二、齐奥科夫斯基火箭方程【别名：理想火箭速度方程】

1、齐奥科夫斯基火箭方程

$$\Delta V=u_{e}\cdot ln\frac{m_{0}}{m_{1}}$$

其中：

$\Delta V$——速度增量，单位【米每秒，m/s】

$u_{e}$——喷气速度，单位【米每秒，m/s】

$m_{0}$——火箭发射前的总质量，单位【千克，kg】

$m_{1}$——火箭工作结束后的总质量，单位【千克，kg】

2、计算方法

        这个公式是理论上火箭燃烧掉自身质量，最后能够达到的最高速度，忽略了一切外界影响，包括阻力、重力等等。仅仅在宇宙真空中实际的的速度增量才等于理论值，在地球上由于空气阻力，地球引力的存在，实际是达不到这个速度的。它的意义在于给了一个理想情况下的值。

举例：某同学想做一枚超音速火箭，他凭直觉制作了一枚火箭。这枚火箭的总重量为10kg，其中火箭发动机的燃料质量为3kg，火箭燃料的比冲为100s。试问，他能实现超音速飞行的目标吗？如果不行，他该怎么改进？

解：可以按照最高速度进行计算，然后做出判断

火箭发射前的总质量为m0=10kg；

火箭烧掉3kg燃料，因此火箭工作结束后的总质量为m1=10-3=7kg。

喷气速度按比冲估算为$u_{e}=9.8\times 100=980m/s$。

该火箭所能达到的最高速度为，

$$\Delta V=u_{e}\cdot ln\frac{m_{0}}{m_{1}}=980\times ln\frac{10}{7}=349m/s> 340m/s $$

结论：这位同学有可能达到超声速目标，但是考虑空气阻力、地球重力影响，此过程会十分艰辛。

建议：

1)、减轻箭体质量和发动机壳体质量，增加燃料质量，以提高比值$\frac{m_{0}}{m_{1}}$。

2）使用高能燃料以提高喷气速度$u_{e}$。

3）优化箭体外形减小空气阻力，改变火箭飞行方向以减小地球引力影响。

3、说明

1）这个公式有什么用？

答：做总体设计用的，确定速度

以后，

2）做金属发动机真的合适吗？

答：从提高喷气速度的角度看，金属发动机可以提高燃烧室压强，进而提高比冲、排气速度，它是合理的。从质量的角度，金属发动机壳体很沉，降低了比值m0/m1，从这一角度看它是不合适的。因此，做金属发动机是需要权衡利弊的。

3）如果能提高比冲，有质量轻那就最好了。

答：所以现代火箭用的复合材料，碳纤维缠绕壳体之类的，皮薄馅大！

三、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式

1、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式

$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}$$

其中，

$u_{e}$——火箭发动机喷管的喷气速度，单位【m/s，米每秒】

$k$——喷管中的燃气的比热比，没有单位【或者说量纲为1】

$R$——喷管中燃气的气体常数，单位【J/(mol*K)，焦每摩尔每开】

$T^{*}$——燃气的总温，单位【K，开】

$P_{e}$——拉瓦尔喷管出口截面处的气体压强，单位【Pa，帕】

$P^{*}$——燃气的总压，单位【Pa，帕】

2、计算方法

这个公式用于精确计算从“拉瓦尔喷管”中出来的燃气的速度，不是什么简化公式。但要明白由于实际气体与理想气体有区别，所以会有些偏差需要靠实验测定，以后公式都不会再强调这点。计算喷气速度需要许多参数，或许会令爱好者迷茫，于是逐个解释：

1）比热比$k$，有些书写作$\gamma$，都一样。这是燃气的一个热力学参数。火箭燃气的成分是复杂的，确定这一参数是也困难而复杂的。因此对于业余爱好者而言，可以先使用这些数据：空气k=1.4，喷气发动机的燃气k=1.33，火箭发动机燃气k=1.25。这里讲火箭发动机，故k=1.25，当然也可以参考一些现有数据。

2）这里的气体常数$R$不太一样，区别与R0=8.314，它等于$R=\frac{R_{0}}{M}=\frac{8.314}{M}$，只是习惯区别。与燃气成分有关，和1）一样确定这一参数是也困难而复杂的，可以先用这些数据：空R=287.06，火箭燃气R=287.4。

3）燃气的总温$T^{*}$，总温就是气体速度为0时的温度，在发动机中，它就等于燃烧室的温度。这里计算都是用“开氏温标”的，数值上开氏温度=摄氏温度+273。

4）喷管出口截面处的气体压强$P_{e}$，喷管设计的目标就是使该值等于大气压，叫做“完全膨胀”，如果不等，就叫“过膨胀”或“欠膨胀”。因此设计时，就取它等于当地大气压。气压取决于海拔高度，爱好者的发动机打都工作于海平面附近，可以使用海平面标准值$P_{e}=P_{a}=1.013\times 10^{5}Pa$。

5）燃气的总压$P^{*}$，和3）一样表示速度为0时的燃气压强，火箭燃烧室中可认为速度为0，于是这里等于发动机燃烧室压强。

6）$\frac{P_{e}}{P^{*}}$又称为“膨胀压强比”

举例：这里用刚才看见的““500N硝酸—混胺50液体火箭发动机热试车”中的数据来举例。

原作者：@地震带上的人

原帖地址：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/83162?&;;;page=0&highlight=850151#850151。

已知试车参数：某爱好者的发动机，燃烧室压强5MPa，工作地点为海平面，燃烧室温度为3185K，假设火箭工作于完全膨胀状态，试估算火箭的喷气速度？

解：燃烧室压强5MPa，工作地点为海平面，气压约为0.1MPa，于是膨胀压强比为

$$\frac{P_{e}}{P^{*}}=50$$

火箭发动机燃烧室温度为

$$T^{*}=3185K$$

比热比取k=1.25，气体常数去R=287.4，于是该发动机的喷气速度为

$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}=\sqrt{\frac{2\times 1.25}{1.25-1}\times 287.4\times 3185\times\left [ 1-\left ( \frac{1}{50} \right )^{\frac{1.25-1}{1.25}} \right ]}=2228.83m/s$$

与爱好者“@地震带上的人”提供的仿真结果比对

图中发动机喷管出口截面处的速度约为2111m/s。与公式计算结果2228.83m/s基本一致，并且偏小了约117m/s。误差主要是来自比热比k=1.25值的估计不准确，此外是和实际过程中的能量损耗。

1）这个公式的重点在于比热比k值的确定，精确的我也不知道怎么算，等高人把，暂且先用k=1.25估算。

2）为了使用方便，简化计算。我绘制了关于喷气速度的曲线供爱好者进行参考。下图为比热比为1.2的燃气的喷气速度曲线，可以大致参照估算，各条曲线从下往上温度递增。

3）这个公式除了计算喷气速度还有什么用？

答：根据实验数据可以反过来推算比热比k。

四、“拉瓦尔喷管”的质量流量公式

1、“拉瓦尔喷管”质量流量完整公式

$$\dot{m}=\Gamma (k)\cdot \frac{P^{*}\cdot A_{t}}{\sqrt{R\cdot T^{*}}}$$

$$\Gamma (k)=\sqrt{k\cdot \left ( \frac{2}{k+1} \right )^{\frac{k+1}{k-1}} }$$

其中，

$\Gamma (k)$——与比热比$k$有关的一个函数。

$k$——喷管中的燃气的比热比，没有单位【或者说量纲为1】

$P^{*}$——燃气的总压，单位【Pa，帕】

$A_{t}$——“拉瓦尔喷管”的喉部截面积，单位【$m^{2}$，平方米】

$R$——喷管中燃气的气体常数，单位【J/(mol*K)，焦每摩尔每开】

$T^{*}$——燃气的总温，单位【K，开】

2、计算方法

公式中的字母含义参见（三、2）中有关说明。我看到论坛里流传一个简化公式，和这个有些区别，这个是精确的数学公式。这个公式用来精确计算喷管的质量流量，进而计算火箭发动机推力、需要消耗的燃料质量等。

举例：这里还是引用爱好者“@地震带上的人”的试车数据。

已知，发动机燃烧室压强5MPa，燃烧室温度3185K，发动机图纸如下。

图纸来源：“地震带上的人”

试计算：

1)该发动机的燃气质量流量？

2)如果发动机工作5s，试估算需要消耗燃料和氧化剂一共多少千克？

3)若氧燃比为$\gamma$为4.5，则氧化剂、燃料各多少千克？（氧燃比=氧化剂质量/燃料质量）

解：发动机燃烧室压强5MPa，于是火箭燃气的总压为

$$P^{*}=5\times 10^{6}Pa$$

燃烧室温度3185K，于是火箭燃气的总温为

$$T^{*}=3185K$$

从图纸可以知道，发动机的喉部截面的直径为$d_{t}=8.6mm$，于是喉部的截面积为

$$A_{t}=\frac{\pi }{4}\cdot d_{t}^{2}=\frac{\pi }{4}\times 0.0086^{2}=5.809\times 10^{-5}m^{2}$$

比热比取参考值，k=1.25，则函数$\Gamma (k)$的值为

$$\Gamma (k)=\sqrt{k\cdot \left ( \frac{2}{k+1} \right )^{\frac{k+1}{k-1}} }=\sqrt{1.25\times \left ( \frac{2}{1.25+1} \right )^{\frac{1.25+1}{1.25-1}} }=0.658$$

气体常数取参考值R=287.4。

1）发动机的燃气质量流量为

$$\dot{m}=\Gamma (k)\cdot \frac{P^{*}\cdot A_{t}}{\sqrt{R\cdot T^{*}}}=0.658\times \frac{5\times 10^{6}\times 5.809\times 10^{-5}}{\sqrt{287.4\times 3185}}=0.304kg/s$$

2）工作5秒消耗的燃料和氧化剂总质量为

$$m=\dot{m}\cdot t=0.3041\times 5=1.518kg$$

3）氧燃比$\gamma=4.5$，于是氧化剂质量为

$$m_{o}=\frac{\gamma }{\gamma +1}\cdot m=\frac{4.5 }{4.5 +1}\times 1.518=1.242kg$$

燃料质量为

$$m_{f}=\frac{1 }{\gamma +1}\cdot m=\frac{1 }{4.5 +1}\times 1.518=0.276kg$$

结果判断：没有燃料质量的具体的说明，只好根据图片估算，如果算出来的燃料体积能装到储箱里，就说明我们算对了。

图片来源：图纸来源：“地震带上的人”

与实验所用的储箱大小对比，根据砖头的尺寸（240mm*115mm*53mm）估计储箱高度为5.3倍砖头宽度，即$5.3\times 115=610mm$，储箱直径为1.3倍砖头厚度，即$1.3\times 53=70mm$。

因此储箱容积为

$$V_{tank}=\frac{\pi }{4}\times 0.007^{2}\times 0.610=2.348\times 10^{-3} m^{3}=2348ml$$

约2348毫升。

前面计算出的氧化剂质量为1.242kg，发烟硝酸密度1.4g/cm，折算体积887毫升。约占储箱容积的$38\%$。

前面计算出的燃料质量为0.276kg，混胺-50密度1.4g/cm，折算体积327毫升。约占储箱容积的$14\%$。

都能被装下，所以计算结果可能是对的。大概。。

后面的等有空再写了。

补充2018/09/22/01:19

补充：火箭发动机燃烧室压力的试验测定公式

1、公式

$$P_{c}=\frac{F}{0.694\cdot S_{e}}$$

式中：

$P_{c}$——燃烧室的压强，单位【帕，Pa】

$F$——发动机推力，单位【牛，N】

$S_{e}$——收缩喷管的出口截面积，单位【平方米,$m^{2}$】

2、实验方式

发动机的喷管为收缩喷管，或者是直喷管，既是扩张比为1，如下图所示

3、计算举例

4、补充说明

原理是，

（1）发动机收缩喷管时，喷管工作在超临界状态下，即堰塞状态下，收缩喷管出口的马赫数为一个确定值，等于1，据此计算出喷气速度。

（2）同时，根据流量与压强的关系即可导出这个计算公式。带入工程推荐参数比热比k=1.25，得到0.694的系数，简化公式以方便使用。

（3）推导过程如下，以后有空修改编辑格式。

五、“拉瓦尔喷管”最佳扩张比公式

1、“拉瓦尔喷管”最佳扩张比公式

2、计算方法

1）计算举例

2）由膨胀压强比估算扩张比的曲线

3、说明

1）论坛里玩ABC固体小火箭的新人，千万别把扩张比弄那么大。你们的发动机工作在海平面，不是真空！

看见把扩张比搞到16的，好好想想通自来水的PVC管能耐压100多个大气压？！！明显不能啊。。。

20个气压我都觉得悬，扩张比放在4以内吧。即喷管出口截面直径喉部直径<2倍喉部直径 

六、火箭发动机设计工作思路步骤

（一）、设计

1、确定发动机推力、工作时间、工作海拔高度

2、选择燃料组合，

3、由化学反应方程式计算或经验估算混合比、比热比

4、确定比冲，燃烧室压力、温度

5、计算质量流量

    5.1、计算燃料总质量

    5.2、计算氧化剂质量、燃料质量

    5.3、计算喷嘴大小、数量

9、计算扩张比

    9.1计算喉部尺寸

    9.2计算喷口截面尺寸

    9.3经验确定喷管其他尺寸

10、热防护设计

11、储箱设计、管路设计、点火设计

12、强度校核、热校核

13、重复以上步骤直到满足校核要求

(二)、绘图

1、参考已有结构，根据设计结果绘制加工图纸

（三）、发动机试验

    实验数据分析，修正设计

（四）、重复以上直到发动机满足工作要求

（五）、发动机定型，编写生产工艺卡片。

七、有关发动机的其它公式

他们共同推导出了以上关系，了解即可。

1、声速公式

2、一维等熵绝能流动能量公式

3、声速与马赫数公式

4、滞止参数与总静参数的关系-马赫数

5、声速与$\lambda$数关系

    附：气动函数曲线

5、滞止参数与总静参数的关系-$\lambda$数

6、总压恢复系数

7、缩扩喷管极限排气速度

一维定常流动基本方程

8、连续方程

9、喷管截面积与马赫数微分关系

    附：截面积与马赫数关系曲线

10、喷管截面积与体积微分关系

11、喷管截面积与压强微分关系

12、喷管截面积与密度微分关系

    附：缩扩喷管机理解释

13、拉瓦尔喷管亚声速段、声速段、超声速段

    附：图

14、流量函数与气动函数关系

15、绝能流动$\lambda$数守恒关系

收缩喷管

16、喷气速度公式

17、临界压力比

18、收缩喷管三种工作状态（仅仅与压力比有关）

    1）亚临界

    2）临界

    3）超临界，堰塞状态

19、超临界状态下的喷气出口波系

20、提升喷气发动机推力的加力燃烧讨论

举例：

拉瓦尔喷管

21、拉瓦尔喷管工作状态（由面积比决定）（压强条件）

1）设计状态

2）欠膨胀状态

3）过膨胀状态

22、气体比热比公式

23、地球大气密度、压强、温度随海拔高度的拟合公式（8段非线性）

八、流体力学数值仿真软件fluent简单应用

1、模型建立

2、网格划分gambit

3、计算

九、soliworks简单建模与应力分析工具

参考资料：

1、《空气动力学基础》，哈尔滨工业大学出版社。没有教材，但是有课件PPt，很详细。附件：课件。

第1章副本.pdf 14.02MB PDF 1386次下载 预览 ，这个是绪论和讲流体基本性质的。涉及的偏微分方程、张量方程甚是复杂，不过插图很好看，推荐看看图片、概念就好。

第2章.pdf 5.07MB PDF 913次下载 预览 ，这个是讲连续、动量、能量、N-S方程、相似原理的，图片好看，看看概念，图片就好。

第3章.pdf 3.50MB PDF 765次下载 预览 ，讲平面涡的，圆柱绕流，圆周选择产生升力的。最重要的是“库塔-茹科夫斯基定理”。

第4章.pdf 6.21MB PDF 881次下载 预览 ，讲翼型、低速机翼的。机翼产生升力可不是白努力原理那么简单，是库塔条件，要明白启动涡的过程，很重要，一定要看。机翼的翼梢涡，大飞机为什么会掀翻小飞机，机翼怎么设计的根本原理。一定要看！

第5章.pdf 10.63MB PDF 1405次下载 预览 ，最重要的一章，火箭发动机的根本理论基础，激波理论、马赫环理论、喷管理论，高超声速飞行。本帖的所有内容均科在本章找到解释。没有任何复杂公式，一定要读！

2、《动力装置》，没有电子教材，但是有课件，很详细。其原理来自1中，部分来自2中。其他精华已被我总结在上面。

3、《航天器推进系统及其应用》，西北工业大学出版社。

附件：课本教材。

航天器推进系统设计_第1讲_绪论.pdf 1.20MB PDF 1075次下载 预览

航天器推进系统设计_第2讲_需求分析.pdf 1.61MB PDF 971次下载 预览 ，

航天器推进系统设计_第3讲_理想发动机性能.pdf 836.39KB PDF 896次下载 预览

理论与实践的桥梁，在2的理论上进行了演绎，火箭技术的术语都可以在这里找到。

航天器推进系统设计_第4讲_冷气推进系统（GPS）.pdf 271.19KB PDF 1052次下载 预览

航天器推进系统设计_第5讲_固体火箭发动机SRM.pdf 332.71KB PDF 1482次下载 预览

航天器推进系统设计_第6讲_单组元液体推进系统.pdf 1.43MB PDF 1063次下载 预览

航天器推进系统设计_第7讲_双组元液体推进系统.pdf 809.35KB PDF 946次下载 预览

航天器推进系统设计_第8讲_阀门.pdf 686.05KB PDF 639次下载 预览

航天器推进系统设计_第9讲_液体推进系统设计.pdf 1.45MB PDF 773次下载 预览

航天器推进系统设计_第10讲_电阻加热式推力器（Resistojet）.pdf 536.59KB PDF 788次下载 预览

航天器推进系统设计_第11讲_电弧加热发动机（Arcjet）.pdf 1.03MB PDF 682次下载 预览

航天器推进系统设计_第12讲_微波等离子推力器（MPT）.pdf 430.31KB PDF 682次下载 预览

航天器推进系统设计_第12讲_微波等离子推力器1（MPT）.pdf 999.89KB PDF 569次下载 预览

航天器推进系统设计_第13讲_稳态等离子体推力器（SPT）.pdf 2.02MB PDF 520次下载 预览

航天器推进系统设计_第14讲_脉冲等离子体推力器(PPT).pdf 623.61KB PDF 976次下载 预览

航天器推进系统设计_第15讲_静电式离子推力器(IT).pdf 1.16MB PDF 726次下载 预览

3、找资料的方法：

1）百度文库搜索ppt课件名称。

2）在淘宝上的“PDF制作”、“深圳文献港”等购买PDF。价格2~10元不等。只要有书名，就能买到。

3）开学季，毕业季到各大学二手书摊、书店购买。折旧5折。

4、科学研究的方法：首先用我给的公式计算各大概，然后上软件跑仿真看效果，然后根据理论公式该改改，差不多了才上硬件。所以说1的前两章不用看，因为实际纳维斯-托克斯方程，都是湍流问题谁也算不了，只有仿真和实验。奈何实验要花好多钱啊！所以都是仿真跑的差不多才做试车的，而且只试几次就好了，烧的不是油，是钱！

5、仿真软件都有啥？

1）高端用有限元ANSYS+Fluent工具包，都是洋文，不好用。比如这位

2）业余爱好者我觉得用Solidworks就好了，傻瓜化操作，建模——应力分析——发动机内弹道仿真一应俱全。

比如我用的就是Solidworks，看看效果。

建模

应力分析

总结：

初中制作第一个液机（我头像那个），然后三、四年前，我在科创论坛潜水学习火箭，和同学想搞液机，奈何大家都没人搞理论，软件、公式也不懂靠不靠谱，大把费钱。

查阅N多国内书籍，奈何数学不好，或是书上又写的故作神秘，忽悠外行。所以只好半路出家，自学成才。时至今日，理论或许已经太大没问题，文献也能略知一二，可惜当年的创造力，和动手能力早已被扼杀在茫茫题海之中，只留下高高的发际线......

解放思想，破除迷信

希望对新人有所帮助，后来的小朋友们不要像我一样哈~

solidworks有一个flow simulation的工具包，用于流体仿真。

百度一下“solidworks flow simulation"或者“solidworks流体仿真”

找资料在网站上查查就有了，主要是百度文库、豆丁网、各大视频网站。

感谢指正，连夜计算疏忽了