简介：

众所周知，没有手机支架，看视频相当不舒服。把手机靠在墙上的话会因为摩擦力不足，而很容易滑下，严重影响了使用心情。所以，本人经过严谨的受力到分析，设计了一个"多角度可调3D打印手机支架"，经过两天的使用，感觉效果奇佳，所以分享给大家。此手机支架具备以下优点：

（1）没有任何活动部件的情况下，实现多角度可调。不容易损坏，同时便于观看视频。

（2）全3D打印结构，方便大家在家制造。

（3）受分析严谨，不会出现手机滑倒、倾覆的问题。

目录：

1. 多角度可调3D打印手机支架展示。

2. 受力分析

3. 结论

4. 后期改进

5. 附件：3D打印文件分享
   

   手机架.stl 184.55KB STL 102次下载   （未切片的文件，可以修改打印设置）

   手机架.gcode 3.24MB GCODE 75次下载 （已经切片完毕多文件，直接可以打印）

正文

1.多角度可调3D打印手机支架展示

solidworld模型设计，首先根据手机大小，测绘了一个手机模型，然后再设计手机支架。两者进行装配，观察使用的效果，然后不断修改手机支架的设计，直到满足要求。最后的结果如下。

图1：手机支架的三维图。

图2：手机支架的三维透视图。

图3：手机支架角度1.

图4：手机支架角度2

图5：手机支架角度3

底座接触面设计：与地面配合的部分，设计成两条线接触，避免大平面接触带来的工艺问题。即使打印的底部不那么平坦，依然可以保证放置的稳定。

重心设计：底座左侧的伸出部分，保证了即使在最坏的情况下，手机的重心依然落在底座的投影范围内，保证了手机在任何情况下都不会倾倒。

凹槽设计：上面的凹槽提供了有效的接触力，保证手机任意角度下，都不会打滑。一共有4种不同的角度，可以满足不同的使用要求。

把手机支架单独另存为$*.stl$文件，然后使用打印机的切片软件生成$*.gcode$的G代码文件，准备进行打印。

图5：3d打印切片效果。大约需要打印2个小时，耗材使用约5米。

使用效果展示。看起来尺寸，长约58mm，宽约46mm，高约52mm，大概巴掌的一半大小。

图6：打印完毕的手机支架。

由于要使用手机拍照，所以拿了一个计算器进行摆拍，实际使用手机的效果是极好的。基本上不存在手机滑倒的可能性，而且确实做到了多角度可调。

图7：手机支架3D打印实物。

图8：手机支架，实物使用效果。

2.受力分析

为了DIY的科学性起见，一些受力分析是必要的，下面按照静力学的原理进行受力分析。

图9：手机支架受力分析

首先对手机和手机支架整体进行分析，受到手机的重力$mg$，手机架的重力（手机支架的重力分量是固定的，图上未画出，设为$G_1,G_2$）就不一起计算了，桌面对手机架的支反力$F_{N1},F_{N2}$。

垂直方向受力平衡$\sum F_y=0$有
$$ F_{N1}+F_{N2}-mg=0$$

对A点的和力矩平衡$\sum M_A=0$，有
$$ F_{N2}\cdot (d_2+d_3)-mg\cdot d_2=0$$

联立上面两式，得到支反力
$$F_{N1}=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg$$
$$F_{N2}=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg$$

把支架的固定分量加上去，得到

$$
\left \{
\begin{aligned}
F_{N1}&=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg+G_1\\
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2
\end{aligned}
\right.
$$

根据几何关系可以得到
$$
\left \{
\begin{aligned}
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2
\end{aligned}
\right.
$$

$l$是底座的总长度。下面对手机单独进行分析，受到手机架的作用力$F_1,F_2,F_3$，重力$mg$。

水平方向受力平衡$\sum F_x=0$，有
$$F_1\cdot sin\theta - F_3=0$$

垂直方向受力平衡$\sum F_y=0$，有
$$F_1\cdot cos\theta + F_2 - mg=0$$

对B点的合力矩平衡$ \sum M_B=0$，有
$$-F_1\cdot \frac{h}{sin\theta} + mg\cdot cos\theta \cdot \frac{L}{2}=0$$

联立上面的三个方程，解得
$$
\left \{
\begin{aligned}
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
F_2&=mg(1-\frac{L}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos^2\theta)\\
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta \\
\end{aligned}
\right.
$$

为了保证手机能够靠在手机架上，对于一定尺寸的手机架和手机，摆放时存在一个最小角度$\theta_{min}$满足
$$
sin\theta_{min}=\frac{h}{L}
$$
所以，手机摆放角度的取值范围是$\theta \in [arcsin(\frac{h}{L}),90\deg]$。

综上，手机和支架的受力可以表示为$(F_1,F_2,F_3,F_{N1},F_{N2})=f(m,L,h,l,d_1,\theta)$，$\theta \in [arcsin(\frac{h}{L}),90\deg]$ ，具体数学关系如下
$$
\left \{
\begin{aligned}
F_{N1}&=\frac{d_3}{d_2+d_3}\cdot mg+G_1\\
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2\\
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2\\
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
F_2&=mg(1-\frac{L}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos^2\theta)\\
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta \\
\end{aligned}
\right.
$$

上面的参数中，手机的形状质量特性$(m,L)$，手机架的形状特性$(h,l,d_1)$，以及手机在手机架上面的安放角度$\theta$，共同决定了他们的受力特性$F_1,F_2,F_3,F_{N1},F_{N2})$。对于一个确定形状、质量的手机、手机架，参数$(m,L,h,l,d_1)$是常数，他们的受力情况就只和手机的摆放角度$\theta$有关。

下面，对我手上的这个手机和手机架，进行一波计算，看看受力随着$\theta$角是怎么变化的, 计算使用的参数如下表所示。

计算得到的受力随摆放角度的变化曲线如下。

图10：手机摆放角度变化时$F_1,F_2,F_3$的变化曲线。

当手机摆放的角度从35度逐渐增加到90度的过程中，$F_1,F_2$先增大，然后一直减小到0，存在一个最大值，。而$F_3$一直保持单调递增。最大值的具体位置和大小为

角度=45.013 deg时，有$F1_max$=0.679 N
角度=89.994 deg时，有$F2_max$=1.558 N
角度=54.754 deg时，有$F3_max$=0.523 N

对于第二条，根据生活常识，就可以理解手机垂直放置的时候，角度接近90度时，$F_2$承受力全部的手机重力。即$F_2=m\cdot g=0.159\times 9.8=1.58N$。

对于第一条，从生活常识出发很难观察到，居然会有一个最大的受力位置。最大值的位置45.013 度那么接近45 度，那么应该能够从公式上尝试推导这个结论。根据倍角关系$\sin2\theta=2 sin\theta cos\theta$，有
$$
\begin{aligned}
F_1&=\frac{mgL}{2h}\cdot sin\theta \cdot cos\theta\\
&=\frac{mgL}{4h}\cdot sin2\theta
\end{aligned}
$$
当$2\theta=90deg$，即$\theta=45deg$，$F_1$取得最大值
$$F_1,{max}=\frac{mgL}{4h}.$$

对于第三条，几乎不可能凭借生活经验察觉到。本人感觉最大值的位置也是一个确定的位置，而和手机、手机架的具体参数无关，于是尝试通过数学方法推导解析解
$$F_3=\frac{mgL}{2h}\cdot sin^2\theta \cdot cos\theta$$
根据三角函数关系$sin^2\theta+cos^2\theta=1$，得到
$$
\begin{aligned}
F_3&=\frac{mgL}{2h}\cdot(1-cos^2\theta)\cdot cos\theta\\
&=\frac{mgL}{2h}\cdot(cos\theta-cos^3\theta)
\end{aligned}
$$
求$F_3$的极值的问题可以转换成求$f(\theta)=(cos\theta-cos^3\theta),\theta \in[0,90]deg$ 的极值的问题。设$x=cos\theta,x \in [0,1]$，上面的方程可以转化为
$$f(x)=(x-x^3)$$
令上式导数为0，得到
$$f'(x)=1-3x^2=0$$
解得，$x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0$舍去。
所以$F_3$最大受力点的位置为
$$\theta=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 54.7356 deg$$
确实是一个固定的角度，与仿真结果一致。

所以，当手机摆放的角度为54.7度时，手机需要的水平作用力最大，最容易滑倒。

图11：手机摆放角度变化时$F_{N1}1,F_{N2}$的变化曲线。

从上图可以看出，当手机的摆放角度从35度逐渐增到到90度时，$F_{N1}$单调递减，$F_{N2}$单调递增。这和生活经验一致，手机摆放的角度越大，越接近左边，底座左边受力越大，底座右边受力越小。

手机摆放到最左边时，如果出现$F_{N2}<0$那么手机就会向后翻倒。下面通过数学推导$F_{N2}$ 的最小值的表达式，以及不翻倒的条件。根据前面的推导，有
$$
\left\{
\begin{aligned}
F_{N2}&=\frac{d_2}{d_2+d_3}\cdot mg+G_2\\
d_2&=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1\\
d_3&=l-d_2\\
\end{aligned}
\right.
$$
于是，得到
$$
F_{N2}=\frac{1}{l}\cdot ( \frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta +d_1 )\cdot mg+G_2
$$

先不考虑底座产生的支持力分量$G_2$，以及左侧额外伸出的长度$d_1$，则求$F_{N2}$最小值的问题，可以归结为求下式的最小值
$$f(\theta)=\frac{h}{tan\theta}-\frac{L}{2}\cdot cos\theta$$
求导得到
$$f'(\theta)=-\frac{h}{cos^2\theta}+\frac{L}{2}\cdot sin\theta$$

当$\theta \in [arcsin\theta,90]deg$时，$-\frac{h}{cos^2\theta}$单调递增，$\frac{L}{2}\cdot sin\theta$单调递减，极值点的位置与比值$\frac{h}{L}$有关。

设$k=\frac{h}{L}$，则上面两式可以写为
$$
\left\{
\begin{aligned}
f(\theta)&=L\cdot(\frac{k}{tan\theta}-\frac{1}{2}\cdot cos\theta)\\
f'(\theta)&=L\cdot(-\frac{k}{cos^2\theta}+\frac{1}{2}\cdot sin\theta)\\
\end{aligned}
\right.
$$

因为$\frac{1}{2}\cdot sin\theta \in [0,\frac{1}{2}]$，所以有，

当$k>0.5$时，$-\frac{k}{cos^2\theta}<-\frac{1}{2}$，恒有$f'(\theta)<0$，即$f(\theta)$ 在此区间上单调递减，最小值为

$$f(90deg)=0$$
所以不会出现$F_{N2}$小于0的情况，即手机架不会向后翻倒。

当$k<0.5$时，$f'(\theta)$有正有负，某个角度范围内$f(\theta)$会小于0，即向后翻倒。暂时没时间推导出严格的数学证明。下面是k的一组取值范围内的$f(\theta)$的曲线。

图12：不同k值下的$f(\theta)$曲线，从下往上k分别是0.1到1。

3.结论：

（1） $F_2$随着摆放角度$\theta$的增大而单调增加，当手机垂直放置的时候，$F_2$达到最大值，承受力全部的手机重力。

$F_1$随着摆放角度$\theta$的增大而先增加后减小，当手机摆放角度$\theta=45deg$，时$F_1$达到最大值$F_1,{max}=\frac{mgL}{4h}$。

（2） $F_3$随着摆放角度$\theta$的增大而先增加后减小，当手机摆放角度$\theta=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 54.7356 deg$时，$F_3$达到最大值$F_3=\frac{\sqrt{3}mgL}{3h}$。所以平时没有手机架时，靠着物体摆放手机时，要避开这个角度，因为受力最大，容易打滑。

（3） 当手机的摆放角度$\theta$从35度逐渐增到到90度时，$F_{N1}$单调递增，$F_{N2}$单调递减，并且最小值大于0。这和生活经验一致，即手机摆放的角度越大，越接近左边，底座左边受力越大，底座右边受力越小。所以为了让手机不容易向后翻倒，应该把摆放角度选小一些。

（4） 当靠背高度和手机宽度的比值$k=\frac{h}{L}>0.5$时，即使手机架很轻，底座左侧没有伸出的额外长度。不论手机怎么摆放，手机座都不会向后翻倒。这也和生活经验一致，即手机的重心高度不会超过靠背高度，是安全的。

（5） 当手机架不稳定时，增加手机架底座左侧伸出的长度$d_1$，增大底座的重量$G_2$可以有效提高手机摆放的稳定性。这个也和生活经验一致，即底盘越大越沉，就越稳定。

4.后期改进

目前发现，如果手机立着放，就不满足稳定性条件，摆放的角度一大就很容易向后翻倒。所以根据分析结果想到以下几个改进方案：

（1）增大手机座靠背的高度$h$。

（2）底座加配重$G_2$。

（3）增大底座左侧伸出的长度$d_1$。

（3）增大锯齿段的长度$l$，使得手机可以以一个较小的角度进行摆放。

由于目前的3D打印机的尺寸限制，所以方案（2）是最合适的。考虑给底座灌铅或者沙子。