接下来，我们用类似上面的一般方法来推导波动方程。

我们知道$\overrightarrow{F}=-\mathrm{\nabla }V$（1.6）

在一维空间中：

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial {\mathrm{\Delta }}_1}\overrightarrow{e_{{\mathrm{\Delta }}_1}}$（1.7）

注意是对$\mathrm{\Delta }$的偏导数！这是因为两个邻近质元的位移差才是这个维度，势能和力肯定只依赖于它，而不是单个质点偏离平衡位置的位移。

那么我们可以求出力：

$\overrightarrow{F}=-\frac{\partial }{\partial {\mathrm{\Delta }}_1}(dV)\overrightarrow{e_{{\mathrm{\Delta }}_1}}=-\frac{{\epsilon }_1}{dx}{\mathrm{\Delta }}_1\overrightarrow{e_{{\mathrm{\Delta }}_1}}=-{\epsilon }_1\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{e_{{\mathrm{\Delta }}_1}}$（1.8）

注意，势能是该质元的势能，所以这个力也是该质元施加给邻近且坐标比它大的质元的力。

而我们要列牛顿第二定律的方程，就要找该质元受的力。

由牛顿第三定律，$[x,x+dx]$内的质元受到的合力（以u正方向为正，写为标量式）可算出：

$F={\epsilon }_1\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}-{\epsilon }_1{\frac{\partial u}{\partial x}}_x={\epsilon }_1\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx$（1.9）

那么，我们便可以导出一维形式的波动方程

$F={\epsilon }_1\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx={\rho }_1\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}dx$（1.10）

即：

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$(1.11)

这是一个偏微分方程的定解问题，为了方便我们选取无限长一维介质，即无边界条件。

对于初始条件，我们设：

$u{|}_{t=0}=\phi (x),\frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x)$（1.12）

即给定每一质元初始时相对平衡位置的位移和速度

梁昆淼先生的数理方法上，介绍了用达朗贝尔公式去解，下个回复我会把它放上来。然而，这个方法确实较简单，但是于我们今天的证明和高维的推广不利，我后面会使用别的方法求解的。