好的，那么现在开始第一点，即一维机械波动单一波模质元势能动能相等。由于我们要普遍地证明，所以，我们既不能完全脱离物理，只研究方程，也不能完全依赖某种特殊情况。

首先，我们要引入波动量$u(x,t)$，它是一个二元函数，x为质元平衡位置的空间位置，t为时间，u则为在x处t时，介质质元相对平衡位置的位移。

我们在推导波动方程前，不妨先找找动能和势能的一般表示。

那么，对于线密度为${\rho }_1$（这里角标为1，代表线密度，即一维的密度$\frac{dm}{dx}$）的介质，我们可以很轻松地写出某一质元的动能：

$dT=\frac{1}{2}(dm)v^2=\frac{1}{2}{\rho }_1(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}{)}^{2}dx$（1.1）

然而，不同介质的势能却多种多样，找具体的表达式较为麻烦。不过，我们知道，势能一定依赖于相邻两质元波动量u之差，即：${\mathrm{\Delta }}_1=u(x+dx,t)-u(x,t)=\frac{\partial u}{\partial x}dx$

这是因为，无外力，必无外势场，或者外势能可以忽略不计，势能只来自于介质本身。那么势能肯定只于介质质元间相对位移有关。

不妨记势能为$V({\mathrm{\Delta }}_1)$。

由于讨论的一般是平衡位置附近小幅波动，我们应把势能在0附近泰勒展开，即：

$dV({\mathrm{\Delta }}_1)=\frac{1}{0!}dV(0)+\frac{1}{1!}\frac{d(dV)}{d{\mathrm{\Delta }}_1}{|}_0{\mathrm{\Delta }}_1+\frac{1}{2!}\frac{d^2(dV)}{d{\mathrm{\Delta }}_1^2}{|}_0{\mathrm{\Delta }}_1^2+o({\mathrm{\Delta }}_1^2)$（1.2）

我们只保留到平方项。

由于平衡位置处，势能取得极值，势能的导数应为零。由于势能的值无意义，只有差有意义，所以我们完全可以定义平衡位置处势能为零。

那么，把相对位移的表达式代入式子后面部分，势能的表达式就可以被简化为：

$dV=\frac{1}{2}\frac{d^2(dV)}{d{\mathrm{\Delta }}_1^2}{|}_{0}dx(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^{2}dx$（1.3）

是不是发现了规律？注意$\frac{d^2(dV)}{d{\mathrm{\Delta }}_1^2}{|}_0$不是变量！它是平衡位置处势能对相对位移的二阶导数的值。

我们可以设：

${\epsilon }_1=\frac{d^2(dV)}{d{\mathrm{\Delta }}_1^2}{|}_{0}dx$（1.4）

那么：

$dV=\frac{1}{2}{\epsilon }_1(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^{2}dx$（1.5）

可以发现，动能和势能的表达式已经很像了。

现在还有一个问题，${\epsilon }_1$是否和${\rho }_1$一样是个常量？还是说是个小量？

解决这个方法，最好的办法就是……

雷氏力学！把（1.2）代入（1.4），不管偏导数，发现分子分母都有4个d，可以约去

好吧，是开玩笑的。

不过类似方法也能用。

先明确两点，振动量对平衡位置坐标的偏微商是常数，一元函数微分有分数性质。

（1.3）代入（1.4）可以发现，分子分母都是四阶小量，同阶小量之比是非零常数，所以${\epsilon }_1$是个常量。