从结果的形式就可以看出，上述方法求解，较为便利，但是就本次证明而言不够友好，因为该方法不能推广至高维。我们选择傅里叶变换求解。

这种办法在数学物理方法第十三章有，但是后面要推广至高维，所以就先打出来了。

还有，如果要推广到有边界条件的情况，最好还是用拉普拉斯变换，但我们主要讨论无边界情况，用傅里叶变换即可。

（1.11）的泛定方程对x傅里叶变换，记像函数为\(U(k,t)\)（这里的k数学上相当于一般傅里叶变换中的频率，因为这里考虑到初始条件，所以对x变换，而这个k的物理意义是波数，很快大家就能看到了）

用傅里叶变换的性质(\(F[f'(t)] =i\omega F[f(t)]\))（这个证明套定义就行了，数学物理方法第五章第二节上有），可以将偏微分方程变为常微分方程：

\(\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}+\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}k^2U =0\)（1.13）

（1.12）的初始条件对x傅里叶变换，记像函数分别为\(\bar{\varphi}(k),\bar{\psi}(k)\)（头上打一个横杠确实是拉普拉斯变换的像函数的记法，但这里不会用到，不至于搞混，而且最清晰）

则：

\(U|_{t=0} =\bar{\varphi}(k),\frac{\partial U}{\partial t}|_{t =0} = \bar{\psi}(k)\)（1.14514）

（1.13）是一个二阶常系数线性常微分方程（虽然用了偏微分符号，但是只有对t的微分，k可以看成常量），我们可以很容易解出，对应特征方程：

\(r^2+\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}k^2 = 0\)（1.15）

特征根：

\(r_1 = ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}},r_2 = -ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}\)（1.16）

那么（1.13）的解：

\(U(k,t) = A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}\)（1.17）

其中A、B是k的待定函数。

书上做到这一步就结合初始条件往下做，推出达朗贝尔公式了，但是我觉得现在还不需要结合，这样更利于本次证明。

接下来，把像函数逆变换回去。

\(u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}[A(k)e^{ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}+B(k)e^{-ik\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\rho_1}}t}]e^{ikx}dk\)（1.18）

让我们暂且停一下，说下该表达式的意义。积分内的是波数为k的波动模式，括号内是时间项，括号外是空间项。