“一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”提到了一种特殊的加速方式，以及一种神奇的磁场。但是，当时没有对那种神奇的磁场进行详细讨论。本帖将重点介绍那种神奇的磁场在磁阻式电磁炮上的应用。为了提高逼格，将基于这种神奇的磁场的磁阻式加速方案称为“磁阻式电磁炮的脉波加速方案”，或简称为“脉波方案”。接下来将首先明确定义脉波方案，并进行粗略介绍；之后将详细介绍它的优势，最后将提出脉波方案的一种低成本的工程实现——矩阵开关，一个可以用20个开关控制100级的方案。
    使用脉波方案制作的磁阻式有望接近“一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”中所提到的效率极限。即5mm弹丸52cm加速至100m/s时，48%的效率极限。或者相似的，50cm加速至200m/s时，31%的效率极限。
PS：本贴共有5000+字，请耐心阅读。本帖包含不少动图，打开本文应该会消耗十几M流量。

脉波加速方案
脉波方案的特点是：通过特定的线圈排布和导通时序，使磁场的函数近似为一个脉波。（关于脉波的定义见贴末附录）
这个特点通常表现为：以磁场中心为参考系，磁场的各种属性（强度、与空间分布）近似恒定不变；磁场与弹丸保持相对静止；磁场中心始终领先弹丸一段固定的距离。

为了近似出一个磁脉波，同时保证较高的加速效率，脉波方案通常要求它的工程实现具有如下特点：
基本要求：
1. 分级足够精细（比如线圈长度小于内径）
2. 线圈间的间隔尽可能小（比如1mm）
3. 同时让相邻的几级线圈通电
附加要求：
1. 使用能量回收
2. 同时进行导通，续流和能量回收
3. 控制时序可以灵活调整
例如，一个典型的例子：5mm口径磁阻式电磁枪，令每级长5mm，同时为3级线圈通电，使用IGBT作为开关。
很容易注意到，每级长5mm的话，意味着一个50cm长的加速段需要100级……这会让人联想到数量巨大的开关，复杂的控制，以及突然变空的钱包。不过，在本帖的“如何实现脉波加速方案”部分，提出的“矩阵开关”方案可以很大程度的解决这些问题。

有一点需要澄清，这里定义的脉波方案，并不指某种特定的工程实现。比如之后提到的“矩阵开关方案”，以及经过特殊设计的“可控硅无关断紧密加速方案”，根据定义，都是脉波方案。提出“脉波方案”的定义，只是为了方便指代“磁场近似脉波”的一类东西。

文字总是没有图片生动，所以还是用图来描述一下这个方案的特点吧。
如果想要完美的实现这个方案，我们需要让加速通道附近的空间充满了使用无线细导线绕制的线圈，并且可以独立的控制每一匝线圈上的电流，类似这篇帖子中提到的东西。这种情况下，以磁场中心为参考系，磁场的形状不变，磁场-位置曲线的变化类似下图。

实际条件下，受各种因素限制，磁场-位置曲线随时间的变化可能更接近下图的上半部分。（下半部分代表各位置上的线圈的电流）

可以看到虽然磁感应强度在跳跃，不过总体上与理想条件下相差不大。

脉波方案的优势
加速距离，出速，效率
加速距离，出速和效率这三个因素，可以说是衡量一个电磁枪（炮）单发加速性能的最重要的指标。脉波方案的主要优势，简单地说就是，相比于传统的各级相对独立的方案：

• 相同加速距离和出速，效率更高
  
• 相同出速和效率，加速距离更短
  
• 相同加速距离和效率，出速更高

注，此处加速距离指名义加速距离，即从“第一级线圈头”到“最后一级线圈尾”的距离。

为啥这么好？
更小的线圈电阻损耗
为了得到足够高的加速度，磁阻式电磁炮通常会让铁磁体工作在严重磁饱和状态下。铁磁体严重磁饱和后，磁化强度与外加磁场几乎无关。此时，加速力正比于驱动线圈电流。而线圈的电阻损耗与线圈电流的平方成正比，所以局部高加速度必然导致电阻损耗的升高。
各级相对独立的加速方案，比如几乎所有的业余磁阻式……会使弹丸在急剧加速与几乎无加速之间切换。而脉波方案通过模拟磁脉波，让弹丸近乎均匀加速。所以在平均加速度相同时，脉波方案的线圈电阻损耗更小，单发加速性能更好。

更小的电源内阻损耗
(这个优势要求能同时进行能量输出和能量回收)
借用有功功率、无功功率、功率因数的概念。
为了产生加速力，需要产生磁场；为了产生磁场，需要为线圈通电；给线圈通电就会产生损耗。由常识可知，给线圈通电产生的能量损耗里，只有电阻损耗值得考虑。容易注意到，线圈电阻的损耗功率其实并不大，用通常的电源（比如电容）提供这个功率，电源内阻的损耗也并不会太大。例如，一个典型的小口径磁阻式可能会在电阻0.2Ω的线圈上通上300A电流，此时线圈电阻损耗功率仅为18kW；用一个300V，内阻0.2Ω的电源提供18kW电功率，电源内阻的损耗功率仅有720W，在电磁炮的应用环境下，几乎可以忽略不计。
显然，事情没有那么简单。电源不仅需要提供线圈内阻损耗的能量，还需要为线圈建立磁场提供能量。引入一些相关概念，称线圈内阻损耗的功率为“有功功率”，称转化为磁场储能的功率为“无功功率”，称线圈内阻损耗功率与电源提供的总功率之比为“功率因数”。
对于各级相对独立的方案，每级线圈的磁场储能都需要由电源直接提供。从电源到磁场的能量传递过程需要大量的“无功功率”，在电源内阻上产生大量能量损耗。
而对于带能量回收的脉波方案，能量的输出与回收同步进行。正在进行能量回收的线圈可以为正在建立磁场的线圈提供所需的“无功功率”。如果分级足够细，电源将只需要提供线圈电阻损耗的“有功功率”。实际情况下，分级不可能太细，此时电源上依然会有较大的“无功功率”，但是与直接由电源提供所有无功功率相比，已经有明显的改善

如上图表示同时导通三级的效果。每一时刻对一个（或两个）线圈供电并对两个（或一个）线圈进行能量回收，不考虑回路电阻。蓝色的曲线表示轴线上磁感应强度与位置的关系；红色的锯齿形线表示电源电流与磁场中心位置的关系。每个线圈上的电流最大值为300A，所有线圈上的电流总和超过600A。但是从图像上可以看出，稳定加速时，电源只需要输出（或输入）最大140A的电流。

更小的感应电流损耗
脉波方案使得以弹丸为参考系，磁场的各种属性近乎恒定不变，所以，很自然的，弹丸上也就近乎没有感应电流。
不过，感应电流的影响好像从来都没有显著的表现出来过。能否因为“近乎没有感应电流”而产生可观测到的性能提高，还有待考虑。

实现弹丸速度的自动反馈控制
脉波方案在牺牲一部分效率之后，还允许使用开环的时序控制，实现弹丸速度的自动负反馈。
可以证明，若弹丸沿轴线方向均匀一致磁化，则弹丸受到的电磁力满足：
$$ F = M\Delta\phi $$其中，M表示弹丸的磁化强度，单位是A/m； \(\Delta\phi\)表示弹丸两端面的磁通量差。
如果认为弹丸端面上的磁感应强度处处相等，且等于轴线上的磁感应强度，则弹丸受力将与“弹丸两端轴线上磁感应强度差”成正比。（具体证明懒得写了……谁有兴趣可以写篇帖子……）
容易求出，对于一个典型的线圈和弹丸，弹丸两端轴线上磁感应强度差如下图所示

当弹丸和磁场以相差很小的速度向右加速运动时，如果弹丸的右端在上图所述稳定区域中，则当弹丸速度偏低，导致弹丸左移时，弹丸受力增加，使弹丸向右加速运动；当弹丸速度偏高，导致弹丸右移时，弹丸受力减小，使弹丸相对磁场向左加速运动。考虑到自然存在的阻尼，弹丸受到扰动时，以磁场中心为参考系，则经过一段时间弹丸总是能回到一个固定的位置。因此脉波加速方案有望使用简单的方式实现精确的出速控制。

如何实现脉波加速方案
理想照进现实
理论上，沿加速方向均匀放置无限细分的线圈，可以让磁场实现理想的连续移动。可惜工程上，无限细分的线圈无法实现。幸运的是，计算发现，使用相对较粗的分级，配合合适的导通/关断时序，依然可以很大程度上的模拟出理想的脉波。而且成本可以保持在合理范围内。
开篇提到的那张图，是每级线圈中心距离5mm时，可以实现的磁场-位置曲线。

其中，上半部分是线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线，横轴代表位置（m），纵轴代表磁感应强度（T）；下半部分表示每级线圈的电流大小（以最大值为1）。其他数据为：线圈中心距离5mm，线圈长4mm，线圈内径6mm，线圈外径15mm，线圈电流密度最大值约为500A/mm2。

观察发现，线圈中心距离不大于线圈内径时，叠加出的磁脉波都还算漂亮。但是线圈更长的时候，叠加出的磁脉波就显得有些丑了，比如下图是内径6mm，长10mm的线圈叠加出的磁脉波

注意，这里没有说这种长的丑的波形对加速效果会有多大影响，只是简单的说它丑而已……

为了得到一个漂亮的磁脉波，最好让线圈中心距离不大于线圈内径；而为了得到较高的效率，以及避免损坏开关元件，又不能让加速度太大（比如不超过4*10^4m/s2）。这就会导致相对较长的加速距离以及异常高的级数。比如50cm长的加速段和100级线圈。如果要使用能量回收的话，级数多又会意味着不得不大量使用可能十分昂贵的可关断开关，同时会让开关的驱动和控制变的很困难。比如用普通的“半桥”拓扑（实际上更接近开关电源里的双管正激拓扑，而不是半桥），驱动100级线圈需要200个IGBT，而仅仅是驱动200个IGBT就已经是一个很头疼的问题。

接下来将电炮中的传统“半桥”拓扑出发，提出“矩阵开关”拓扑，可以大幅度减少开关的数量。比如，如果元件性能足够，可以使用20个IGBT驱动100级线圈。

矩阵开关
矩阵开关的思路是：通过多次使用每个开关，来减小所需要的总开关数量。
矩阵开关类似矩阵键盘和电炮里传统的“半桥”拓扑的结合，差不多相当于把单片机的IO口换成了“半桥”拓扑的桥臂，把键盘的开关换成了线圈（串联二极管）。

电炮里传统的“半桥”拓扑如下。

当两侧的开关管同时导通时，电感将被充电，电流上升，称其为“导通”阶段；
当开关管一个导通一个关断时，电感上的电流将流经导通的开关和对面的二极管，开关和二极管的压降远小于电源电压，电感电流几乎不变，称其为“续流”阶段，依续流时导通的开关，可以将续流分为“上续流”和“下续流”两种；
当两侧的开关都处于关断状态时，若电感上仍有电流，则电感电流将通过AB的二极管流回电源，为电源充电，同时电感承受反向的电源电压，电流快速下降，称其为“关断”阶段，或“能量回收”阶段。

矩阵开关中，把“半桥”拓扑的两个桥臂拆分开，如下图所示

称左侧的为A部分，右侧的为B部分。
把数个A部分，数个B部分，以及各级线圈如下图所示进行连接，即为矩阵开关拓扑

使用\( n_A \)个A部分，\( n_B \)个B部分，可以控制\( n_A\cdot n_B \)个线圈（可以单独控制任意一个线圈，但是不能同时独立控制两个或以上的线圈）。比如，用10个A部分和10个B部分，共20个开关管，组成一个10*10矩阵，可以控制100级。

线圈上串联的二极管，是用来保证驱动某个线圈时，其他线圈不会导通。这里需要感谢“radio”指出的问题。如果线圈不串联二极管，那么当试图驱动某个线圈时，矩阵中的电流将会如下图所示。（此时试图驱动L11，并触发A1和B1）

也就是说，试图驱动某个线圈时，其他所有线圈都会被通上电流……给线圈串联二极管之后，上图中电流将无法向左上方移动，所以不会出现不希望的导通。

串联二极管之后，依然只能同时触发一个A和一个B，否则会同时令数个线圈进入“导通”阶段。比如，试图同时驱动两个线圈的时候，同时触发了两个A和两个B，那么最少将会有4个线圈导通，而不是两个。同时令多个线圈导通的确是可行的，但是可能不利于拟合出一个漂亮的行波，而且也会令开关承受较大的电流，可能不经济。另外注意到，如果“能量回收”阶段的线圈，与“导通”或“续流”阶段的线圈不在同一行或同一列中，则两个阶段可以同时存在，而不会出现不希望的电流。

一个典型的使用矩阵开关的磁脉波方案，会同时让三级线圈上有电流，其中一个处于导通阶段，一个处于续流阶段，一个处于关断阶段。如果希望矩阵中只有一个线圈处于“导通”或“续流”阶段，则需要至少两个矩阵。令处于“导通”和“续流”阶段的线圈分别位于两个独立的矩阵中，此时处于“关断”阶段的线圈与处于“导通”阶段的线圈在同一个矩阵中。

为了避免出现不希望的导通，不能让“导通”与“关断”出现在同一行或同一列，对于最小3*3的矩阵可以按照如下顺序安排每个矩阵中的导通。
$$
\pmatrix
{ 1&3&5
\\4&6&8
\\7&9&2
}
$$按这种顺序导通，还可以使每个开关承受的电流脉冲尽可能分散。对于更大规模的矩阵，不难找到一个满足要求的导通顺序。

在此推荐一个廉价的IGBT管——FGD4536。淘宝价通常不超过1元/片，标称耐压360V，最大电流220A，25℃下可以承受单次100us以上的220A电流脉冲，充分驱动时 大电流下等效电阻呈正温度系数，而且是低调的TO-252封装（贴片）。

一个可能会出大麻烦的地方是，矩阵开关方案会让开关管承受多个脉冲，每个开关总计的通过大电流的时间较长。例如，对于两个5*5矩阵和总计10ms的加速时间，平均每个开关需要承受1.5ms的大电流。1.5ms的脉冲对于可关断的半导体开关来说有些太长了，比如之前提到的可以承受220A的廉价IGBT，FGD4536，根据datasheet，仅能勉强承受100A，1ms的脉冲。不过这1.5ms的脉冲是分布在10ms的加速时间里的，此时开关管能承受的电流是否会有改善还不知道。

附录
脉波的定义
本文中的脉波定义为：一信号幅度的快速暂态变化，由基准值变为较高或较低的值，之后又快速的回到基准值。（引自维基百科）
其数学形式为
可表示为\( y = f(x-vt) \)，且\(  \mathop{lim}\limits_{z\to\infty}f(z)=c \) 的波。
其中x表示位移；t表示时间；v表示波移动的速度；c为一常数，代表脉波的基准值。
一个例子如下图所示

图片引自这里

铝制线圈的可行性
按照磁脉波方案的要求，线圈需要充满整个加速段。大量使用线圈的一个很直接的问题就是——沉。比如内径6mm外径16.5mm的铜质线圈，约有12g/cm，一个50cm的加速段就会有600g。口径更大还会更沉。对于一个制作比较精良的作品，这很可能是整个系统里最沉的一部分。（当然，对于堆储能的作品来说，这可能不算啥…）为了减重，可以考虑稍微牺牲一点效率，而使用铝线。
铝线的导电性能，与铜线相比并不差很多。纯铝的电导率可以达到铜的61%。而且值得注意的是，等重等长的铝质导体，电阻要比铜小得多。使用同规格的铝线制作线圈，与用铜线相比，电阻是1.6倍，重量却仅有30%。
注意到，大部分的电阻损耗都是发生在前几级的。因为线圈电阻损耗功率一定时，损耗的能量仅和时间有关，而大部分的加速时间都消耗在了速度较低的头几级，所以前几级也会产生大部分电阻损耗。对于均匀加速的情况，前1/4的距离消耗1/2的时间（前1/100距离消耗1/10时间……）。只要保证前几级的损耗较小，总体效率就不会太低。
如果使用铜线制作前几级，使用铝线制作其他级。则既可以得到大部分加速时间的低电阻损耗功率，又可以得到大部分加速长度的低重量。
“一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”中，提到了一个“使用铜线圈，52cm加速到100m/s，效率48%的例子”，如果我们把后3/4加速距离的线圈都换成铝线，保持出速不变，则使用相同的思路可以算出，此时的效率降为41%。但线圈总重将会从约600g降到约290g。