好,那现在开始证第三个命题。当然了,这里更多的像验证,因为齐次一、二类边界条件的话,我们可以定性地判断能量守恒。这里先说下,就不能直接从复数推了,这里得用上一个命题的结论。这是因为命题二用复数,相当于一个不完整的傅里叶级数,是为了线性的情况下方便运算,毕竟这个时候不改变实部嘛。但是现在找能量,需要平方项了,所以这么做就有问题了。这里再说下第一个命题为什么可以用复数做,其实这里不是用到复数线性运算实部虚部互不影响的性质,而是直接傅里叶变换过去了,所以本质是同一个函数,而并非仅实部相同,所以没有问题。
我们还是以第一类齐次边界条件和第二类齐次边界条件为例。
对第一类齐次边界条件:
将(2.29)代入(1.1),有:
(3.1)
化简:
(3.2)
将(2.29)代入(1.5),有:
(3.3)
化简:
(3.4)
那么:
(3.5)
积分即得总能量:
(3.6)
接下来麻烦的就来了,有个求和的平方,如果没有的话,积分扔求和里面就行了,但是有的话就麻烦了。所以,我们先不管那么多,先把平方展开,然后把积分号扔进求和里:
(3.7)
这里出现了双重求和,有点难受,但是比之前求和在积分号和平方里面好多了。
现在看看求和里面的积分,这个形式,我们想到了三角函数族的正交性,下面放图了,不想一个个打了,图来自梁昆淼先生的数学物理方法:
当然,这里的和图中的还是有略微不同的,因为在半个周期上积分,不过第二、三条仍成立,证明如下:
(3.8)
(3.9)
那么(3.7)可简化为:
(3.10)
积分得:
(3.11)
现在两个求和里面的东西可以放在一起了:
(3.12)
很显然,可以看出能量不是时间的函数,即能量守恒。
这个结论也可以由定性分析得出:外力只作用于两个端点,而这两个端点始终无位移,故外力不做功,能量守恒。
现在第二类齐次边界条件的情况也可以方便地类比得出了,但是还是写下吧。
(2.44)代入(1.1),化简:
(3.13)
(2.44)代入(1.5),化简:
(3.14)
(3.13)、(3.14)相加得总能量,积分、展开平方:
(3.15)
由(3.8)、(3.9)化简、再积分有:
(3.16)
合并求和:
(3.17)
可见和一类齐次边界条件形式相同。
最后说下二类齐次边界条件能量守恒的定性分析:由(1.8)可知,此时边界不受外力,那么外界也不做功。
好了,那第三个结论就到这里了,接下来准备证第四个。(终于过半了)
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