一、大圆航线定义

球面上两点之间的最短距离的航线就是大圆航线。在航空业中，远距离航行的飞机规划航路时经常采用的航线。

如图，弧ED1为E到D的大圆航线。

二、研究背景

问题起源

在生活中，我们经常乘坐飞机或轮船（有时候火车航线也能达到本文探索的尺度）之类的交通工具，当它们的航线跨度达到一定程度时，就不能近似地从平面上去计算航线的长度了，需要从球体的角度来算，这就是大圆航线的起源。那么，怎么去计算它的长度呢？

已知球面上两点的经纬度（球面上的坐标），求它们在球面上的最短连线的长度。

由于大圆航线可以看作一段劣弧，而地球的半径是已知的，所以最终要的就是求出这段弧所对的圆心角大小。那么我们可以先把这段弧所对的弦长求出，最后再根据弦长求得圆心角的大小。

三、研究过程

（1）从简单情况入手寻找解决思路

我们先探究了纬度或经度相同的情况

纬度相同时，借助三角函数，可以求出AK的值，AKB在同一平面上且该平面与赤道面相平，∠AKB为两地经度差，借助余弦定理变式即可求出AB长，在已知半径（AK）的圆K中，即可求出弧AB

经度相同时，连接AO BO（O为地心），已知∠AOB（即纬度差），可以直接利用圆心角及半径求出弧AB，但也可以再次利用余弦定理求出AB，再求弧AB

由特殊情况中，我们找到了初步思路：求两点间连线线段的长度，即AB

2）将思路拓展至一般情况

①A点与B点同在北半球的情况

这时∠OAK=A点的纬度=a,可求出sin a的值，根据r的长度可算出OK的长度k,所以 ,即可算出AN的长度,再运用同样的方法算出BN的长度（B点情况与A点相同，这里不过多赘述），如图1。

得出AN，BN长度后，延长NB至交A所在纬度圈的平面（令为⊙K）于点B`，连接KB`,此时因为A，K，B`在同一平面上，故B`K⊥NO,即B`K//BF。此时，∠AKB`的度数即为x与y的差值。OB和ON相等，又由B点的纬度得到∠BON的度数，故可以求∠ONB的度数。

因为∠NKB’=90︒，∠ONB’=∠ONB，可求得KB’=tan∠ONB’·KN，又结合之前求得的AK与∠AKB`的度数可求AB`的长度。这样，我们就有了AB`,AN以及NB`的长度，根据余弦定理可求出∠ANB度数。最后，再结合AN和NB的长度，求得AB的长度b，由弧长公式L=2r·arcsin (b/2r)就可求出弧AB的长度了，如图2。

②将思路拓展至一般情况

② A与B在不同的南北半球

这里步骤基本与上条一样，仅∠KAN（∠FBN）需要加上A（B）点的纬度绝对值之一半以配合南北纬的差异。

③A与B点同在南半球

同①，只需将参照点N替换为南极点S即可。 

（3）整理模型并求出公式

A,B同在北半球

已知A（a,x）,B（b,y）∵∠OAK=a, ∠OBF=b∴OK=r·sina,OF=r·sin b∵ON=r

∴NK=r-r·sina,NF=r-r·sinb

∵∠AKO=90︒

∴由勾股定理求得AK,BF的值，再利用AN2=AK2+KN2     BN2=BF2+NF2求出BN，AN的值

延长NB交⊙K所在平面于点B`，连接KB`,AB`

∴KB`⊥NO∴KB`//FB

∴∠AKB`=x-y,

∠NKB`=90∵ON=NB∴∠ONB=∠OBN∵∠BON=90°-b ∴∠ONB=45°+b/2∴∠ONB`=45°+b/2

∴∠ANB`=∠ANB=cos-11/2AN·NB’·NB’2+AN2-AB’2

AB=√AN2+BN2−2AN·BN·∠ANB

最后代入弧长公式L=2r·cos-1（b/2r）即可求得大圆航线lAB的长度

所以，最终的公式为

由于公式较为复杂，不便于日常计算，我们便打算通过编程的方式，让电脑帮我们运算，我们最终的代码如下：

对于该公式与编程，我们可以将其利用到生活中，如对于航天公司和旅客，可以很方便地求出出发点至中点的最短距离的近似值，从而合理规划航线，减少时间浪费。

（7）拓展与改良

这里我们为了简化计算，球的半径设为1。

前面已经说过，A点的纬度为a，经度为x，B点的纬度为b， 经度为y。如图3所示，作AI⊥平面xOy于I,BH⊥平面xOy于H,AI即为A的z坐标,BH即为B的z坐标,

故AI= rsin a，BH= rsin b，可推出

OI=rcos a,OH=rcos b。再分别过H

和I向x轴、y轴作垂线，由OI和OH

的长度和x、y的大小可以算出A点

与B点的横纵坐标如下：

A(rcos a sin x,rcos a cos x,rsin a),

B(rcos b sin y,rcos b cos y,rsin b)

我们在借助了三角函数与余弦定理等数学工具的条件下，推导出了大圆航线长度的计算公式，并利用Python面积出了相应的程序，解决了本文开头留下的问题。