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关于无人机（多轴）续航与电池大小的关系的一个想法
中文摘要
无人机电池的选择方案
本人曾经痴迷于长续航的无人机，在组装过程中发现增加电池容量，续航的增加有时候远低于预期，所以便进行了一些思考
首先，我们考虑一种理想的模型：即无人机本身质量为0，所有质量皆为电池质量，且电池质量与电池容量成正比
我们知道，无人机电机有一个叫做力效（单位：g/w）的指标，描述的是每1w功率可以带来的推力（单位：克）
则：
$ P= \frac{{m}}{k1} $
其中，P为无人机的功率，m为质量，k1为电池力效
因为电池容量与质量成正比，我们设比例为k2
则续航为：
$ t= \frac{{m*k2}}{P} = {{k1*k2}}$
所以我们发现，当不计无人机质量的时候，续航和电池容量没有关系
但是，电机的续航实际上不是常数
比如说如图：
我们发现，当电机拉力增加，那么力效会降低
所以说在这个模型里面，一个反常的现象出现了：电池越大，续航反而越低
接下来拓展到一般情况，考虑无人机本身的质量
先不考虑电机力效随推力增加而降低的情况
我们上面知道，不考虑无人机质量的情况下续航为k1*k2
考虑无人机质量的情况下极限仍然为k1*k2
且续航为：$ t= k1*k2\frac{{m电池}}{m电池+m无人机} $
稍微证明一下：
（为方便起见，接下来用m指代电池质量，M指代无人机（不含电池）质量）
$ P= \frac{{m+M}}{k1} $
$ t= \frac{{m*k2}}{P}= \frac{{m*k1*k2}}{m+M} $
画出图像，发现随着电池质量的增加，续航增加的并不明显
然后，自然而然的，我们想知道最优的电池策略
一般的，电池质量与价格成正比（反正我拿18650电池组飞）
我们设电池价格为电池质量的c1倍，无人机（不含电池）价格为c2
所以，我们拿A来衡量一种电池方案的优越程度（即时间/价格比）
则：
$ A= \frac{{T}}{mC1+C2} $
代入上面的公式
$ A= \frac{{k1*k2*m}}{(mC1+C2)(m+M)} $
$ A`= \frac{{k1*k2*(mc1+c2)(m+M)-k1*k2m[c1(m+M)+(mc1+c2)]}}{[(mC1+C2)(m+M)]^2} $
令导数等于0，则
$ {{k1*k2*(mc1+c2)(m+M)=k1*k2m[c1(m+M)+(mc1+c2)]}} $
$ {{(mc1+c2)(m+M)=mc1(m+M)+m(mc1+c2)}} $
$ mc1+c2= mc1+\frac{{m(mc1+c2)}}{m+M} $
$ c2= \frac{{m(mc1+c2)}}{m+M} $
$ {{mc2+Mc2=m^2c1+mc2}} $
$ {{Mc2=m^2c1}} $
$ m= \sqrt\frac{{Mc2}}{c1} $
所以我们得到了无人机最佳的电池方案
比如说，你无人机质量1kg，价格1000元，电池每千克500元，那么最佳的电池质量就是
$ m= \sqrt\frac{{1*1000}}{500}=\sqrt2=1.414.... $
这是以性价比为核心的最优策略
[修改于 3年8个月前 - 2021/03/13 21:38:32]
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我的锅是我忽略了那只是个样例此外LZ其实可以用“评论”功能的（虽然我也没用）然后就是资瓷楼主的推导咯...
不不不，我也不一定确定我的推导是对的，所以放上来还有一个目的是让大伙检查检查
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说明一下，这个按照这个公式装电池并非达到最长续航，而是达到最高的续航/价格比
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看来堆电池真的不是个很好的办法，想获得更久的续航堆电池提升的瓶颈非常厉害，再想提升只能去考虑降低单位...
确实，堆电池比火箭堆燃料还不靠谱，火箭好歹是对数增长，这玩意居然坑爹的收敛。。。最好的办法是增加电机效率（类比增加火箭比冲）
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