波动杂谈 - 科创网

9个月14天前修改于 6个月26天前 IP:广东

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发表于《波动杂谈》

好的，那开始证第四点。先说一下，这个结论是我写本文的原因，因为之前做难题集萃，书上说显然如此……后面才去收集一些其他的之前有疑问的地方。

这个的重点就不是边界条件而是衔接条件了，所以我们就直接用第一类齐次边界条件来说明。我们这样设定一个情形，在 $x = 0$ 处， $x = L$ 处都有第一类齐次边界条件，在 $x < α L$ 处波数 $k = k_{1}$ ，在 $x > α L$ 处波数 $k = k_{2}$ 。这里我们要讨论的问题和能量啊、具体的运动方程啊等等无关，就不深入材料的性质、比如 $ε_{1} 、 ρ_{1}$ 之类讨论了，对同样的频率的波动，这些材料的性质决定了波速，波速决定了波长，波长决定了波数，所以只设波数就行了。还有，之前设波动形式，一直有一项 $e^{i ω t}$ ，即时间波动项，这项都是最后被消掉的，不妨最初就不设了，物理意义是复振幅随空间的分布。最后，只要任意角频率的波动满足条件，它们的线性组合必然满足条件，为方便就略去角标 $ω$ 了。

左侧：

${\tilde{A}}_{1} = {\tilde{A}}_{+, 1} e^{- i k_{1} x} + {\tilde{A}}_{-, 1} e^{i k_{1} x}$ （4.1）

右侧：

${\tilde{A}}_{2} = {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} x} + {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} x}$ （4.2）

左侧0处满足第一类齐次边界条件：

${\tilde{A}}_{1} |_{x = 0} = {\tilde{A}}_{+, 1} + {\tilde{A}}_{-, 1} = 0$ （4.3）

右侧L处满足第一类齐次边界条件：

${\tilde{A}}_{2} |_{x = L} = {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} L} + {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} L} = 0$ （4.4）

接下来就是衔接条件了，衔接处应当复振幅相等，对应的物理意义就是介质要连续：

${\tilde{A}}_{1} |_{x = α L} = {\tilde{A}}_{2} |_{x = α L}$ （4.5）

即：

${\tilde{A}}_{+, 1} e^{- i k_{1} α L} + {\tilde{A}}_{-, 1} e^{i k_{1} α L} = {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} α L} + {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} α L}$ （4.6）

衔接处应当要受力平衡，否则会产生无限大的加速度，而力与波动量随空间坐标偏导成正比（1.8）。

$ε_{1} \frac{\partial {\tilde{A}}_{1}}{\partial x} |_{x = α L} = ε_{2} \frac{\partial {\tilde{A}}_{2}}{\partial x} |_{x = α L}$ （4.7）

即：

$- i ε_{1} k_{1} {\tilde{A}}_{+, 1} e^{- i k_{1} α L} + i ε_{1} k_{1} {\tilde{A}}_{-, 1} e^{i k_{1} α L} = - i ε_{2} k_{2} {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} α L} + i ε_{2} k_{2} {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} α L}$ （4.8）

整理得线性齐次方程组：

${\begin{cases} {\tilde{A}}_{+, 1} + {\tilde{A}}_{-, 1} = 0 \\ {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} L} + {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} L} = 0 \\ {\tilde{A}}_{+, 1} e^{- i k_{1} α L} + {\tilde{A}}_{-, 1} e^{i k_{1} α L} - {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} α L} - {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} α L} = 0 \\ - ε_{1} k_{1} {\tilde{A}}_{+, 1} e^{- i k_{1} α L} + ε_{1} k_{1} {\tilde{A}}_{-, 1} e^{i k_{1} α L} + ε_{2} k_{2} {\tilde{A}}_{+, 2} e^{- i k_{2} α L} - ε_{2} k_{2} {\tilde{A}}_{-, 2} e^{i k_{2} α L} = 0 \end{cases}$ （4.9）

为使复振幅具有非零解，需要系数行列式为零，即：

$| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{- i k_{2} L} & e^{i k_{2} L} \\ e^{- i k_{1} α L} & e^{i k_{1} α L} & - e^{- i k_{2} α L} & - e^{i k_{2} α L} \\ - ε_{1} k_{1} e^{- i k_{1} α L} & ε_{1} k_{1} e^{i k_{1} α L} & ε_{2} k_{2} e^{- i k_{2} α L} & - ε_{2} k_{2} e^{i k_{2} α L} \end{array} | = 0$ （4.10）

emm……看看这个行列式……似乎也没啥好办法可以巧算，直接硬展开吧。

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