一  引言

                实际生活和学习中我们经常会遇上图形的旋转和对称，事实上对某些图形我们可以用不同的函数或曲线方程来刻画.因此可见方程的旋转和对称就显得尤为重要.

    下面我们将对几种常见的曲线方程旋转的方法展开讨论.并且简述一下求方程关于任意曲线轴对称的方法.

二  向量旋转法

        如图-1，在平面直角坐标系中，作两起始点均为O的向量a、b，两向量的模均为r.分别记两自由端点A、B的坐标为($x_{0}$,$y_{0}$)、($x$,$y$)，向量a与x轴夹角为α且二者夹角为β.

（图-1）

                运用三角函数可得到以下关系

$$x_{0} = r \cos \alpha$$$$y_{0} = r \sin \alpha $$(1)

                由(1)进而可导出

$$x = r \cos (\alpha +\beta)$$$$y = r \sin (\alpha +\beta)$$(2)

                将(2)利用和角公式展开，得

$$x = r \cos \alpha \cos \beta - r \sin\alpha \sin \beta$$$$y = r \sin \alpha \cos \beta + r \cos\alpha \sin \beta$$(3)

                将(1)代入(3)，最终可得变换方程组

\begin{align} x = x_{0} \cos \beta  - y_{0} \sin \beta\\ y = x_{0} \sin \beta  + y_{0} \cos \beta \end{align}(4)

                也可将(4)表示为矩阵形式

$$\begin{pmatrix}x\\y \\\end{pmatrix}=  \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\\sin\beta & \cos\beta\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{0} & y_{0}\\\end{pmatrix}$$(5)

                若上式中$y_{0}$和$x_{0}$一一对应，令$y_{0} = f(x)$，其中$f(x)$为原曲线方程，代入$x$并消去$x_{0}$即可实现图象旋转.如图-2所示.

(图-2)

                图中$f_{1}$即为原方程旋转而成的图像.

三  复数法

              复数法和向量法的原理大致相同，在复平面内构造两个复数$z_{0}$、$z_{1}$，分别为$x_{0}+iy_{0}$和$x+iy$，$z_{0}$的幅角为α且二者夹角为β.如图-3.

(图-3)

       根据复数的极坐标形式

$$r \\ e^{i\theta } =r\\cos \theta\\+i\\r\\sin \theta$$

    可得

       $$x_{0} = r \cos \alpha$$$$y_{0} = r \sin \alpha $$

        和(1)一样的结果，再将复数用$r \\ e^{i\\(\theta +\psi)} =r\\cos \\(\theta +\psi)\\+i\\r\\sin \\(\theta +\psi)$变换,将其展开、整理并联立即得(4)式,往后的方法和二中相同.

四  坐标系变换法

                        如图-4，该平面内有$xOy$和$x'Oy'$两个平面直角坐标系.

(图-4)

            其中，$x'Oy'$系由$xOy$系绕$O$点沿逆时针方向旋转$\alpha$弧度而得.除方向外，其他属性和$xOy$系相同.

            在该平面内有一点$P$，且$P\in\\xOy$、$P\in\\x'Oy'$.在$x'Oy'$系中分别取两点$A$、$B$位于其$x'$、$y'$轴上，并记为$(x',0)$、$(y',0)$.由三角学知识可得

$$\begin{align}A(x'\cos \alpha,x'\sin \alpha)\in\ xOy\\B(y'\sin\alpha,y'\cos\alpha)\in\ x'Oy' \\\end{align}$$

            因为整体逆时针旋转了$\alpha$弧度，分别过$A$、$B$两点作垂直于$x'$、$y'$轴的直线，记为$l_{A}$、$l_{B}$.根据$\alpha$角的大小和平面几何关系可以得到两直线的斜率，分别代入点斜式方程$y-b=k(x-a)$得

$$\begin{align}l_{B}:y-x'\cos \alpha=\tan \alpha(x-x'\cos \alpha) \\l_{A}:y-y'\cos \alpha=-\tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)(x-y'\sin \alpha)\\\end{align}$$(6)

            代入$x$、$y=f(x)$,消去$x'$.$y'$即为所求.

五 曲线方程的轴对称

            如图-5，设$(x_m, y_m)$是$(a, b)$和$(x', y')$的中点，则有

$$ x_m = \frac{a + x'}{2}   y_m = \frac{b + y'}{2} $$(7)

             (图-5)

                将(7)代入直线方程得

$$ A\left(\frac{a + x'}{2}\right) + B\left(\frac{b + y'}{2}\right) + C = 0 $$(8)

                其次，由于直线$Ax + By + C = 0$与连接$(a, b)$和$(x', y')$的线段垂直，所以两者的斜率乘积等于$-1$，即

$$\left( -\frac{A}{B} \right) \left( \frac{y' - b}{x' - a} \right) = -1$$(9)

                联立(8)(9)可得一个方程组，可以通过解这个方程组找到$(x', y')$点的值.继续计算，得点$(a, b)$关于直线$Ax + By + C = 0$的对称点坐标为

$$ x' = \frac{-A^2 \cdot a - 2 \cdot A \cdot B \cdot b - 2 \cdot A \cdot C + B^2 \cdot a}{A^2 + B^2} y' = \frac{A^2 \cdot b - 2 \cdot A \cdot B \cdot a - B^2 \cdot b - 2 \cdot B \cdot C}{A^2 + B^2}$$

                简化后可得

 $$x' = \frac{(B^2 - A^2) \cdot a - 2 \cdot A \cdot B \cdot b - 2 \cdot A \cdot C}{A^2 + B^2} $$(10)$$y' = \frac{2 \cdot A \cdot B \cdot a + (A^2 - B^2) \cdot b - 2 \cdot B \cdot C}{A^2 + B^2} $$(11)

                联立(10)(11),令$x=a$、$y=f(x)$，代入$Ax+By+C=0$消去$x'$,$y'$即为所求.见图-6.

(图-6)

六  结语

      在本篇文章中，我们探讨了曲线方程旋转与轴对称变换的理论框架，通过向量法、复数法以及坐标系变换法展示了如何高效地对任意给定的曲线方程进行旋转操作.这些方法不仅丰富了我们对几何变换的理解，还提供了实用的计算工具.图像的旋转和轴对称是初等数学里的基本并且重要的操作，多掌握一种方法对于数学的实际应用有着非常大的作用.曲线的旋转与轴对称不仅是一种数学上的形式美，更是自然界规律的一种直观体现，它应值得我们持续关注与探索.

参考文献

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[2]空白太小写不下.《函数图象的旋转》[Z].XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/read/cv12918164/:bilibili,2021

[3]lqh.《论关于平面直角坐标系中任意方程的旋转及平移问题》[Z].XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/p/353869283:知乎，2022