将（1.18）代入（1.1）可得：

$dT=\frac{1}{2}{\rho }_1[\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}\frac{i}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}k[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk{]}^{2}dx=\frac{1}{8{\pi }^2}{\epsilon }_1[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk{]}^{2}dx$（1.19）

将（1.18）代入（1.5）可得：

$dV=\frac{1}{2}{\epsilon }_1[\frac{i}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}k[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk{]}^{2}dx=\frac{1}{8{\pi }^2}{\epsilon }_1[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk{]}^{2}dx$（1.20）

对比发现，（1.19）和（1.20）之间只差了一个积分里的正负号，也就是说，要势能和动能相等，条件是：

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk=\pm {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ik[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}-B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk$（1.21）

我们先看取正号的情况，将积分里两项拆开，移项，有：

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ik[B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t}]e^{ikx}dk=0$（1.22）

使用傅里叶变换的导数性质，有：

$2\pi b^{\prime }(x-\sqrt{\frac{{\epsilon }_1}{{\rho }_1}}t)=0$（1.23）

其中B(k)是b(x)的像函数。

那么取t=0，有：

$b^{\prime }(x)=0$（1.24）

即$b(x)=C$（1.25）

而，数学上，由傅里叶变换的条件，即函数必须绝对可积，则C只能取0，物理上，一般认为无穷远处无波动，或者说波动需要无穷长的时间传播，C取0。所以，我们有：

$b(x)=0，B(k)=0$(1.26)

同理，取负号时：

$a(x)=0，A(k)=0$(1.27)

我们在继续结合初始条件之前，先讨论下（1.26）和（1.27）的物理意义。A和B至少有一个为零，意味着波动仅向一个方向传播，这便是波动中任意一点动能和势能相等的条件。当然，我们还要和初始条件$\phi ,\psi$结合，接下来会讲。