这个数列是我晚修时突然想到的，挺简单，但挺好玩，故发出来分享一下。

以下不严谨证明。

$a_n=x^{x^{x^{x^{\dots }}}}$（1）

共n个。

就是n阶指数塔。

现在求它的极限，若它收敛，那么：

$a_n=x^{a_n}$（2）

即：

$x=e^{\frac{ln{a}_n}{a_n}}$（3）

令：

$f(a_n)=\frac{ln{a}_n}{a_n}$（4）

求导：

$f^{\prime }(a_n)=\frac{1-ln{a}_n}{a_n^2}$（5）

可知：该函数在$(0,e)$上单调递增，在$(e,+\mathrm{\infty })$上单调递减，在$a_n=e$处取得最大值$\frac{1}{e}$

由于$g(x)=e^x$在R上单调递增，故其复合函数单调性如前，即x在$a_n=e$处取得最大值$e^{\frac{1}{e}}$

这个值大概时1.44

好玩的就出来了：当x从0+开始增大，数列的极限会越来越大，直到x等于$e^{\frac{1}{e}}$，数列极限取得最大值，x再大一点，哪怕只是一点点，诶，，收敛条件不满足了，数列的极限的值不会减小，而是直接发散到无穷大。

这有点像之前做过的一道物理题，光学双稳态，有一段状态是数学上存在，但是不能再准静态过程中达到。

当然，我数学不好，这段不知道怎么严格描写和证明，希望各位大佬给点建议。

哦，对了，娅娘镇楼