好的，那开始证第四点。先说一下，这个结论是我写本文的原因，因为之前做难题集萃，书上说显然如此……后面才去收集一些其他的之前有疑问的地方。

这个的重点就不是边界条件而是衔接条件了，所以我们就直接用第一类齐次边界条件来说明。我们这样设定一个情形，在\(x=0\)处，\(x=L\)处都有第一类齐次边界条件，在\(x < \alpha L\)处波数\(k = k_1\)，在\(x > \alpha L\)处波数\(k = k_2\)。这里我们要讨论的问题和能量啊、具体的运动方程啊等等无关，就不深入材料的性质、比如\(\varepsilon_1 、\rho_1\)之类讨论了，对同样的频率的波动，这些材料的性质决定了波速，波速决定了波长，波长决定了波数，所以只设波数就行了。还有，之前设波动形式，一直有一项\(e^{i\omega t}\)，即时间波动项，这项都是最后被消掉的，不妨最初就不设了，物理意义是复振幅随空间的分布。最后，只要任意角频率的波动满足条件，它们的线性组合必然满足条件，为方便就略去角标\(\omega\)了。

左侧：

\(\tilde{A}_{1} = \tilde{A}_{+,1}e^{-ik_1 x}+\tilde{A}_{-,1}e^{ik_1 x}\)（4.1）

右侧：

\(\tilde{A}_{2} = \tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 x}+\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 x}\)（4.2）

左侧0处满足第一类齐次边界条件：

\(\tilde{A}_{1}|_{x = 0} = \tilde{A}_{+,1}+\tilde{A}_{-,1} = 0\)（4.3）

右侧L处满足第一类齐次边界条件：

\(\tilde{A}_{2}|_{x = L} = \tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 L}+\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 L} = 0\)（4.4）

接下来就是衔接条件了，衔接处应当复振幅相等，对应的物理意义就是介质要连续：

\(\tilde{A}_{1}|_{x = \alpha L} =  \tilde{A}_{2}|_{x = \alpha L}\)（4.5）

即：

\(\tilde{A}_{+,1}e^{-ik_1 \alpha L}+\tilde{A}_{-,1}e^{ik_1 \alpha L} = \tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 \alpha L}+\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 \alpha L}\)（4.6）

衔接处应当要受力平衡，否则会产生无限大的加速度，而力与波动量随空间坐标偏导成正比（1.8）。

\(\varepsilon_1\frac{\partial \tilde{A}_{1}}{\partial x}|_{x = \alpha L} =  \varepsilon_2\frac{\partial \tilde{A}_{2}}{\partial x}|_{x = \alpha L}\)（4.7）

即：

\(-i\varepsilon_1 k_1\tilde{A}_{+,1}e^{-ik_1 \alpha L}+i\varepsilon_1 k_1\tilde{A}_{-,1}e^{ik_1 \alpha L} = -i\varepsilon_2 k_2\tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 \alpha L}+i\varepsilon_2 k_2\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 \alpha L}\)（4.8）

整理得线性齐次方程组：

\(\begin{cases} \tilde{A}_{+,1}+\tilde{A}_{-,1} = 0\\ \tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 L}+\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 L} = 0\\ \tilde{A}_{+,1}e^{-ik_1 \alpha L}+\tilde{A}_{-,1}e^{ik_1 \alpha L} -\tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 \alpha L}-\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 \alpha L} = 0\\ -\varepsilon_1 k_1\tilde{A}_{+,1}e^{-ik_1 \alpha L}+\varepsilon_1 k_1\tilde{A}_{-,1}e^{ik_1 \alpha L} +\varepsilon_2 k_2\tilde{A}_{+,2}e^{-ik_2 \alpha L}-\varepsilon_2 k_2\tilde{A}_{-,2}e^{ik_2 \alpha L} = 0\\ \end{cases}\)（4.9）

为使复振幅具有非零解，需要系数行列式为零，即：

\(\left | \begin{array}{cccc} 1& 1&0&0\\ 0&0&e^{-ik_2 L}&e^{ik_2 L} \\ e^{-ik_1 \alpha L}&e^{ik_1 \alpha L}&-e^{-ik_2 \alpha L}&-e^{ik_2 \alpha L}\\ -\varepsilon_1 k_1e^{-ik_1 \alpha L}&\varepsilon_1 k_1 e^{ik_1 \alpha L}&\varepsilon_2 k_2e^{-ik_2 \alpha L}&-\varepsilon_2 k_2e^{ik_2 \alpha L}\\ \end{array}\right | = 0\)（4.10）

emm……看看这个行列式……似乎也没啥好办法可以巧算，直接硬展开吧。