三、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式
1、“拉瓦尔喷管”的理想喷气速度公式
$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}$$
其中,
$u_{e}$——火箭发动机喷管的喷气速度,单位【m/s,米每秒】
$k$——喷管中的燃气的比热比,没有单位【或者说量纲为1】
$R$——喷管中燃气的气体常数,单位【J/(mol*K),焦每摩尔每开】
$T^{*}$——燃气的总温,单位【K,开】
$P_{e}$——拉瓦尔喷管出口截面处的气体压强,单位【Pa,帕】
$P^{*}$——燃气的总压,单位【Pa,帕】
2、计算方法
这个公式用于精确计算从“拉瓦尔喷管”中出来的燃气的速度,不是什么简化公式。但要明白由于实际气体与理想气体有区别,所以会有些偏差需要靠实验测定,以后公式都不会再强调这点。计算喷气速度需要许多参数,或许会令爱好者迷茫,于是逐个解释:
1)比热比$k$,有些书写作$\gamma$,都一样。这是燃气的一个热力学参数。火箭燃气的成分是复杂的,确定这一参数是也困难而复杂的。因此对于业余爱好者而言,可以先使用这些数据:空气k=1.4,喷气发动机的燃气k=1.33,火箭发动机燃气k=1.25。这里讲火箭发动机,故k=1.25,当然也可以参考一些现有数据。
2)这里的气体常数$R$不太一样,区别与R0=8.314,它等于$R=\frac{R_{0}}{M}=\frac{8.314}{M}$,只是习惯区别。与燃气成分有关,和1)一样确定这一参数是也困难而复杂的,可以先用这些数据:空R=287.06,火箭燃气R=287.4。
3)燃气的总温$T^{*}$,总温就是气体速度为0时的温度,在发动机中,它就等于燃烧室的温度。这里计算都是用“开氏温标”的,数值上开氏温度=摄氏温度+273。
4)喷管出口截面处的气体压强$P_{e}$,喷管设计的目标就是使该值等于大气压,叫做“完全膨胀”,如果不等,就叫“过膨胀”或“欠膨胀”。因此设计时,就取它等于当地大气压。气压取决于海拔高度,爱好者的发动机打都工作于海平面附近,可以使用海平面标准值$P_{e}=P_{a}=1.013\times 10^{5}Pa$。
5)燃气的总压$P^{*}$,和3)一样表示速度为0时的燃气压强,火箭燃烧室中可认为速度为0,于是这里等于发动机燃烧室压强。
6)$\frac{P_{e}}{P^{*}}$又称为“膨胀压强比”
举例:这里用刚才看见的““500N硝酸—混胺50液体火箭发动机热试车”中的数据来举例。
原作者:@地震带上的人
原帖地址:XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/83162?&;;;page=0&highlight=850151#850151。
已知试车参数:某爱好者的发动机,燃烧室压强5MPa,工作地点为海平面,燃烧室温度为3185K,假设火箭工作于完全膨胀状态,试估算火箭的喷气速度?
解:燃烧室压强5MPa,工作地点为海平面,气压约为0.1MPa,于是膨胀压强比为
$$\frac{P_{e}}{P^{*}}=50$$
火箭发动机燃烧室温度为
$$T^{*}=3185K$$
比热比取k=1.25,气体常数去R=287.4,于是该发动机的喷气速度为
$$u_{e}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\cdot R\cdot T^{*}\left [ 1-\left ( \frac{P_{e}}{P^{*}}\right ) ^{\frac{k-1}{k}}\right ]}=\sqrt{\frac{2\times 1.25}{1.25-1}\times 287.4\times 3185\times\left [ 1-\left ( \frac{1}{50} \right )^{\frac{1.25-1}{1.25}} \right ]}=2228.83m/s$$
与爱好者“@地震带上的人”提供的仿真结果比对
图中发动机喷管出口截面处的速度约为2111m/s。与公式计算结果2228.83m/s基本一致,并且偏小了约117m/s。误差主要是来自比热比k=1.25值的估计不准确,此外是和实际过程中的能量损耗。
1)这个公式的重点在于比热比k值的确定,精确的我也不知道怎么算,等高人把,暂且先用k=1.25估算。
2)为了使用方便,简化计算。我绘制了关于喷气速度的曲线供爱好者进行参考。下图为比热比为1.2的燃气的喷气速度曲线,可以大致参照估算,各条曲线从下往上温度递增。
燃烧室50个大气压,3000摄氏度,估算曲线喷气速度大约是2300m/s。曲线只是个参考,还需要自己用公式精确计算。
3)这个公式除了计算喷气速度还有什么用?
答:根据实验数据可以反过来推算比热比k。
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