前几天复习流体力学，突然想起来去年暑假没写完的帖（写得太烂，早被我删了），于是就有了本篇拙作。起因原是看完流力跃跃欲试，当时正值飞控测试阶段，为了环保（省钱），于是想到了水火箭。为了较为精确的控制射高，就推了一下（当然，到现在还没试过）。话不多说，切入正题。

### 一、前置知识与假设

    本文目的为推导水火箭推力公式，"事实证明"F_推应该可以表示为“水机”基本参数和时间的函数。但本文得到的结果还有差距。本文主要涉及一些流力的基本公式，鄙人比较懒，有不懂的请上网查或查书。对于一台水机，现作以下假设，如图：

设气体初始体积为V_0，压强P₀，出口面积A_e，总质量m₀,出口速度v_e,水的密度\(\rho \)。水机开始工作后由于内外压强差，压缩气体推动水喷出，成为一个不断变化的系统。为确定瞬时压强P_瞬（进而确定出口速度），已知热状态方程：

pV_m=nR₀T

其中R0为摩尔气体常数，移项即可得到P瞬的函数，Vm又由液面速度决定，液面速度又受P影响，嗯。。好家伙，这下要么用计算机递推，要么用微积分算个半死不活了(关于t的收敛函数应该很难求)。先简化一下吧，后面再拿电脑算算。经过浅思生虑，设液面速度v_c=v₀-kt，面积比r=A_c/A_e.

### 二、主要推导过程

    经过极大的化简之后，可以开始应用书本上的公式了。研究流动首先应该是选取“控制体”。有了液面速度，可以算出口速度了，这里将所有的水include在这个控制体中，体积为\({{\Omega _1}}\),面积A₁。已知连续方程（积分形式）：

\[\int_{{\Omega _1}} {\frac{{\partial \rho }}{{\partial {\rm{t}}}}}  + \int_{{A_1}} {\rho V \cdot dA = 0} \]

水的密度不变，该控制体十分理想（平滑,控制面上的速度与表面垂直），削去第一项，第二项变为：

\[\rho \int_{Ac} {\rho V \cdot dA}  + \rho \int_{Ae} {\rho V \cdot dA} \]

以火箭运动方向为正方向（要标准的话可以用单位向量，这里直接用正负号表示方向，此处的水机其实是静止的，方向竖直向上，理解就好），则：

\[\rho {v_e}{A_e} - \rho {v_c}{A_c} = 0\]

于是乎（之前的r就是为了这里）：

\[{v_e} = {A_c}/{A_e}{v_c} = r{v_c} = r({v_0} - kt)\]

不错，到这里已经”成功了一半“。由于水机是变质量系统，用动量方程之前可以再算算瞬时质量：

将整个水机作为第二个控制体，对应的有\({\Omega _2}\)、\({A_2}\) 。同上，使用连续方程：

\[\frac{{\partial m}}{{\partial {\rm{t}}}} + r\rho {A_e}({v_0} - kt)\]

移项、积分，得：

\[m = {m_0} - r\rho {A_e}({v_0}t - \frac{1}{2}k{t^2})\]

嗯，熟悉的味道。

好，使用动量方程（竟然用不了中文下标，Ft为F推）：

\[{F_t} + \int_{{\Omega _2}} {\rho d\Omega }  = \int_{{\Omega _2}} {\frac{{\partial V\partial \rho }}{{\partial t}}d\Omega }  + \int_{{A_2}} {v \cdot dA}  \cdot \rho v\]

左边第二项为-mg。右边第一项带入v_c：

右边第二项=

\[\int_{Ae} {{v_e}} (\rho {v_e} \cdot dA) =  - r^2\rho {A_e}{({v_0} - kt)^2}\]

将以上代入，得  F_推=

All right

注：1、本文可能有误（包括手误），若有不当之处还请不吝赐教。

       2、结果是在十分粗糙的假设下得到的，笔者以后有空的话可能会进一步推导（k的计算方法，或者重新推），感兴趣的坛友可以回帖交流。

题外话：有没有谁能推荐一下高性价比的服务器配置，鄙人不胜感激

眼睛要炸了

3/9/18:23 修改一处错误