四、“拉瓦尔喷管”的质量流量公式

1、“拉瓦尔喷管”质量流量完整公式

$$\dot{m}=\mathrm{\Gamma }(k)\cdot \frac{P^{\ast }\cdot A_t}{\sqrt{R\cdot T^{\ast }}}$$

$$\mathrm{\Gamma }(k)=\sqrt{k\cdot {\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{k+1}{k-1}}}$$

其中，

$\mathrm{\Gamma }(k)$——与比热比$k$有关的一个函数。

$k$——喷管中的燃气的比热比，没有单位【或者说量纲为1】

$P^{\ast }$——燃气的总压，单位【Pa，帕】

$A_t$——“拉瓦尔喷管”的喉部截面积，单位【$m^2$，平方米】

$R$——喷管中燃气的气体常数，单位【J/(mol*K)，焦每摩尔每开】

$T^{\ast }$——燃气的总温，单位【K，开】

2、计算方法

公式中的字母含义参见（三、2）中有关说明。我看到论坛里流传一个简化公式，和这个有些区别，这个是精确的数学公式。这个公式用来精确计算喷管的质量流量，进而计算火箭发动机推力、需要消耗的燃料质量等。

举例：这里还是引用爱好者“@地震带上的人”的试车数据。

已知，发动机燃烧室压强5MPa，燃烧室温度3185K，发动机图纸如下。

图纸来源：“地震带上的人”

试计算：

1)该发动机的燃气质量流量？

2)如果发动机工作5s，试估算需要消耗燃料和氧化剂一共多少千克？

3)若氧燃比为$\gamma$为4.5，则氧化剂、燃料各多少千克？（氧燃比=氧化剂质量/燃料质量）

解：发动机燃烧室压强5MPa，于是火箭燃气的总压为

$$P^{\ast }=5\times {10}^{6}Pa$$

燃烧室温度3185K，于是火箭燃气的总温为

$$T^{\ast }=3185K$$

从图纸可以知道，发动机的喉部截面的直径为$d_t=8.6mm$，于是喉部的截面积为

$$A_t=\frac{\pi }{4}\cdot d_t^2=\frac{\pi }{4}\times {0.0086}^2=5.809\times {10}^{-5}{m}^2$$

比热比取参考值，k=1.25，则函数$\mathrm{\Gamma }(k)$的值为

$$\mathrm{\Gamma }(k)=\sqrt{k\cdot {\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{k+1}{k-1}}}=\sqrt{1.25\times {\left(\frac{2}{1.25+1}\right)}^{\frac{1.25+1}{1.25-1}}}=0.658$$

气体常数取参考值R=287.4。

1）发动机的燃气质量流量为

$$\dot{m}=\mathrm{\Gamma }(k)\cdot \frac{P^{\ast }\cdot A_t}{\sqrt{R\cdot T^{\ast }}}=0.658\times \frac{5\times {10}^6\times 5.809\times {10}^{-5}}{\sqrt{287.4\times 3185}}=0.304kg/s$$

2）工作5秒消耗的燃料和氧化剂总质量为

$$m=\dot{m}\cdot t=0.3041\times 5=1.518kg$$

3）氧燃比$\gamma =4.5$，于是氧化剂质量为

$$m_o=\frac{\gamma }{\gamma +1}\cdot m=\frac{4.5}{4.5+1}\times 1.518=1.242kg$$

燃料质量为

$$m_f=\frac{1}{\gamma +1}\cdot m=\frac{1}{4.5+1}\times 1.518=0.276kg$$

结果判断：没有燃料质量的具体的说明，只好根据图片估算，如果算出来的燃料体积能装到储箱里，就说明我们算对了。

图片来源：图纸来源：“地震带上的人”

与实验所用的储箱大小对比，根据砖头的尺寸（240mm*115mm*53mm）估计储箱高度为5.3倍砖头宽度，即$5.3\times 115=610mm$，储箱直径为1.3倍砖头厚度，即$1.3\times 53=70mm$。

因此储箱容积为

$$V_{tank}=\frac{\pi }{4}\times {0.007}^2\times 0.610=2.348\times {10}^{-3}{m}^3=2348ml$$

约2348毫升。

前面计算出的氧化剂质量为1.242kg，发烟硝酸密度1.4g/cm，折算体积887毫升。约占储箱容积的$38\mathrm{\%}$。

前面计算出的燃料质量为0.276kg，混胺-50密度1.4g/cm，折算体积327毫升。约占储箱容积的$14\mathrm{\%}$。

都能被装下，所以计算结果可能是对的。大概。。