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已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。

已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。


家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。   这是死星(死星地球仪) 这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣 要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。 所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz 据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。 所以可以成类似以下的旋转体 也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。     这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。

家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。   这是死星(死星地球仪)(附件:273727) 这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣 (附件:273728) 要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。 (附件:273729) 所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz 据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。 所以可以成类似以下的旋转体 (附件:273730) 也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。     这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。


我们不能说这篇文章一定正确,因为用演绎的顺序还是归纳法来安排教学顺序,外国教育界是有分歧的.不过对于觉得数学难学的同学耒说,这篇文章一定会有用. 转帖,原发 matrix67 注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确 的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保 留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。 我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好 者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专 业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴 趣。从 05 年建立这个 Blog 以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花 时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本 谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。 我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在 一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难 的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其 不靠谱。 这个我深有体会。最近两年,我一直在做初中数学培训,有了一些自己的看法。数学教 育大致分成三个阶段,看山是山看水是水,看山不是山看水不是水,看山是山看水是水。 最早数学教育就是,教你几个定理,告诉你它们是怎么证的,再让你证明一些新的定 理。 后来的要求就变了:光学数学不够,还要用数学。数学教育已经上升了一个层次:大家 要把数学用到生活中去,解释生活中的现象。一时间,课本也好,中考题也好,全是与生活 实际紧密联系的数学应用题,仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货,书店卖 书,农民耕地,工人铺砖,再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实,数学可以解释 生活,只是我们并不会这样去做。生活的变量太多,再强大的数学模型也不可能考虑到一 切。对于平常人来说,真正能用到数学的地方,也就只有算算帐了。 总有一天,数学教育会拔高到第三层:返朴归真,数学真正牛 B 的还是它本身。你会发 现,那些伟大的数学思想,那些全新的数学理论,最初研究的动机并不是要急于解释我们身 边的某某诡异现象,而是它本身的美妙。线性代数的出现,很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论;群论的诞生,也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物;Euler 创立图 论,源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题;非欧几何的出现,则完全是由于 这个问题本身的魅力。微积分呢?它确实有非常广泛的实用价值,物理学的各种定义都依赖 于微积分;但很可惜,它不是一种具有颠覆性的数学思想。 初一课本讲负数时,反复说负数的实际意义,比如海拔、得分、温度、收支等等,把负 数变成一种真实的存在。其实,这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于,它可以 把减去一个数变成加上一个负数,很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一 个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题:如果每人分 3 个苹果还多 8 个,如果每人 分 5 个苹果则还多 2 个,问有多少人多少苹果?解法是,两种分法多出来的苹果相差 6 个,这是每个人多分了两个苹果引起的,因此一共 3 个人,从而可以算出有 17 个苹果。但 是,如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个,每人分 5 个就少 2 个”该怎么办?上面的公式 就变了,8 不能减 2,要加 2 。因此,小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情 况讨论。其实,如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”,问题是一模一样的,之前的公式同样适 用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起,它们的本质变得一模一样了。 这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举 例强调的。 某次看到论坛里有人问,群论有什么意思啊?某人回复,群论很有意思啊,只是课本把 它写得没意思了,比方说,讲群论怎么能不讲魔方呢?我不赞同这个回复。数学吸引人的地 方,不在于它在生活中的应用,而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理?为什么不 讲 Sylow 定理?对于我来说,最能吸引我学习一个数学课题的,莫过于一系列非平凡的结 论以及它的精彩证明了。 科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论,不过却没 有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应 用,是最纯粹的数学。直到计算机,尤其是现代密码学的出现,才让数论第一次走出数学, 走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢?只能是数学本身了。 在我给初中孩子出几何题时,我都尝试着给出一般性的问题,求证三角形中两边的平均 长度大于第三边上的中线长,求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数,等等。即 使是纯代数问题和解析几何问题,我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数 的和与积相等共有多少个整数解?把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么?在感 受结论之美的同时,他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。 然而,这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时,对 方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊,数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢?随即明白,这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本,总是成套的理论体系,先定义 再证明,说得头头是道。可是,这些东西都是怎么来的呢?在得出这些东西的过程中,数学 家们走了哪些弯路呢?课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的,却从来不讲什么是 错的。数学考试只会让你证明一个结论,从不会让你推翻一个结论。 2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下:已知 △ABC 的三 边长都是有理数,(1) 求证 cos(A) 是有理数; (2) 求证对任意正整数 n , cos(nA) 是有理 数。其实这道题是一个非常漂亮的好题,描述简单,问题普遍,结论有趣,证明巧妙,中考 题就该这么出。不过我觉得,如果再补上这么一个小问,这道题就真的完美了:证明或推 翻, sin(A) 一定是有理数。当然,问题本身并不难,等边三角形就是一个最简单的反例。 关键在于,推翻一个结论,寻找一个反例,也是数学研究的一个基本能力,而这是中学数学 教育中很少重视的。 于是,在教初中数学时,我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔, 有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说,证明或推翻,周长和面积都相等的两个三角 形全等。不同的人找到的反例不一样,有的简单有的复杂,有的深刻有的盲目。再用一整节 课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例,给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。 但是,我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会,期间 和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他说,其实 大家没能理解数学之妙,是因为教的时候没教好,数学本来可以讲得更直观,更通俗的。 我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问,质数是什么?老师会说,质 数就是除了 1 和自身以外,没有其它约数的数。不对,这不是学生想要的答案。学生真正 想知道的是,质数究竟是什么?其实,质数就是不可再分的数,是组成一切自然数的基本元 素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的,正如 H 2 O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一 样。只是和化学世界不同,算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方 法,都是由这些基本元素组成的,这才是质数为什么那么重要的原因。 高中学复数时,相信很多人会纳闷儿:虚数是什么?为什么要承认虚数?虚数怎么就表 示旋转了?其实,人们建立复数理论,并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况, 而是因为下面这个不可抗拒的理由:如果承认虚数,那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根, 数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上,这不仅是因为 实数在数轴上已经完备了,还有另外一个原因:没有什么几何操作连做两次就能实现取相反 数。比如,“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍,“3 的平方”,也就 是“乘以 3 再乘以 3”,就是把上述操作连做两次,即扩大到 9 倍。同样地,“乘以 -1”表示把 点翻折到数轴另一侧,“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是,怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作?换句话说,什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ?一个颇具革命性的创意答案便 是,把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次,自然就跑到数轴的另一侧了。没错, 这就把数轴扩展到了整个平面,正好解决了复数没地方表示的问题。于是,复数的乘法可以 解释为缩放加旋转,复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道理 推下去,一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释,有时还能更便捷地处理几何问题。 一直对线性代数很感兴趣,于是大学选了线性代数这门课,结果收获几乎为零。原因很 简单,本来期待着来一次大彻大悟,结果学了一个学期,我还是不知道矩阵究竟是什么,矩 阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么。 直到今天看到这个网页,才看见有人一语道破线性代数的真谛(这也是我终于决定写成 此文的直接原因)。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一 样,我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西,这就叫做线性变换。于是才 想到定义矩阵乘法,用于表示一切线性变换。几何上看,把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去,效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。 矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换 律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩 阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回 去了的意思,难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪,又 是什么递归,又是什么逆序对,还编写口诀帮助大家记忆。其实,行列式的真正定义就一句 话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,单位矩阵的行列式当然就为 1,某行全 为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁), |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已 经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。当然,更高阶的矩阵就对应了更高维的 空间。一瞬间,所有东西都解释清楚了。 难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!那些开 篇就讲行列式定义的课本,为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义,再推导出行 列式的计算方法,再来补充说明“其实从逻辑上说,我们应该先用这个计算公式来定义行列 式,然后才说行列式可以用来表示面积”?为了严密性而牺牲了可读性,太不值得了。写到 这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一 份真正的线性代数教材来。 高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数,再讲不定积分,再讲定积分,完全 把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分,虽然已经用得得心应手,但仍然没懂这是怎么回事。 究其原因,还是数学教学的问题。 我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分, 不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自 古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开 始讲微分,讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的 变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗?因此,反过来,为了 求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来 那个函数。啪,微积分诞生了。 光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该 放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。 说了这么多,其实总结起来只有一句话:我们学习数学的过程,应该和人类认识数学的 过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起,学 到算术和几何,学到坐标系和微积分,了解每个数学分支创立的动机,以及这个分支曲折的 发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈,体会每个全新理论的伟大之处,体会每一次 数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉,体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。 可惜,我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。 不过也好。既然没有捷径,那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍,然后自 己去体会其中的道理吧。这样看来,我们的教育也没错:先用考试逼着大家把该学的东西都 学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学 的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希 望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟 出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。













本帖最后由 novakon 于 2013-11-22 21:55 编辑    大家在吃饭喝酒时是否注意到了这样的事情:三个人碰杯时,每个人的杯子都能同时和其他两个人的杯子相接触,很完美;但是四个人碰杯时,任一时刻总会有两个人碰不到杯,非常尴尬。有一次和三个好朋友吃饭,四人碰杯时又发生了这种尴尬的情况,突然有一个人异想天开,把他的杯子放到了另外三个杯子的上面,从而实现了四个杯子两两接触!我们自然引出了这样一个问题:如果 n 个全等的圆柱体两两相接触,则 n 最大是多少?            对于不同形状的圆柱体,答案可能是不一样的。 Martin Gardner 在 Hexaflexagons and other mathematical diversions 一书中提到,我们可以精巧地摆放 5 枚硬币,使得它们两两相接触,如上图所示(注意,最底下还藏着一枚硬币)。同时, Martin Gardner 问到,能否摆放 6 支香烟让它们两两接触?一个经典的答案如下:            令 Martin Gardner 本人也感到吃惊的是, George Rybicki 和 John Reynolds 指出, 7 支香烟两两接触也是有可能的。他们给出的构造如下:            两两接触的全等圆柱体最多可以有多少个? 7 个已经是最多的了吗?如果圆柱体的高度与半径之比有所限制,这会对问题的答案产生怎样的影响?这些问题都还有待解决。     1968 年, John Littlewood 提出了这样一个问题:在空间中,是否存在 7 个单位半径的无限长圆柱体,使得它们两两相接触?这个问题显然更难一些,因为我们没法利用圆柱体的顶面和底面了。     根据 MathPuzzle 的消息,最近, Sándor Bozóki 、 Tsung-Lin Lee 和 Lajos Rónyai 解决了 这个问题。他们建立了一个非常非常庞大的方程组,里面有 20 个未知数以及 20 个方程:            通过某些数值计算方法,他们得到了两组不同的解。其中一组解如下:            下面则是另外一组解:            2005 年, András Bezdek 证明了任意 25 个无限长的等粗圆柱体中,总存在两个相离的圆柱体,从而说明了满足要求的圆柱体数目 n 存在一个上界。那么, n 的最大值是否就是 7 呢?这个问题目前也没有定论。


   在所有周长相等的长方形中,正方形拥有最大的面积;在所有周长相等的平面图形中,圆拥有最大的面积;在所有表面积相等的长方体中,正方体拥有最大的体积;在所有表面积相等的立体图形中,球拥有最大的体积。所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗? George Pólya 在 Mathematical Discovery 一书中的第 15 章里举了下面这个例子。     在给定圆周上选取四个点构成一个四边形,那么正方形的面积一定是最大的吗?答案是肯定的。只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处,我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处,使得整个图形的面积变得更大。好了,我们现在的问题是,在球面上选取八个点构成一个顶点数为 8 的多面体,那么正方体一定是体积最大的吗?     答案居然是否定的。单位球中的内接正方体,体对角线将会等于球的直径 2 ,那么这个正方体的边长 x 就应该满足 x2 + x2 + x2 = 22 ,解得 x = 2 / √3 。因而,这个正方体的体积就是 (8 / 9) · √3 。现在,让我们再想象这样一种单位球中的内接多面体:作出赤道面上的内接正六边形,再把它的各个顶点与南北极相连,构成一种由两个正六棱锥拼接而成的立体图形。每一个正六棱锥的底面都是一个边长为 1 的正六边形,其面积为 (3 / 2) · √3 ;由于棱锥的高也是 1 ,因此棱锥的体积就是 (1 / 3) · (3 / 2) · √3 = (1 / 2) · √3 。两个这样的棱锥拼在一起,总体积就是 √3 ,这比单位球里的内接正方体体积更大。看来,在与几何图形相关的最值问题中,并不是最对称的那个图形就是最好的。     为什么会出现这种情况呢?其中一种原因是,立方体虽然非常对称,但它的面太少了。可以想象,如果两个多面体内接于同一个球里,并且它们的顶点数相同,那么谁的面更多一些,谁就有希望占据更大的空间。事实上,我们可以推出,对于顶点数目一定的多面体,如果面数达到最大,则每个面都将会是三角形。根据 Euler 公式,多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 满足 E = F + V - 2 ,另外注意到多面体所有面的边数之和为 2 · E (因为每条棱都被算了两次),因而平均每个面的边数就可以表示为 2 · E / F = 2 · (F + V - 2) / F = 2 + (2 · V - 4) / F 。从这个式子中可以看出,当顶点数目一定时,随着面数的增加,多面体平均每个面的边数将会减少。面数最多的情况,也就是多面体平均每个面的边数最少的情况,也就是每个面都是三角形的情况。     其实,刚才那个双棱锥仍然不是最优解。下图所示的单位球内接多面体也拥有八个顶点,但它的体积更大,约为 1.8157161 。根据我能查到的资料显示,这应该就是体积最大的解了。       


本帖最后由 novakon 于 2013-11-22 22:02 编辑     请你把一个圆形的比萨分成若干个大小形状都相同的部分,使得其中至少有一部分不含有比萨的边儿。换句话说,你需要把一个圆分成若干个全等的部分,其中至少有一个部分不包含任何一段圆周。          (附件:206899) 先别往下翻。     答案:如图,首先用 6 条同样半径的 1/6 圆弧把整个圆分成 6 个形如鱼尾的全等图形,然后再沿着对称轴把每个鱼尾分成两半即可。这样,我们便把整个圆分成了大小形状都相等的 12 个部分,其中 6 个部分都不含有任何一段圆周(虽然有一个点在圆周上)。              在这种方案中,分出来的 12 个小块虽然都是全等的,但其中某些小块需要经过翻折后才能彼此重合。我们的下一个问题就是:请你再设计出一种圆的分割方案,使得每个小块都全等,至少有一个小块不含边,并且所有小块都可以仅通过旋转和平移就能与其他小块重合。     答案:如图,首先用 12 条同样半径的 1/6 圆弧把整个圆分成 12 个全等的图形。这说明,刚才的每个鱼尾形都还有另一种平分方案。现在,把每个鱼尾形翻过来摆放,就得到满足要求的方案了。          题目来源: http://math.stackexchange.com/questions/481527/slice-of-pizza-with-no-crust


         这是一个非常经典的问题。如图,三角形 ABC 是一个直角三角形, ∠A = 90° 。 D 是斜边 BC 上的一个动点。过点 D 作 AB 和 AC 的垂线,垂足分别为 E 和 F 。问题:当 D 点运动到什么位置的时候,线段 EF 最短? 先别往下翻            答案出人意料地简单:当 AD 垂直于 BC 时,线段 EF 最短。这是因为,四边形 AEDF 永远是一个矩形,它的两条对角线永远一样长。因此,为了让 EF 最短,我们只需要让 AD 最短即可。什么时候 AD 最短呢?显然,当 AD 垂直于 BC 时, AD 达到最短。            下面是一个稍微有些挑战性的问题:如果去掉 ∠A = 90° 这个条件,其他条件都不变,那么这一次, D 点应该运动到什么地方,才能让 EF 最短呢?            答案仍然是,当 AD 垂直于 BC 时 EF 最短,不过原因不太一样。注意到,由于 ∠AED = ∠AFD = 90° ,因此 A 、 E 、 D 、 F 四点共圆。在这个圆中, EF 所对的圆周角 ∠A 始终不变。因此,为了让线段 EF 达到最短,我们需要让整个圆越小越好,换句话说这个圆的直径越短越好(这也可以由正弦定理 EF / sinA = 2R 迅速看出)。但是, AD 就是这个圆的一条直径啊!因此,我们需要让 AD 越短越好。什么时候 AD 最短呢?显然,当 AD 垂直于 BC 时, AD 达到最短。     后面这个问题来自 1987 年 IMO 候选题。 参考资料:Ross Honsberger, From Erdos to Kiev: Problems of Olympiad Caliber, pp. 43-45

         这是一个非常经典的问题。如图,三角形 ABC 是一个直角三角形, ∠A = 90° 。 D 是斜边 BC 上的一个动点。过点 D 作 AB 和 AC 的垂线,垂足分别为 E 和 F 。问题:当 D 点运动到什么位置的时候,线段 EF 最短? 先别往下翻            答案出人意料地简单:当 AD 垂直于 BC 时,线段 EF 最短。这是因为,四边形 AEDF 永远是一个矩形,它的两条对角线永远一样长。因此,为了让 EF 最短,我们只需要让 AD 最短即可。什么时候 AD 最短呢?显然,当 AD 垂直于 BC 时, AD 达到最短。            下面是一个稍微有些挑战性的问题:如果去掉 ∠A = 90° 这个条件,其他条件都不变,那么这一次, D 点应该运动到什么地方,才能让 EF 最短呢?            答案仍然是,当 AD 垂直于 BC 时 EF 最短,不过原因不太一样。注意到,由于 ∠AED = ∠AFD = 90° ,因此 A 、 E 、 D 、 F 四点共圆。在这个圆中, EF 所对的圆周角 ∠A 始终不变。因此,为了让线段 EF 达到最短,我们需要让整个圆越小越好,换句话说这个圆的直径越短越好(这也可以由正弦定理 EF / sinA = 2R 迅速看出)。但是, AD 就是这个圆的一条直径啊!因此,我们需要让 AD 越短越好。什么时候 AD 最短呢?显然,当 AD 垂直于 BC 时, AD 达到最短。     后面这个问题来自 1987 年 IMO 候选题。 参考资料:Ross Honsberger, From Erdos to Kiev: Problems of Olympiad Caliber, pp. 43-45




几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科,使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而,1899年,法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”(亦称”贝特朗怪论“),矛头直指几何概率概念本身:   在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。 悖论分析    解法一: 由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。    解法二: 由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。    解法三: 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。   这导致同一事件有不同概率,因此为悖论。   同一问题有三种不同答案,究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体,不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间,具体如下:其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。   解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布,直径上的点组成样本空间Ω1.   解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布,圆周上的点组成样本空间Ω2.   解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布,大圆内的点组成样本空间Ω3.   可见,上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的,它们都是正确的,贝特朗悖论引起人们注意,在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。 贝特朗悖论在普通高中中模拟概率时会出现。一般第一种答案(即”1/3“)使用较为广泛。



第一次发帖子,作为初中生写的,可能内容略显幼稚,大家多多提意见哈 各位领导,各位来宾,在这个阳光明媚,春暖花开的日子里,我们在这里,举行关于魏延子午谷之计收益的研讨大会。今天这个会,我们要着重谈一谈,数千年来争议不断的魏延的子午谷的出奇兵的问题的问题的问题,关于这个问题,有的银支持,有的银反对,但都是泛泛而谈,难以驳倒对方。那么此计失败和成功的机率到底有多少?值不值得为了那一点点成功的几率而冒这个大险?诸葛亮当时到底是否应该采纳此条建议呢?现在的科学研究,怎么都讲究个定量分析,所以,同志们,今天我们尝试用数学建模的方法对其进行定量分析,用数字来说明问题。 一.北伐成败的量化指标: 首先,我们先分析一下北伐的几种结果,我们认为可以归纳为以下七种: 1.大胜,即围歼对方主力或斩杀敌军统帅,如关羽水淹七军,如击毙司马懿。得5分。 2.小胜,即击溃或歼灭敌方一部,取得物质上的收获,或者斩杀对方大将,取得士气上的收获。得1分。 3.无功,即双方战果基本一样。得0分。 4.小败,部队受到小的损失,伤亡数千人。得-1分。 5.大败,部队损失超过数万人。得-5分。 6.完胜,即攻取长安并站住脚,大大改善蜀汉的战略态势。得20分。 7.完败,即主力覆没,甚至于丢失汉中等重要据点,大大伤及蜀汉的元气,得-20分。 二.诸葛亮六次北伐的战果: 第一次:先胜而后败,折了马谡,失了孟达,但收了姜维,双方扯平,0分。 第二次:由于魏将郝昭筑城固守,蜀军粮尽退兵。但魏延斩了敌大将王双。还是0分。 第三次:攻下武都、阴平,胜郭淮。算小胜,+1分。 第四次:战退司马懿、曹真等,应为小胜,+1分。 第五次:射杀张合,小胜,+1分。 第六次:小胜数场,但自己积劳成疾,死于五丈原,1-5=-4分。 这样,诸葛亮六次北伐的总战果是-1分,平均每次-0.16分,总体上是失败的。 诸葛亮在前四次北伐时,是采取西出阳平关,走平坦大道,用步步为营,稳扎稳打的战术来蚕食魏国。这样虽然易于用兵,加上诸葛亮在战术水平方面要高于对方,每次都能取得局部战役的小胜。但不能否认的是,魏与蜀的综合国力相差甚远,而战线太长,旷日持久,粮草供应不继。其结果就是次次因粮草不济而退兵,胜利成果又拱手相让。第五次北伐诸葛亮终于想通了,直接出斜谷进入陇东,效果大为改观,但由于诸葛亮之前已多次北伐,魏国处于高度警惕状态之中,再加上诸葛亮体质下降阳寿将尽,只能留下遗憾了。所以诸葛亮要消灭魏国,实现兴复汉室的愿望,魏延的兵出子午谷之计,是唯一有可能成功,并只能使用一次的奇招。 三.魏延的计策: “假精兵五千,负粮五千,直从褒中出,循秦岭而东,当子午而北,不过十日可到长安。楙闻延至,必乘船逃走。长安中惟有御史、京兆太守耳,横门邸阁与散民之谷足周食也。比东方相合聚,尚二十许日,而公从斜谷来,必足以达。如此,则一举而咸阳以西可定矣。” 四.子午谷之计可行的诸多条件: 1.出奇制胜的条件:刘备死后,蜀汉内部问题不断,对外一直采取守势,对曹魏几年都没有犯境,曹魏以为蜀汉没有力量了,如果豁然间出兵,可攻其不备。 2.以大欺小的条件:当时曹丕刚死,曹睿继位不久,国政未稳;司马懿闲居宛城;大将军曹真督关右诸军,驻扎在斜谷北面的郿县;安西将军夏侯楙镇守长安;夏侯楙乃纨绔子弟,眼高手低,未经实战,绝非魏延对手。 3.里应外合的条件:新城的孟达可随时反魏,将干扰关内向长安的增援军(张合军),可助魏延一臂之力。 4.知己知彼的条件:刘备在位时,魏延为汉中太守,他对汉中的地理情况了如指掌,他执行这个奇袭计划,是最恰当的人选。 5.击敌以虚的条件:北伐之初,曹魏的名将如司马懿、张合等均不在关中附近,魏军群龙无首。长安得手后,曹真军孤立无援,军心不稳,决不是诸葛的对手,诸葛军出斜谷,败曹真军不难,即便曹真军退援长安,诸葛军从后追击,和魏延会师于长安也会全歼曹真军;如果曹真军退往陇西,则诸葛亮派人据险而守,自己赴长安和魏延会师,关中和陇右定矣。五.影响最终战果的关键步骤: 1.魏延军是否能够在10日内顺利出子午谷。  (1)子午谷路险难行,其行军速度受气候等因素的影响非常大,因此,魏延部队不一定能够在10日内出谷。如此,则粮尽难战,只能退兵,为小败,此种情况约有1成可能,得分为:(-1)×10%=(-0.1)分。  (2)子午谷并不十分隐蔽,在谷中行军,很有可能被魏军侦知,此种情况按2成计。魏军侦知蜀军后,可能采取两种措施。第一,在谷口等险要处防守,使魏延退兵,则为小败。第二,于险要处设伏兵伏击魏延军,则魏延基本上会全军覆没,可算大败。两种方案按各五成计算。则魏延部队如被侦知的得分情况为:10%×(-1)+10%×(-5)=(-0.6)分。   2.魏延军出子午谷后是否能迅速击溃魏军,占领长安。 魏延顺利出子午谷有70%的可能性,当长安的守军发现魏延部队后,采取的措施可能有三种:  (1)据城防守:夏侯楙虽然脓包,但长安城中还有御史、京兆太守等文官,这些人的谋略程度不可低估,肯定会建言固守,考虑到夏侯楙此人急躁好战,此种情况出现的可能性约占4成。如此则对魏延部队非常不利,魏延将不得不进行攻坚战,而长安城城高池险,魏延部队攻城成功的机会不会超过3成。  (2)出城决战:此种情况出现的可能性约为3成。虽然魏延的军事素质远远强于夏侯楙,但远来兵疲,数量和兵种更不占优势,夏侯楙部队如果失败,还可能会成功退回长安防守,实际上魏延成功击溃夏侯楙部队并攻取长安城的几率也只能达到6成。  (3)弃城而走:此种情况出现的可能性占到3成。 综合以上三种情况,魏延能够攻取长安城的可能性为70%×(40%×30%+30%×60%+30%)=42%。而不能攻取长安,处于进退两难的境地的可能性为28%。 3.诸葛亮是否能够在魏军主力消灭魏延部队之前赶到长安。 诸葛亮部队如果要及时赶到长安,要么彻底击溃魏军正面防守的主力部队,要么用一支部队作为疑兵,牵制魏军,自己趁虚而入。考虑到魏蜀双方主将的能力和阳平关附近的地形,诸葛亮击溃魏军主力,能够顺利救援魏延部队的可能性应至少有五成,则魏延部队在长安陷入孤立无援境地的可能性也是五成。若诸葛亮未及时赶到,根据魏延军的情况,有以下可能:  (1)此时魏延已经攻取长安:则魏延只有撤退,但在敌兵追击的情况下部队一定会受到损失,而且部队的士气易受挫,出现逃兵的可能也很大,我们且认为魏延能够撤出大部分部队的可能性为六成,为小败,此种情况得分为:42%×50%×60%×(-1)=-0.126,而魏延部队被魏军主力全歼的可能性为四成,得分为:42%×50%×40%×(-5)=0.42。  (2)此时魏延没有占领长安:则情况依据魏延部队得知主力部队失利的时间和魏国援军的进军速度而会有所不同,但其被魏国部队全歼的可能性至少有7成,为大败。有所损失的可能有3成,为小败。这样,此种情况的得分为:28%×50%×【70% ×(-5)+30%×(-1)】=-0.53 4. 诸葛亮部队如果顺利到达长安城下,能否守住长安。 诸葛亮部队如果顺利到达长安城下,则根据魏延部队的作战情况是否顺利情况会有不同。  (1)如果此时长安城还没有攻下:情况将会很糟,诸葛亮的主力部队如果和魏军决战,由于蜀军主要是步兵,魏国则多骑兵,加上长安城附近地势平坦,利于骑兵作战,正面交锋诸葛亮部队将处于明显不利境地。此时,诸葛亮最好的选择是救出魏延部队及时撤退。但安全撤退的难度非常大。这时,可能出现五种战果: 1)成功撤退并杀伤魏军一部,取得小胜的可能性为一成,得分28%×50%×20%×(+1)=0.028 2)击溃魏军援军并撤退,为大胜,可能性只有半成,得分:28%×50%×10%×5=0.07 3)击溃魏军主力并占领长安,为完胜,可能性也只有半成。得分:28%×50%×5%×20=0.14 4)基本安全撤退但部队有少量损失,为小败,可能性约三成,得分28%×50%×30%×(-1)=-0.042 5)被魏军主力击溃遭受重大损失,为大败,可能性约为三成,得分28%×50%×30%×(-5)=-0. 21 6)部队被全歼或被追击而危及汉中的安全,可能性占2成,为完败,得分28%×50%×20%×(-20)=-0.56 这样,此种情况的综合得分为:0.07+0.14+(-0.21)+(-0.042)+0.028+(-0.56)=(-0.57)分  (2)如果此时魏延部队已经攻下长安,形势将大有改观:诸葛亮可固守长安,也可与魏军野战。长安附近郡县守将大多是无能之辈,纵不投降也不可能对蜀军构成太大威胁,此时魏国有3成的可能放弃长安,有7成的可能派兵来攻。曹真决不是孔明的对手,即使是司马懿,也没有太大胜算。蜀军可就食于敌国,解决一部分军粮问题,并立即让蒋琬等人运粮来此,如此长安可基本无忧。此时会有以下可能: 1)魏国放弃长安:当为完胜,有3成的可能:得分42%×50%30%×20=1.26 2)魏国不放弃长安:此时情况十分复杂,大致可归结为两种可能:     <1>孟达适时响应,起上庸、新城等处人马,申仪等人乃骑墙之徒,必投降蜀国,而魏国闻讯必大乱。司马懿正赋闲,曹休之辈,纵闻讯赶来,也已晚矣,若孟达事成,东吴肯定也会出兵拣个便宜,如此则长安无忧,甚至有可能攻下洛阳,一举破魏,可能性当有8成。 得分:42%×50%×70%×80%×20=2.35     <2>魏国攻破长安,可能性不超过2成。 得分:42%×50%×70%×20%×(-20)=-0.59 如此则此种情况的综合得分为:1.26+2.35-0.59=3.02 魏延之计的最后得分:综合以上4大类情况,魏延此计的最后得分为:-0.1-0.6+0.42-0.53-0.57+3.02=1.64,远远高于诸葛亮的-0.1分。 结论:魏延此计,虽然实现的可能性并不是很高(约35%),但是一旦实现获利巨大,而即使失败,对蜀军的损失也并不大(完败的可能性不足10%),可以说是具有高回报率的中等风险投资,有可行性。而由于魏蜀两国国力、兵力相差悬殊(国土面积4:1,军队数7:1),要想实现刘备的宿愿,只有出奇兵、用奇谋、冒奇险,才能建奇功。所以用魏延这一奇人提出的子午谷之计,有必要性。所以说,兵出子午谷,是蜀当时唯一的救命稻草。



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