对投篮问题的数学模型研究         

摘要：

篮球运动逐渐普及.当我们看到篮球从手中投出,落入篮筐时,心中总会激动不已,同时接二连三的问题也渐渐在我们心中产生:

篮球的运动轨迹是什么？是什么决定了篮球命中篮筐？怎样提高投篮命中率？

我们对这些问题充满了兴趣.于是打算写作此文,对提高投篮命中率的方法聊以分析.

二、模型假设

结合实际情况,为确保模型的概括性与合理性,我们排除了一些干扰因素,提出以下几点假设:

1.假设篮球的运动曲线始终在同一平面内；

2.不考虑防守员对进球的影响;

3.暂时不考虑篮球打板入篮的情况;

4.不考虑篮球旋转产生的效应.

我们的研究由五个模型构成.

1.无空气阻力篮球入框条件模型

2.无空气阻力最优投篮条件模型

3.无空气阻力偏心入篮模型

4.有空气阻力的投篮模型

5.打板入篮模型

四、模型建构

1.无空气阻力篮球入框条件模型   

以罚球为例.怎样利用数学知识，刻画出篮球入筐的条件呢？

以投射点为原点,建立平面直角坐标系.如图.则篮筐中心坐标为             .

根据物理学中斜抛运动的规律可以得出篮球的运动轨迹方程：                       .这时y是x的二次函数，因此在无空气阻力时篮球的运动轨迹是一条抛物线.

因为篮球空心入篮，故将球筐中心坐标代入轨迹，便得无阻力投篮的核心公式               

当篮球接近篮筐时,必须考虑它的大小.这样,入篮角α便得到限制.若入篮角α太小,篮球将碰到篮筐而无法入筐.如图即为α取最小值的情况.

从图中容易看出            ，即                  .此条件对所有投篮情况都适用.

这样，我们下一步的目标就是找到入篮角α与投射角θ之间的关系，将入篮条件α的条件转化为出手条件θ的条件.

注意到红色切线的倾斜角为        ，将篮球的运动轨迹方程对x求导，并结合导数的几何意义得   

经过化简，得出                          .

因此篮球入筐的条件为

2.无空气阻力最优投篮条件模型

从直观上看，出手速度越小，投篮越稳定，篮球的出手条件也越好.这背后的原因我们后面再讲.

为了使出手速度    取最小，可考虑使    取最大.我们首先想到的是将    的表达式写出来，对θ求导，令导数等于0，解得                           .可以验证，此时   取最大值，即出手速度取到最小，因此这就是最优投射角.

然而在探究的过程中，我们发现由这里求出的最优投射角的表达式不好化简求出   的表达式，这促使我们另辟蹊径解决问题.我们想到，能否利用初中知识来解决这个问题呢？

          注意到                  ，将其代入核心公式变形可得一关于      的一元二次方程.在篮球入筐的前提下，该方程有解.令其判别式非负，得一关于    的一元二次不等式，解两次，得                  .这时根据求根公式又有           ，则                    .这样我们就求出了最优投射角与最小出手速度的表达式。

       若作换元     ，可以验证                        因此两种方法实际上是殊途同归.

总结1、2数据，列出表格如下(以罚球为例)：

从表中可以看出,投射点高度越高,最优投射角与最小出手速度越小，因此身高较高的篮球球员在定点投篮中的确具有一定优势。

最小投射角一般不会低于45°，否则易使篮球弹飞，而最优投射角一般在50.7°~52.6°;投篮出手速度在7.14m/s~7.39m/s内.

3.无空气阻力偏心入篮模型

我们利用这个模型来解释为什么“最优投篮出手条件是出手速度最小“.

考虑篮球的偏心入篮，则篮球入筐点坐标为            ，其中                      . 

为了使投篮命中率最大，我们考虑使篮球运动区域的面积最大.如图，C1,C2两条边界曲线围成的红色区域的面积A(θ)即为所求.

但是要注意，当         时，篮球是不能入筐的.在其他情况下，容易写出C1,C2的解析式，利用定积分的知识可以得到A(θ)的表达式.

从公式中可以看出,当tanθ增加时,A(θ)也随之增加.与前面类似地可得一关于tanθ 的一元二次方程,解得其较小根为                                                 

由             知tanθ是    的减函数，所以当    取最小值时tanθ取最大值.投篮命中率最大，出手条件也最优.

至此，我们介绍完了无空气阻力的投篮模型.然而在实际中，有些情况下的空气阻力影响较大无法忽略，例如远距离的三分球投射.如何解决这个问题呢？这需要我们建立一个新的模型，即有空气阻力的投篮模型.

4.有空气阻力的投篮模型

为了利用数学刻画出空气阻力对篮球运动的影响，我们选择查阅相关论文，之后我们知道了在中低速下运动的物体所受的空气阻力近似地正比于速度的二次方，即         ，其中空气阻力系数k在我们的情景中约等于0.0143kg/m. 

在水平和竖直两个方向上进行受力分析.由牛顿第二定律可以列出微分方程组：

此时作代换

就可解得       的表达式.将它们对时间积分，并由           就得到篮球运动轨迹的参数方程为

其中参数i是在其对应的点处曲线的切线的倾斜角.常数C可由初始条件得出.

我们可以利用计算机绘制出这条形式复杂的轨迹,如侧图.

图中红色曲线为考虑空气阻力的篮球运动轨迹,黑色曲线是在相同出手条件下不考虑空气阻力的篮球运动轨迹.可以看出,红色曲线的降弧较为短而弯曲,且始终在黑色曲线下方,比较贴合实际,模型具有较高的可信度.

现在我们已经找到了有空气阻力的情况下篮球的运动轨迹，但限于其形式，我们较难直接分析，不如利用python编写出程序，代入具体数据进行计算.

以三分球为例，整理计算结果如下：

分析表格数据，得出结论：在三分球定点投射中,球员大多可以θ=48°、v=9.3m/s的出手条件投球,命中率最高.

5.打板入篮模型

前面所建立的模型中都假设篮球直接入筐，但在现实生活中有时也会遇到打板入篮的情况，现在对这种情况进行分析.

将篮球当作质点,若不考虑碰撞过程中的能量损耗,那么碰撞前后的速度有如下关系

篮球与篮筐碰撞前后的运动情况是关于篮板对称的,因此碰撞前后的运动轨迹也应是对称的.那么对于打板入篮情况，将篮筐对称到篮板另一侧，通过估计虚拟“篮筐”与球员的距离，选用合适的模型套用计算就可以了.

五、结语

本文对篮球投篮进行了深入研究,将一次投篮中看似毫不相关的因素紧密联系在一起.在现实中,很多人认为篮球命中靠的是只可意会的手感;而实际上,所谓手感不过是一些因素的融合作用的结果.要具体、量化地分析这些因素,就需要使用数学建模的思想.