我们不能说这篇文章一定正确,因为用演绎的顺序还是归纳法来安排教学顺序,外国教育界是有分歧的.不过对于觉得数学难学的同学耒说,这篇文章一定会有用.

转帖,原发 matrix67

注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确 的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保 留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好 者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专 业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴 趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花 时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本 谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在 一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难 的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其 不靠谱。

这个我深有体会。最近两年，我一直在做初中数学培训，有了一些自己的看法。数学教 育大致分成三个阶段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水是水。

最早数学教育就是，教你几个定理，告诉你它们是怎么证的，再让你证明一些新的定 理。

后来的要求就变了：光学数学不够，还要用数学。数学教育已经上升了一个层次：大家 要把数学用到生活中去，解释生活中的现象。一时间，课本也好，中考题也好，全是与生活 实际紧密联系的数学应用题，仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货，书店卖 书，农民耕地，工人铺砖，再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实，数学可以解释 生活，只是我们并不会这样去做。生活的变量太多，再强大的数学模型也不可能考虑到一 切。对于平常人来说，真正能用到数学的地方，也就只有算算帐了。

总有一天，数学教育会拔高到第三层：返朴归真，数学真正牛 B 的还是它本身。你会发 现，那些伟大的数学思想，那些全新的数学理论，最初研究的动机并不是要急于解释我们身 边的某某诡异现象，而是它本身的美妙。线性代数的出现，很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论；群论的诞生，也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物；Euler 创立图 论，源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题；非欧几何的出现，则完全是由于 这个问题本身的魅力。微积分呢？它确实有非常广泛的实用价值，物理学的各种定义都依赖 于微积分；但很可惜，它不是一种具有颠覆性的数学思想。

初一课本讲负数时，反复说负数的实际意义，比如海拔、得分、温度、收支等等，把负 数变成一种真实的存在。其实，这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于，它可以 把减去一个数变成加上一个负数，很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一 个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题：如果每人分 3 个苹果还多 8 个，如果每人 分 5 个苹果则还多 2 个，问有多少人多少苹果？解法是，两种分法多出来的苹果相差 6 个，这是每个人多分了两个苹果引起的，因此一共 3 个人，从而可以算出有 17 个苹果。但 是，如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个，每人分 5 个就少 2 个”该怎么办？上面的公式 就变了，8 不能减 2，要加 2 。因此，小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情 况讨论。其实，如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”，问题是一模一样的，之前的公式同样适 用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起，它们的本质变得一模一样了。

这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举 例强调的。

某次看到论坛里有人问，群论有什么意思啊？某人回复，群论很有意思啊，只是课本把 它写得没意思了，比方说，讲群论怎么能不讲魔方呢？我不赞同这个回复。数学吸引人的地 方，不在于它在生活中的应用，而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理？为什么不 讲 Sylow 定理？对于我来说，最能吸引我学习一个数学课题的，莫过于一系列非平凡的结 论以及它的精彩证明了。

科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论，不过却没 有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应 用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次走出数学， 走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢？只能是数学本身了。

在我给初中孩子出几何题时，我都尝试着给出一般性的问题，求证三角形中两边的平均 长度大于第三边上的中线长，求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数，等等。即 使是纯代数问题和解析几何问题，我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数 的和与积相等共有多少个整数解？把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么？在感 受结论之美的同时，他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。

然而，这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时，对 方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊，数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢？随即明白，这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本，总是成套的理论体系，先定义 再证明，说得头头是道。可是，这些东西都是怎么来的呢？在得出这些东西的过程中，数学 家们走了哪些弯路呢？课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的，却从来不讲什么是 错的。数学考试只会让你证明一个结论，从不会让你推翻一个结论。

2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下：已知 △ABC 的三 边长都是有理数，(1) 求证 cos(A) 是有理数； (2) 求证对任意正整数 n ， cos(nA) 是有理 数。其实这道题是一个非常漂亮的好题，描述简单，问题普遍，结论有趣，证明巧妙，中考 题就该这么出。不过我觉得，如果再补上这么一个小问，这道题就真的完美了：证明或推 翻， sin(A) 一定是有理数。当然，问题本身并不难，等边三角形就是一个最简单的反例。 关键在于，推翻一个结论，寻找一个反例，也是数学研究的一个基本能力，而这是中学数学 教育中很少重视的。

于是，在教初中数学时，我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔， 有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说，证明或推翻，周长和面积都相等的两个三角 形全等。不同的人找到的反例不一样，有的简单有的复杂，有的深刻有的盲目。再用一整节 课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例，给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。

但是，我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会，期间 和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained 。他说，其实 大家没能理解数学之妙，是因为教的时候没教好，数学本来可以讲得更直观，更通俗的。

我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问，质数是什么？老师会说，质 数就是除了 1 和自身以外，没有其它约数的数。不对，这不是学生想要的答案。学生真正 想知道的是，质数究竟是什么？其实，质数就是不可再分的数，是组成一切自然数的基本元 素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的，正如 H 2 O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一

样。只是和化学世界不同，算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方 法，都是由这些基本元素组成的，这才是质数为什么那么重要的原因。

高中学复数时，相信很多人会纳闷儿：虚数是什么？为什么要承认虚数？虚数怎么就表 示旋转了？其实，人们建立复数理论，并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况， 而是因为下面这个不可抗拒的理由：如果承认虚数，那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根， 数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上，这不仅是因为 实数在数轴上已经完备了，还有另外一个原因：没有什么几何操作连做两次就能实现取相反 数。比如，“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍，“3 的平方”，也就 是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作连做两次，即扩大到 9 倍。同样地，“乘以 -1”表示把 点翻折到数轴另一侧，“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是，怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作？换句话说，什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ？一个颇具革命性的创意答案便 是，把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次，自然就跑到数轴的另一侧了。没错， 这就把数轴扩展到了整个平面，正好解决了复数没地方表示的问题。于是，复数的乘法可以 解释为缩放加旋转，复数本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。顺着这个道理 推下去，一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释，有时还能更便捷地处理几何问题。

一直对线性代数很感兴趣，于是大学选了线性代数这门课，结果收获几乎为零。原因很 简单，本来期待着来一次大彻大悟，结果学了一个学期，我还是不知道矩阵究竟是什么，矩 阵乘法为什么要这么定义，矩阵可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。

直到今天看到这个网页，才看见有人一语道破线性代数的真谛（这也是我终于决定写成 此文的直接原因）。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一 样，我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x - 3 y) 之类的东西，这就叫做线性变换。于是才 想到定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换。几何上看，把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x + y, x - 3 y) 的位置上去，效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。
矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交换 律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单位矩 阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回 去了的意思，难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪，又 是什么递归，又是什么逆序对，还编写口诀帮助大家记忆。其实，行列式的真正定义就一句 话：每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此，单位矩阵的行列式当然就为 1，某行全 为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变换会把整个平面压扁）， |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ，对应的矩阵当然不可逆，因为这样的线性变换已 经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了。当然，更高阶的矩阵就对应了更高维的 空间。一瞬间，所有东西都解释清楚了。

难以置信的是，如此令人兴奋的东西，我们所用的课本上竟然一点都没有说到！那些开 篇就讲行列式定义的课本，为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义，再推导出行 列式的计算方法，再来补充说明“其实从逻辑上说，我们应该先用这个计算公式来定义行列 式，然后才说行列式可以用来表示面积”？为了严密性而牺牲了可读性，太不值得了。写到 这里，我真想立即拾起线性代数课本，用全新的眼光重看所有的定义和定理，然后重新写一 份真正的线性代数教材来。

高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数，再讲不定积分，再讲定积分，完全 把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分，虽然已经用得得心应手，但仍然没懂这是怎么回事。 究其原因，还是数学教学的问题。

我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分，再讲导数，再讲不定积分。先讲定积分， 不过千万不能用现在的定积分符号，避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自 古就有的积分思想，讲分割求和取极限的方法，自创一套定积分的符号。然后另起炉灶，开 始讲微分，讲无穷小，讲变化量。最后才讲到，随着 x 一点一点的增加，曲线下方面积的 变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗？因此，反过来，为了 求出一个函数对应的曲线下方的面积，只需要找到一个新函数，使得它的微分正好就是原来 那个函数。啪，微积分诞生了。

光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该 放到直观理解之后。只可惜，我还没看到哪本课本是这样写的。

说了这么多，其实总结起来只有一句话：我们学习数学的过程，应该和人类认识数学的 过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起，学 到算术和几何，学到坐标系和微积分，了解每个数学分支创立的动机，以及这个分支曲折的 发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈，体会每个全新理论的伟大之处，体会每一次 数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉，体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。

可惜，我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。

不过也好。既然没有捷径，那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍，然后自 己去体会其中的道理吧。这样看来，我们的教育也没错：先用考试逼着大家把该学的东西都 学了，尽管自己也不知道自己学的是啥；等将来的某一天达到一定高度时，回头看看过去学 的东西，突然恍然大悟，明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希 望有一天能像今天这样，能悟出高等代数究竟在讲什么，能悟出范畴论到底有什么用，能悟 出 Riemann 假设为何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空间是什么东西，然后把它们都写下来。