妈的，搞不定，老老实实的把原来的发上来吧。数理方法上有句话确实对，这些定解问题只有极少数是可以先求出通解再结合特殊情况的……

接下来，我们看看第二个命题。

驻波，即波动能量不发生传递，振幅随空间的分布不变的波动形式。振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。

可能很多人看到就觉得，我去怎么这么水，这也要证？

好吧，确实这一点很水，但我想用类似的复数法证一下，因为我想和后面的命题的证法保持一致。（好像之前逛kc，看到的不少人爱说的“生命在于折腾”，不知道是kc哪位大佬的名言）

先说下1、2类齐次边界条件：

一类边界条件就是规定边界上函数值的条件。

二类边界条件就是规定边界上函数对坐标偏导的值的条件。

齐次，顾名思义，就是0。

即：

齐次一类边界条件就是规定边界上函数值为零。

齐次二类边界条件就是规定边界上函数对坐标偏导的值为零。

其实还有三类边界条件，即规定函数值与函数对坐标偏导的值的线性组合的值。

对非齐次条件，数理方法上有化为齐次的方法，这里不多赘述，而一般情况下，我们遇到的都是齐次一、二类边界条件，所以就

主要讨论这俩了。

首先，我们先说下常规的证明方法。

对两侧都是齐次一类边界条件，由于：

$u{|}_{x=0}=0$（2.1）

$u{|}_{x=L}=0$（2.2）

则两个界面只能是波节。

对两侧都是齐次二类边界条件，由于：

$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x=0}=0$（2.3）

$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x=L}=0$（2.4）

则两个界面只能是波腹。

一边一类一边二类同理，就不多说了。

我们关注一种振动频率的简谐振动模式。

以上两种情况要求波长满足：

$\frac{n}{2}\lambda =L,n\in N_{+}$（2.5）

由：

$\lambda f=\lambda \frac{\omega }{2\pi }=\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}$（2.6）

和（2.5）得：

${\omega }_n=\frac{\pi n}{L}\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}$（2.7）

由于驻波的振幅的空间分布不变，而时间分布改变，其实函数形式应当空间和时间分开。

对一类齐次边界条件，由（2.5）可知，对n的波模，有2n+1个波节，所以该波模的形式可以写成这样：

$u_{n,1}=A_{n,1}sin(\frac{n\pi x}{L})cos(\frac{n\pi }{L}\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t+{\varphi }_{n,1})$（2.8）

同理，对二类齐次边界条件，可以写成这样：

$u_{n,2}=A_{n,2}cos(\frac{n\pi x}{L})cos(\frac{n\pi }{L}\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t+{\varphi }_{n,2})$ (2.9)

那么对同边界条件，任意形式的驻波，都可以由（2.8）（2.9）叠加得到，或者说类似傅里叶级数。

$u_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{n,1}sin(\frac{n\pi x}{L})cos(\frac{n\pi }{L}\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t+{\varphi }_{n,1})$（2.10）

$u_2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{n,2}cos(\frac{n\pi x}{L})cos(\frac{n\pi }{L}\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t+{\varphi }_{n,2})$（2.11）

其余边界条件都可类似处理。

这么做的好处很多，简单，不失物理意义。但是前面说了，为了和后面保持一致，我想折腾下用复数法证一遍。