁月中失去光泽?飞秒激光技术从光学手段入手,不但让金属免遭腐蚀,还能将其变成神奇的超疏水材料。 水是生命之源,哪怕在一些只能算作潮湿的地方,细菌等微生物都能够得以生存或成长;同时水也是许多化学反应所需的基本条件,比如因水的存在,金属会以不被察觉的速度氧化。 不过在许多地方,人们并不希望金属氧化或菌落滋生——比如室外的天线、飞机的机翼、煮饭的锅……人们期待将一些疏水、超疏水材料用在这些地方。 其实超疏水材料在我们身边比比皆是:“出淤泥而不染,濯清涟而不妖”的荷花、荷叶就是典型的超疏水材料,许多昆虫的足上也有超疏水材料,比如大名鼎鼎的水黾,它们正是靠着“不沾水的腿”,在水面行走如飞。 在疏水材料家族中,鲜见金属的身影。不过,美国罗切斯特大学光学院的物理学家郭春雷(音译)与同事最新的研究发现,利用一项叫作飞秒激光的技术,他们能够把金属变成比荷花还要疏水的“极疏水材料”。疏水效果之强,以至于水滴滴在金属表面不仅不会散开,甚至会不断弹起。 飞秒激光让金属获超疏水“技能” 这项听来让人难以置信的研究刊发于美国物理联合会1月20日出版的《应用物理杂志》上。郭春雷研究团队使用超高能且超短的激光脉冲来改变金属的表面,持续时间为毫微微秒(即飞秒)量级。他们用这样的超短飞秒脉冲轰击铂、钛、铜3种样品,获得了上述新型的表面材料。 这种工艺的优势在于“激光在金属上创造的结构本质上是材料表面的一部分。”郭春雷在近期的新闻报道中说,这意味着它们不会被擦掉,并且正是这些结构使得金属具有超级疏水性能。 据研究人员介绍,超能激光脉冲在金属表面刻蚀出大量肉眼不及的诸如洼坑、小珠状和细纹等“痕迹”,这些痕迹形成了密集分布且高低不平的纳米微结构。这种纳米微结构从根本上改变了金属表面的光学性质和润湿性质。 特氟龙是一种常规疏水材料,常作为“不粘锅”涂层的不二之选。但飞秒激光处理过的金属材料远比特氟龙光滑。水滴从特氟龙涂层表面滚落,需要在水滴滚落之前将这个表面倾斜到70度,而经飞秒激光轰击过的金属,只需要倾斜不到5度甚至不必倾斜,水滴就能从表面滚落。 此外,水滴从超疏水表面反弹的同时,会收集并带走灰尘颗粒。为了测试材料的自清洁性能,郭春雷团队将从吸尘器里取出的普通灰尘洒在处理过的材料表面,只用了3滴水就将约一半的灰尘清除了,使表面一尘不染也只用了十几滴水,而且表面始终保持干燥。 应用前景深远而广泛 金属的氧化腐蚀一度是件让人头疼的事。让金属不被腐蚀,不在岁月中失去光泽,是人类一直追寻的目标。从油漆、合金到纳米涂层,人们不断更新着对金属的疏水手段。而今,飞秒激光技术则从光学角度入手,不但让金属免遭腐蚀,更将之变成神奇的超疏水材料。方法简单、有效,有望颠覆未来疏水材料的生产工艺。 郭春雷认为,这种超疏水材料在发展中国家有着巨大的应用潜力。“在这些区域,收集雨水是至关重要的,使用超疏水材料可以提高效率,而且不再需要使用具有尖角的大漏斗来防止水滞留在表面。”郭春雷说,“另一种应用是制造使用起来更加清洁和健康的厕所。” 在缺水地区,保持厕所的清洁是一项挑战,使用超疏水材料,不必使用水冲刷即可保持厕所清洁。 据外媒报道,这种应用潜力激起了比尔和梅林达·盖茨基金会的兴趣,他们已经开始支持这项工作。 目前有报道飞秒激光可以用在聚合物加工、医学成像及外科医疗上。镭射视力矫正(LASIK)可以利用飞秒激光制作角膜瓣。飞秒激光矫治近视手术现已是本世纪最先进的眼科手术。除此之外,飞秒激光技术也可被应用在固态物理上,以此分析晶体结构,分析其衍射或者荧光光谱图。在基础科学研究领域,飞秒激光可用于超快现象的研究。 由于超疏水材料能大幅度降低载具在水中甚至空气中的运动阻力,该项研究对设计高速水上、水下和空中交通工具也具有重要参考价值。 尚待攻取的技术高地 和许多实验室里声名卓著的成果一样,“超疏水金属表面”潜在应用变成现实之前仍然有很多挑战。郭春雷指出,目前处理1平方英寸(约合6.45平方厘米,面积相当于一张普通扑克牌大小)的金属样板需要1小时的时间。在应用到发展中国家之前,这一生产过程需要规模化。研究人员目前也在寻找在其他非金属材料上使用此项技术的方法。 此外,郭春雷团队目前正计划集中精力提高用激光蚀刻表面的速度,同时研究怎样将这项技术扩展到其他材料,比如半导体或者电介质。 郭春雷强调,同一项技术可以用于制取多功能金属材料。金属都是光的优秀反射体,这就是它们都有光泽的原因,而把金属变暗可以使它们高效地吸光。2006年底,郭春雷和他的研究小组曾用激光束处理金属铝,在金属表面创造出能够吸收几乎所有光线的纳米结构,可让普通铝块变成至今所创造出来的最暗的材料之一。 而将吸光特性与憎水性相结合可以得到不锈蚀且不需要太多清理的更高效的太阳能收集器。此外,潜在的应用还包括更先进的隐身技术。 延伸阅读 神奇的飞秒激光技术 飞秒激光是指时域脉冲宽度在飞秒(10-15秒,相当于1秒的一千万亿分之一)量级的激光。据了解,飞秒激光不是单色光,而是在中心波长左右的一段波长连续变化的光的组合,利用这段范围内连续波长光的空间相干来获得时间上的极大压缩,从而实现飞秒量级的脉冲输出。 如果1飞秒等同1秒,那么原先的1秒就约为3200万年。正因为这种飞秒激光脉冲持续时间极短,输出飞秒脉冲的功率峰值可以达到与整个北美电网功率相当的水平。可喜的是,虽然产生的激光强度令人难以置信,但飞秒激光器只须用墙壁上的普通电源插座就能驱动——短脉冲激光器通常利用锁模技术来实现,这意味着一旦此工艺经过改良,操作起来会相对简单。 飞秒激光是人类目前在实验室条件下所能获得最短脉冲的技术手段,并已有所应用。科学家预测飞秒激光将为下个世纪新能源的产生发挥重要作用。 《中国科学报》 (2015-03-06 第8版 新知)






材料:硬纸盒+光盘一个 然后。。光盘剪下一片,热熔胶粘上。。 注意调节光盘角度,使能从观察孔看见彩色的光谱 盒子内部涂成黑色是为了减少反射光线干扰光谱的观察 盒子前面用锡纸做个进光用的窄缝 完成。。 注意观察口和窄缝是分别在盒子不同的两端的蛤。。 用来对着大号白炽灯"浴霸"拍一张 钨丝灯发出的光谱是均匀的连续光谱。。 用Octave(开源版matlab)把光谱部分截出来 (RGB分别的分量) 很漂亮。。但是怎么知道具体的波长呢? 按照人眼的感光特性,R,G,B三种视椎细胞分别对559,531,419nm波长的光响应最大。。也就是图中的峰值。。 虽然没有查相机CCD感光单元的特性,但是不负责任地推断一下,既然相机拍出的照片人眼看起来并无异常,那么就可以姑且认为它对不同波长的光响应特性余人眼类似。。于是用三个波峰的位置对三个波峰的波长做一下拟合就可以得出其余各点的波长。。(实际上相机的曲线受白平衡等设置和具体CCD参数的影响,要更精确的校准应使用多个不同的激光笔等单色光源。。不过手上没有。。) 实践证明对于精确度不高的应用使用简单的线性回归就能达到较好的近似。。 节能灯(黄色)光谱: LED背光液晶屏幕(白)光谱: 附送:matlab代码 jiaozhun.m 1.40k 5次 fenguang.m 412b 4次 先使用"jiaozhun.m"对波长轴校准(须准备白炽灯) 然后使用"fenguang.m"来查看其他光谱。 注意: 1.校准用图片和后来查看的图片用照相机拍摄的角度和位置必须完全一致,推荐的做法是把简易光谱仪用透明胶粘在相机上确保不会移动。。 2.无需自己剪切图片。。程序中自带剪切功能。。但请注意保持图片方向与光谱方向完全一致,左蓝右红,不要歪斜。。


最近看了某论坛的帖子,发现人们对宇宙速度有误解,认为只有达到第一宇宙速度才能飞出地球。虽然航天工程中的确是这样办的,但是如果这样理解就完全错了。中学教科书对于宇宙速度的讲解,巧妙的偷换了概念,让大多数同学根据正确的理论做出了错误的理解。事实上,假设某火箭保持1m/s的速度往地球外面飞,只要时间足够,它总能飞出去,与什么宇宙速度毛关系都没有。 下面来说明为什么干航天需要飞到第一宇宙速度。举个简单的例子,一个垂直起降火箭,如果悬停在空中,发动机需克服火箭的全部重力(假设是在地面附近)。此火箭发动机工作1小时,消耗100吨燃料,仍然保持在原地,不能飞出地球。这种燃料的消耗将比直升飞机大得多,实际上用现在比冲最高的化学发动机,做出一个假设质量不变,但全部质量都是燃料的火箭,最多克服地球引力大概7分钟。如果我们把推力加大到7倍,但是只工作1分钟,火箭能达到多快速度呢?大于3.6公里/秒(大于是因为随着燃料消耗,火箭实际上变轻了),如果加大到14倍,但只工作30秒呢?大于3.9公里/秒。准确的计算要用微积分,如果同学们有兴趣,可以推导一下单级火箭的理论最大速度,先假设这个火箭的比冲300秒,死重为零。再看看这个推导与齐奥尔科夫斯基公式有啥关系? 用不严谨但通俗的话说,由于燃料是有限的,不可能保持1m/s的速度无限长时间,所以为了飞出地球,只能用速度换取向心加速度,产生所谓“离心力”,以便克服引力,这样才会有一二三宇宙速度的运用。如果不考虑空气阻力和发动机效率的变化,越快达到高速就越省燃料,因为克服重力的燃料是白白浪费掉的,占的比例越少当然越好。 另外,并不是达到了宇宙速度就一定能飞出星球。如果方向始终背离星球,不能换取一丁点“离心力”,那么一旦失去动力,就会被引力减速,直到垂直速度变为零,然后开始反方向加速,最后掉回星球上面。引力会随着距离的增加而降低,如果火箭的速度并不垂直于星球表面,还能换取一点向心加速度,以至于当垂直速度减速至零时,向心加速度刚好与引力平衡,这个火箭就会以较低的速度围绕星球旋转。 速度比第一宇宙速度快的陨石多了去了,不一样的撞上地球了吗。 通俗的讲就是这样吧。



看着图不错,就转来了。 据国外媒体报道,俄罗斯联邦航天局公布了一系列太阳系想象图,假如我们的太阳被北极星、天狼星和半人马座阿尔法星取代,那么地球上会出现何种情形?同理,如果月球被木星、土星、水星等行星取代,我们又会看到何种情形?图中显示的是半人马座阿尔法星取代太阳的情景,我们可以看到阿尔法星A和B在天空中同 时出现。 太阳被50亿年后的自己取代的情景。50亿年后,太阳会变成一颗红巨星,占据天空的很大面积,大地被烤焦,一切生命化为灰烬。这才是真正的世界末日,只是时间的问题。 图中显示的为太阳被大角星取代后的情景,后者是一颗红巨星,也是夜空中第四亮的恒星,如果太阳被大角星取代,那么我们的大部分天空都会大角星“填满”。 天狼星是地球夜空中最亮的恒星,几乎是太阳的两倍,如果天狼星取代了太阳,那么我们的世界将变成一片明亮,几乎无法睁开眼睛。由此可见,如果天狼星系统存在生命,它们应该能够“无视”这些刺眼的光芒。 图中的画面仍然是大角星取代太阳后的情景,只不过这时候处于“夕阳”状态。大角星的体积巨大,日落时的景象也十分迷人。 如果月球被其他行星取代,又会呈现何种情形呢?图中显示的为火星取代月球的画面,可以看出火星的块头其实很小,即便取代了月球,也没有出现非常惊人的画面。 这张图是地球取代月球的情景,如果我们对比上一张,就很容易察觉到地球其实比火星大得多,蓝色的地球与火星毫无生机的表面形成了鲜明的对比。 以上都是一些体积相对较小的恒星或者行星取代太阳和月球的画面,本图展示的是北极星取代太阳的模样,由于北极星体积非常大,几乎占据了半个天空,全世界都会变成异常明亮。 土星取代月球后我们可以看到巨大的土星环,环上那颗天体是土卫四,巨大的土星环和土星构成了一幅非常美丽的画面。 木星取代月球的情景。 转自:腾讯科技



已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。

已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。



家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。   这是死星(死星地球仪) 这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣 要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。 所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz 据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。 所以可以成类似以下的旋转体 也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。     这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。

家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。   这是死星(死星地球仪)(附件:273727) 这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣 (附件:273728) 要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。 (附件:273729) 所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz 据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。 所以可以成类似以下的旋转体 (附件:273730) 也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。     这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。



我们不能说这篇文章一定正确,因为用演绎的顺序还是归纳法来安排教学顺序,外国教育界是有分歧的.不过对于觉得数学难学的同学耒说,这篇文章一定会有用. 转帖,原发 matrix67 注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确 的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保 留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。 我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好 者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专 业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴 趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花 时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本 谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。 我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在 一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难 的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其 不靠谱。 这个我深有体会。最近两年,我一直在做初中数学培训,有了一些自己的看法。数学教 育大致分成三个阶段,看山是山看水是水,看山不是山看水不是水,看山是山看水是水。 最早数学教育就是,教你几个定理,告诉你它们是怎么证的,再让你证明一些新的定 理。 后来的要求就变了:光学数学不够,还要用数学。数学教育已经上升了一个层次:大家 要把数学用到生活中去,解释生活中的现象。一时间,课本也好,中考题也好,全是与生活 实际紧密联系的数学应用题,仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货,书店卖 书,农民耕地,工人铺砖,再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实,数学可以解释 生活,只是我们并不会这样去做。生活的变量太多,再强大的数学模型也不可能考虑到一 切。对于平常人来说,真正能用到数学的地方,也就只有算算帐了。 总有一天,数学教育会拔高到第三层:返朴归真,数学真正牛 B 的还是它本身。你会发 现,那些伟大的数学思想,那些全新的数学理论,最初研究的动机并不是要急于解释我们身 边的某某诡异现象,而是它本身的美妙。线性代数的出现,很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论;群论的诞生,也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物;Euler 创立图 论,源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题;非欧几何的出现,则完全是由于 这个问题本身的魅力。微积分呢?它确实有非常广泛的实用价值,物理学的各种定义都依赖 于微积分;但很可惜,它不是一种具有颠覆性的数学思想。 初一课本讲负数时,反复说负数的实际意义,比如海拔、得分、温度、收支等等,把负 数变成一种真实的存在。其实,这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于,它可以 把减去一个数变成加上一个负数,很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一 个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题:如果每人分 3 个苹果还多 8 个,如果每人 分 5 个苹果则还多 2 个,问有多少人多少苹果?解法是,两种分法多出来的苹果相差 6 个,这是每个人多分了两个苹果引起的,因此一共 3 个人,从而可以算出有 17 个苹果。但 是,如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个,每人分 5 个就少 2 个”该怎么办?上面的公式 就变了,8 不能减 2,要加 2 。因此,小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情 况讨论。其实,如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”,问题是一模一样的,之前的公式同样适 用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起,它们的本质变得一模一样了。 这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举 例强调的。 某次看到论坛里有人问,群论有什么意思啊?某人回复,群论很有意思啊,只是课本把 它写得没意思了,比方说,讲群论怎么能不讲魔方呢?我不赞同这个回复。数学吸引人的地 方,不在于它在生活中的应用,而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理?为什么不 讲 Sylow 定理?对于我来说,最能吸引我学习一个数学课题的,莫过于一系列非平凡的结 论以及它的精彩证明了。 科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论,不过却没 有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应 用,是最纯粹的数学。直到计算机,尤其是现代密码学的出现,才让数论第一次走出数学, 走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢?只能是数学本身了。 在我给初中孩子出几何题时,我都尝试着给出一般性的问题,求证三角形中两边的平均 长度大于第三边上的中线长,求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数,等等。即 使是纯代数问题和解析几何问题,我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数 的和与积相等共有多少个整数解?把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么?在感 受结论之美的同时,他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。 然而,这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时,对 方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊,数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢?随即明白,这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本,总是成套的理论体系,先定义 再证明,说得头头是道。可是,这些东西都是怎么来的呢?在得出这些东西的过程中,数学 家们走了哪些弯路呢?课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的,却从来不讲什么是 错的。数学考试只会让你证明一个结论,从不会让你推翻一个结论。 2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下:已知 △ABC 的三 边长都是有理数,(1) 求证 cos(A) 是有理数; (2) 求证对任意正整数 n , cos(nA) 是有理 数。其实这道题是一个非常漂亮的好题,描述简单,问题普遍,结论有趣,证明巧妙,中考 题就该这么出。不过我觉得,如果再补上这么一个小问,这道题就真的完美了:证明或推 翻, sin(A) 一定是有理数。当然,问题本身并不难,等边三角形就是一个最简单的反例。 关键在于,推翻一个结论,寻找一个反例,也是数学研究的一个基本能力,而这是中学数学 教育中很少重视的。 于是,在教初中数学时,我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔, 有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说,证明或推翻,周长和面积都相等的两个三角 形全等。不同的人找到的反例不一样,有的简单有的复杂,有的深刻有的盲目。再用一整节 课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例,给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。 但是,我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会,期间 和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他说,其实 大家没能理解数学之妙,是因为教的时候没教好,数学本来可以讲得更直观,更通俗的。 我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问,质数是什么?老师会说,质 数就是除了 1 和自身以外,没有其它约数的数。不对,这不是学生想要的答案。学生真正 想知道的是,质数究竟是什么?其实,质数就是不可再分的数,是组成一切自然数的基本元 素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的,正如 H 2 O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一 样。只是和化学世界不同,算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方 法,都是由这些基本元素组成的,这才是质数为什么那么重要的原因。 高中学复数时,相信很多人会纳闷儿:虚数是什么?为什么要承认虚数?虚数怎么就表 示旋转了?其实,人们建立复数理论,并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况, 而是因为下面这个不可抗拒的理由:如果承认虚数,那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根, 数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上,这不仅是因为 实数在数轴上已经完备了,还有另外一个原因:没有什么几何操作连做两次就能实现取相反 数。比如,“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍,“3 的平方”,也就 是“乘以 3 再乘以 3”,就是把上述操作连做两次,即扩大到 9 倍。同样地,“乘以 -1”表示把 点翻折到数轴另一侧,“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是,怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作?换句话说,什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ?一个颇具革命性的创意答案便 是,把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次,自然就跑到数轴的另一侧了。没错, 这就把数轴扩展到了整个平面,正好解决了复数没地方表示的问题。于是,复数的乘法可以 解释为缩放加旋转,复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道理 推下去,一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释,有时还能更便捷地处理几何问题。 一直对线性代数很感兴趣,于是大学选了线性代数这门课,结果收获几乎为零。原因很 简单,本来期待着来一次大彻大悟,结果学了一个学期,我还是不知道矩阵究竟是什么,矩 阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么。 直到今天看到这个网页,才看见有人一语道破线性代数的真谛(这也是我终于决定写成 此文的直接原因)。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一 样,我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西,这就叫做线性变换。于是才 想到定义矩阵乘法,用于表示一切线性变换。几何上看,把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去,效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。 矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换 律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩 阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回 去了的意思,难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪,又 是什么递归,又是什么逆序对,还编写口诀帮助大家记忆。其实,行列式的真正定义就一句 话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,单位矩阵的行列式当然就为 1,某行全 为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁), |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已 经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。当然,更高阶的矩阵就对应了更高维的 空间。一瞬间,所有东西都解释清楚了。 难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!那些开 篇就讲行列式定义的课本,为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义,再推导出行 列式的计算方法,再来补充说明“其实从逻辑上说,我们应该先用这个计算公式来定义行列 式,然后才说行列式可以用来表示面积”?为了严密性而牺牲了可读性,太不值得了。写到 这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一 份真正的线性代数教材来。 高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数,再讲不定积分,再讲定积分,完全 把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分,虽然已经用得得心应手,但仍然没懂这是怎么回事。 究其原因,还是数学教学的问题。 我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分, 不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自 古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开 始讲微分,讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的 变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗?因此,反过来,为了 求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来 那个函数。啪,微积分诞生了。 光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该 放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。 说了这么多,其实总结起来只有一句话:我们学习数学的过程,应该和人类认识数学的 过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起,学 到算术和几何,学到坐标系和微积分,了解每个数学分支创立的动机,以及这个分支曲折的 发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈,体会每个全新理论的伟大之处,体会每一次 数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉,体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。 可惜,我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。 不过也好。既然没有捷径,那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍,然后自 己去体会其中的道理吧。这样看来,我们的教育也没错:先用考试逼着大家把该学的东西都 学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学 的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希 望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟 出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。


这种线圈很常见,比如这种 下面开始计算 取一个内径\( r_0 \),外径\( r_1 \),长\( z_1-z_0 \)的线圈,用过轴线的平面将线圈剖开,如下图。 以线圈轴线为z轴,建立一个直角坐标系。 其中,A B C D为线圈剖面的四个端点,设其坐标为\( A(\theta,r_0,z_1) \) ,\( B(\theta,r_1,z_1) \) ,\( C(\theta,r_0,z_0) \) , \( D(\theta,r_1.z_0) \)(柱坐标系),四个点与坐标原点的连线同z轴的夹角分别为 \( \phi_{a,b,c,d} \) 毕奥萨法尔定律如下,它描述电流元在空间任意点处所激发的磁场,详见各种百科$$ d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho^3}d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho} $$由于线圈中的电流密度方向均与轴线垂直,\( |d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho}|=\rho dl \)故 。 这里只计算线圈轴线上的磁感应强度,由于线圈关于轴线对称,故轴线上磁场的径向分量互相抵消,只需要考虑磁感应强度的轴向分量 \( B_z \)。 $$ dB_z=| d\boldsymbol{B} |\sin{\varphi}=\frac{\mu_0 I \sin{\varphi}}{4 \pi \rho^2}  dl $$作代换 $$ dl=rd\theta \quad I=Jdrdz $$ $$\sin{\varphi}=\frac{r}{\rho} \qquad \rho=\sqrt{r^2+z^2} $$其中,J为线圈电流面密度。 对\(dB_z\)进行积分,得到\(B_z\) $$ \large B_z=\iiint \limits_{V} dB_z = \int_{r_0}^{r_1}\!\!dr \int_{z_0}^{z_1}\!\!dz       \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0Jr^2}{4\pi\big( r^2+z^2 \big)^{ \!\!\!^{~3}\!\it{/}_{\!2} }}       \,\,d\theta$$ 积完后得到 $$B_z= \frac{\mu_0J}{2}\big[ f(z_1,r_1)-f(z_1,r_0)-f(z_0,r_1)+f(z_0,r_0) \big]$$其中 $$ f(z,r)=z\ln{\left|\frac{ \sqrt{z^2+r^2}+r }{ z }\,\right|} $$ 通过改变z0,z1的值,可以画出线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线。 比如这幅图是内径7mm,外径16mm,长度分别为10,20,30mm的三个线圈,在电流密度为500A/mm2时,在其轴线上的磁感应强度-位置曲线。其中横坐标的0为线圈几何中心。

这种线圈很常见,比如这种 (附件:272945) 下面开始计算 取一个内径\( r_0 \),外径\( r_1 \),长\( z_1-z_0 \)的线圈,用过轴线的平面将线圈剖开,如下图。 以线圈轴线为z轴,建立一个直角坐标系。 (附件:272944) 其中,A B C D为线圈剖面的四个端点,设其坐标为\( A(\theta,r_0,z_1) \) ,\( B(\theta,r_1,z_1) \) ,\( C(\theta,r_0,z_0) \) , \( D(\theta,r_1.z_0) \)(柱坐标系),四个点与坐标原点的连线同z轴的夹角分别为 \( \phi_{a,b,c,d} \) 毕奥萨法尔定律如下,它描述电流元在空间任意点处所激发的磁场,详见各种百科$$ d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho^3}d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho} $$由于线圈中的电流密度方向均与轴线垂直,\( |d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho}|=\rho dl \)故 。 这里只计算线圈轴线上的磁感应强度,由于线圈关于轴线对称,故轴线上磁场的径向分量互相抵消,只需要考虑磁感应强度的轴向分量 \( B_z \)。 $$ dB_z=| d\boldsymbol{B} |\sin{\varphi}=\frac{\mu_0 I \sin{\varphi}}{4 \pi \rho^2}  dl $$作代换 $$ dl=rd\theta \quad I=Jdrdz $$ $$\sin{\varphi}=\frac{r}{\rho} \qquad \rho=\sqrt{r^2+z^2} $$其中,J为线圈电流面密度。 对\(dB_z\)进行积分,得到\(B_z\) $$ \large B_z=\iiint \limits_{V} dB_z = \int_{r_0}^{r_1}\!\!dr \int_{z_0}^{z_1}\!\!dz       \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0Jr^2}{4\pi\big( r^2+z^2 \big)^{ \!\!\!^{~3}\!\it{/}_{\!2} }}       \,\,d\theta$$ 积完后得到 $$B_z= \frac{\mu_0J}{2}\big[ f(z_1,r_1)-f(z_1,r_0)-f(z_0,r_1)+f(z_0,r_0) \big]$$其中 $$ f(z,r)=z\ln{\left|\frac{ \sqrt{z^2+r^2}+r }{ z }\,\right|} $$ 通过改变z0,z1的值,可以画出线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线。 (附件:272947)比如这幅图是内径7mm,外径16mm,长度分别为10,20,30mm的三个线圈,在电流密度为500A/mm2时,在其轴线上的磁感应强度-位置曲线。其中横坐标的0为线圈几何中心。









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