引用 虎哥:
没看明白和“高考题”的矛盾。多级火箭要抛掉壳，那么剩下的壳的质量就应该是变化的。现在的情况是，燃料可以分为无限份逐步消耗，但是壳只能分三次抛掉，其中第三次抛掉以后就不再有速度增量（假设抛壳的相对速度为0）。
那么此时是否应该一截一截算。

的确分段把死重抛掉才是多级火箭加速的原理，不过那道题里面似乎把分级抛死重当成了火箭发动机的工作方式。
补充完内容我会明确一下这一点的。

引用 金星凌日:
你假设了火箭匀速喷气？这一假设似乎太强了。
我用变分法计算的结果是，只要火箭剩余质量是时间的连续函数，这一公式就成立。

帖子里我也提到了  “这里的齐奥尔科夫斯基公式是由一个较为特殊的情况推出来的”，条条大路通通罗马嘛。
毕竟我数学渣，也只会这么算。。。

引用 法式油炸薯条:
推导其实不难。而且符合能量守恒，动量守恒，质量守恒。

这么推的确不难，可能也不会比一道数学大题难。只是目标不明确的话，会比较烦。。。

引用 蓝白酱:
可以用极限法，也可以建立微分方程直接解，两种的结果应该是一样的。嘛，高中不用微分方程也只能极限法了。
建议楼主多看看数学。高中看看微分方程也是有用的，齐奥科夫斯基公式用微分方程非常简单，它的推导也是很多数学和力学教材上的典例，只是很多没有说...

手头上有什么就用什么吧。大西部的落后教育，加上对数学的认识也只是停留在课本阶段，只能用笨办法了。

另外我上网查推导过程的时候，的确发现这条公式普及的挺广的，还有用这公式出的各种题目。

引用 法式油炸薯条:
关于这个，其实可以用牛顿第二定律和牛顿第三定律推导，而且你可以推导出任何一个速度下工作时，能量都是守恒的。前人已有结论。但是自己推导公式的过程能让人更深刻的理解公式，所以这也是个很必要的过程

成功推导后，我尝试过用质量流速去验证一般情况，也是用牛二，其他都很顺利，不过我卡在了 火箭的质量减少 这个问题上，我当时竟然没想到火箭质量减少的速度就是质量流速，看了你这个后瞬间就明白了。。。

齐奥尔科夫斯基公式的确都是守恒的，我纠结的是答案的计算，按那样去计算就是不守恒的。。。

引用 虎哥:
没看明白和“高考题”的矛盾。多级火箭要抛掉壳，那么剩下的壳的质量就应该是变化的。现在的情况是，燃料可以分为无限份逐步消耗，但是壳只能分三次抛掉，其中第三次抛掉以后就不再有速度增量（假设抛壳的相对速度为0）。
那么此时是否应该一截一截算。

虎哥不说我都没注意，这的确是要分三节算的（相当于每一节是一台独立的火箭，上面级火箭将是下面级火箭的死重）
但题目中把外壳的质量也算到了燃料中，这样外壳也有了比冲，为了比较，就使用了和题目一样的系统，所以我在使用公式算的时候也把外壳的质量算到了燃料里（或者题目里本来就根本就没有考虑到燃料和外壳的本质区别）

而且题目的问题也和外壳没有半毛钱关系，他要我证明的是：火箭分多次向后喷气可获得更高的速度。
。。。可以说出题人的逻辑是相当混乱的。。。

引用 虎哥:
既然是这样，楼主就可以推出求多级火箭理想情况下极限最终速度的正确公式。如果考虑重力和燃料的消耗时间，还能推出不同的质量、推力配置方案下的最大速度方程，并进行优选。

至于这道“高考题”，实在不知道是我的理解水平有限，还是出题人的体育老师...

        这么做的可行性我也考虑过的，也YY了一个基础的假设：在真空的重力场中，无论火箭的体积，质量有多大，只要它们的齐奥尔科夫斯基公式的表达形式完全相等 以及 在工作相同时间的前提下內弹道以一个确定的比例相似，那么他们的射高相等。反正就是在真空的重力场中，射高和火箭的大小无关，只和燃料比冲，装药比重，內弹道有关（而且应该发动机的工作时间越短，射高越高，因为避免了将燃料带到高空耗能）。


       对于存在大气的话，我觉得上面的主要假设还是成立的，不过就要 空气阻力耗能 和 燃料重力耗能 两方面寻找折中方案了，发动机工作时间越短在空气阻力方面耗能将增加，而工作时间越长在燃料重力耗能方面将增加，但又要考虑到大气阻力是随高度变化很明显的，所以说內弹道得在这三者中优化才行。我觉得应该没有公式能直接定量分析得出结果，我觉得只能通过计算机进行大量的模拟，以求得最优的內弹道曲线。
      
       不过有想法却没有能力和时间做啊，而且毕竟只是假设，还没有理论证明过，不知虎哥的想法如何，能否做出这样的优化软件啊。。。

引用 smith:
楼主厉害，我高中的时候也思考过类似的最终速度问题，但是苦于自己能力有限没有推倒出来。

其实我觉得楼主的思路在数学建模方面很清晰，现代的人倒反而因为网络搜索发达了，信息获取容易了缺乏思考性

我也觉得这样的探索过程确实挺有意思的，也是一种乐趣吧。不过能找到资料，我觉得还是好一些，毕竟是站在巨人的肩膀上吧[s::lol]

引用 虎哥:
嗯，你的反应的确有点吓人。没人说你分享不好，正因为好所以大家才会积极探讨。
而且的确你的文章虽然全面和仔细，却不透彻，看三遍以内肯定是头晕的。导致这一切的原因很可能还是要归结为那道题（及答案）让人晕，所以最好不要在文中到处穿插对那道题的评...

        这里我就不太同意虎哥的观点了。


       因为对于我来说是比较重要的帖子，所以我发帖子前就考虑过帖子的结构和总体布局：我第一个也是想发一篇文献架构的帖子（就像我上一篇那样，有目录，内容都分门别类的整理好，大家想了解什么可以直接参照目录去查找对应的内容），但我意识到我将要写的帖子并不是直接地想教大家些什么，而是想让大家从我整个思考过程中感悟到些什么（毕竟这个感悟是因人而异的），所以我打算从头到尾真实地把整个过程叙述下来（类似于小说+散文，也同时把当时的心理活动写下来了，那首音乐和各种评论就是这个目的[s::victory:]。本还想按时间节点把帖子分为多个部分，不过这样似乎有过于死板了），但这样的帖子因为字数多（本来也想过尽可能少写的，最后还是写了这么多。。。[s::dizzy:]），肯定读起来会显得烦。帖子没有达到预期效果[s::(]，可能是我功力还不够啊，还应继续学习。


       我觉得烦的根本原因还是大家耐不下心思去读。当然论坛本来就是休息时间大家花点脑子娱乐身心的地方，太烧脑的话自然是不喜欢的（除非你是本着认真学习的心态来的，很明显大家大部分时间都不是。包括我，如果这帖子是别人的，我也会觉得很烦[s::Q]）。

引用 虎哥:
楼上到底是在证明我的观点，还是在反驳我的观点，还是其实与我的观点一点关系都没有呢

列表：  
            1.反对你的观点。我在这篇文章的结构下过功夫，不过功力不够。

            2.同意你的观点。这帖子的确看了会烦。
            3.半同意，半反对你的观点。帖子让人烦还有其他原因。
            PS：还加入了我为什么这篇帖子要采用这样结构的原因。


所以我开头用了“不太同意”，就包含了半同意，半不同意的意思。

引用 虎哥:
我没有说你没下功夫，我只是说要下些功夫，联系上下文的意思是“多下功夫”。我也没说看了会烦，用词是晕。

结论：你用反驳的态度，与我的观点其实没有逻辑关系的论述，最后证明了我的观点。

这就是你的不良习惯，同时也是让人晕的症结所在。

好，完全接受虎哥的建议[s::)]

引用 568981484:
这头像，我数学老师，和他讨论了下，你步骤有问题，结论之前几步的 v不见了，
f(x)=v/(m+x)不用再乘 N/n 了，?Xi 定积分后没了，合并对数不是“由微积分基本定理”，我怎么算都推不出来，找了老师才发现式子有问题，推算错了

我是用面积法来求y的所有值得和，所以速度只是y的值，不乘x上的N/n怎么和后面的积分面积划等号？微积分基本定理，是用来算积分面积的的，并不是对数求和。
具体你说的v的错误我不清楚在哪，麻烦截个图，仔细讨论讨论。。。

引用 小白一只:
咳咳，表示本人剑高高一，无聊的时候做过同一道题目，没你有心。。
首先，这道高考题本身就是有一定问题的，他的解题方法是把每一级燃料算作一个整体扔出，然而最我的解题的方法就是分三段，一级一级算，每一级的算法如下：
M0=总质量，算Mp=喷...

不错，终于说到了重点上，其实本帖重点是讨论“为什么题目的算法是错的，错在哪了？”，对于如何推导出公式可能反而不是这么重要的（可能都被我帖子里的话误导了。。。）

引用 568981484:
题目算法是错的但是用一种错误的方法推出齐奥尔科夫斯基公式相当于用另一种错误方法来解这道算法有误的题目

过了这么久，才仔细看过了，的确有漏掉V的错误。不过只限于最后一步计算S2因粗心写漏了，导致公式里的比冲不见了。S1根本没必要用到V，错误只存在于最后一步粗心写漏了V，导致比冲消失，其他过程都没有错误。  
在你的计算过程里，我看出了你似乎并没完全理解我的整个推算过程，为了复合我那个错误的结果，硬生生给S1加了一个V。自然大家都会犯错，改过就行。  
下面才是最后一步正确的过程：