关于旋转体壳平截面影子的形状
ufpcyrxpscz2017/02/18数学 IP:浙江
家里有一个死星的模型,有一天看到凹形碟处的影子形状很像个圆,到底是不是呢?我先证了圆的,然后到一般情况,发现这样一个结论:对于某些形状的曲线形成的旋转体,向垂直轴心的截口(圆的)射去平行光,在旋转体上成的影子边界形状在一个平面内,也就是一个平面截这个旋转体。这个平面是很好确定的。
  这是死星(死星地球仪) ds2.jpg
这是证明。其实证明并不难,主要是结论比较有趣
式2.jpg
要证在一个平面内只要证YOZ平面内点的轨迹共线。不小心用了左手系,问题不大。
式1.jpg
所以截面函数f(x)的反函数g(x)=r^2+Az^2+Bz
据我考虑到的情况,f(x)可以是:.各种直线 ,中心在z轴上的圆、椭圆、双曲线、抛物线(的一部分)。
所以可以成类似以下的旋转体
形状.png
也就是说光从这些壳的口里射进去,成的影子边界形状在一个平面上。所以假如死星的聚焦碟是球冠的壳,所成的影子形状就是个圆,据计算(不是普遍的)圆的半径和球冠边界的半径相等。但假如侧面曲线不是这些类型的,影子应该就不在一个平面内。
    这个有什么用呢?比如说画素描要画一个碗,要画影子,就可以大胆地按圆画吧。
来自:数理化 / 数学
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