这个数列是我晚修时突然想到的，挺简单，但挺好玩，故发出来分享一下。

以下不严谨证明。

\(a_n = x^{x^{x^{x^…}}}\)（1）

共n个。

就是n阶指数塔。

现在求它的极限，若它收敛，那么：

\(a_n = x^{a_n}\)（2）

即：

\(x = e^{\frac{lna_n}{a_n}}\)（3）

令：

\(f(a_n) = \frac{lna_n}{a_n}\)（4）

求导：

\(f'(a_n) = \frac{1-lna_n}{a_n^2}\)（5）

可知：该函数在\((0,e)\)上单调递增，在\((e,+\infty)\)上单调递减，在\(a_n = e\)处取得最大值\(\frac{1}{e}\)

由于\(g(x) = e^x\)在R上单调递增，故其复合函数单调性如前，即x在\(a_n = e\)处取得最大值\(e^{\frac{1}{e}}\)

这个值大概时1.44

好玩的就出来了：当x从0+开始增大，数列的极限会越来越大，直到x等于\(e^{\frac{1}{e}}\)，数列极限取得最大值，x再大一点，哪怕只是一点点，诶，，收敛条件不满足了，数列的极限的值不会减小，而是直接发散到无穷大。

这有点像之前做过的一道物理题，光学双稳态，有一段状态是数学上存在，但是不能再准静态过程中达到。

当然，我数学不好，这段不知道怎么严格描写和证明，希望各位大佬给点建议。

哦，对了，娅娘镇楼