关于航天器速度增量（dv）的理论推导和猜测。

文章为个人的推导，内容可能不规范并有错误，请大家指出。

以下内容为理想状态之下（无阻力，且发动机点火关机速度忽略，推力平稳等等）

设F为发动机推力，m流 为发动机单位时间流过的燃料质量（kg/s）m总为燃料质量（m末-m初）

这里用m表示m总 n为发动机流量   则质量随时间变化的函数为m余=-n*t+m 加速度的函数则为

a=F/(-n*t+m)    如果知道发动机比冲的可以将F和流量联系起来

然后对其积分         

                           -                                                                                              算出速度V的函数

这里将t1取为0，将t末带入，就能算出dV，不过这仅限于入轨后的机动。

一个物体从一定高度落下的dv

因为g值随距离的变化而变化  这里将g记为加速度a    则因为a=F/m 所以a=GM/r^2,对其积分

    F(x)=-GM/x,   这里有两种方向去想，第一种取a的平均值，对a积分就相当于求一段区间内a所有的值的和，用这里去x0=6300000m（地表距离）x1=7000000m带入F(x1)-F(x0)   求出其差值后

将差值除以x1-x0   求得其平均加速度，再带入v=√2gh   其实第二种其实就是第一种的优化，v=√2gh 可以是在g值一定时的物体末速度公式，但把g*h看做一个整体，将它作为a=GM/x^2的定积分，其中g值是变化的，但不影响最终结果。

以下是10月1日增加的补充

关于航天器垂直发射能飞多高或dv的推导（纯理论，尚未优化，可能存在错误，恳请大家指出）

在g值不变的情况下火箭的在一瞬间加速度的公式为（F-G）/（m-nt）其中t为自变量，对其积分，得到与上面火箭dv相类似的公式((G-F)*log(m-n*x))/n（图片不知为何出不来）在使用定积分求值就可得出火箭的速度增量，再积分一次就可得出距离。

可是g值是随距离的变化而变化的，而且其还与质心距离的平方成反比，也就是说利用上面那个方法算出来的dv和位移会偏小。要加上引力的修正并计算时会有两个变量产生，一是航天器发射所经历的时间，二是航天器与质心的距离。两者相互关联，但处理其关系会很复杂。

这时，分析总推力为F,载荷的质量m载不变，设m载为h千克,m总随时间发生变化，加速度a也随m总变化，设载荷所受到推力为F有，a=F/(m-nt)，F有=h*a,航天器每一瞬间的有效载荷比为h/(m总-nt)，因为整个航天器的a值在一瞬间内相等，所以，

F有/F=h/(m-nt)*a,μ=h/(m-nt)*a*s(s为做功距离）也就是航天器在一瞬间内的机械效率，对其进行积分得

使用定积分求出发动机燃烧的一段时间内机械效率的总和，定积分的区间为[0，(m-h)/n ),然后求其平均值，得到航天器的平均机械效率。

  就是把蓝色部分变成红色部分

2.算出航天器所做总功

mv=F总t，这里设t为1秒，则m其实等于n,算出v的大小，然后带入w总=m燃料v^2/2，这里的m燃料为航天器燃料的质量，将上一步算出来的平均机械效率与w总相乘，得到有用功的大小。再带入(GM/r星-GM/x)*m载=w有，解出x为其垂直飞行的高度（注意r星为发射点距星球核心的距离）如果要算其dv则带入v^2=2gh。注意这里的h为高度，gh为GM/x^2的定积分，也就是GM/r星-GM/x，实际是(GM/r星-GM/x)*m载=w有,求dv的话就直接带入gh=w有/m载，v^2=2*w有/m载，解出v就是航天器的dv。