【参赛】【论文】从几道物理竞赛趣题看近稳恒电磁场与光波在晶体中的相互作用及其应用

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文号897816

19810

邢珈凡

杂工15442021/10/16原创晶体养成所，物理 IP:山东

中文摘要

用简单的模型对线性电光效应与磁光效应的物理机制与应用进行了推导计算，并对有关种类晶体的加工与应用提出了若干建议。

一、扯家常

近年来，随着社会科学文化水平的提升，越来越多的人产生了对晶体科学的兴趣，成为了晶体制作爱好者，但是现在简体中文互联网晶体化学圈子尚处于“看花听响”，也即只是欣赏晶体的“外在美”的阶段。但是，更深层的了解晶体的物化性质及其应用，并将其运用于实际的生产生活中，让晶体的外在美与内在美交相辉映则是晶体化学爱好向纵深发展的必然要求。

本篇文章的写作灵感也是来源于上述观察，笔者希望能通过这一篇文章起到抛砖引玉的作用，引导更多爱好者关注晶体的物化性质及其实际应用，从而对晶体化学爱好的发展贡献个人的绵薄之力。选择两道高中物理竞赛题目，也是希望在高中知识和简单的微积分的知识框架下展开对晶体物理性质粗略分析的尝试，从而为爱好者初步认识晶体物化性质探索一条可能的道路。

二、知识预备：双折射现象

当一束光入射到各向同性介质的时候，其通常遵循折射定律： $n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}$

但是当光入射到各向异性的介质时，问题则没有那么简单。光入射各向异性介质后将分成两束，一束是符合折射定律的寻常光，或者叫o光，另一束则是“不符合”折射定律的费寻常光，也即e光。对我们思考问题更有利的一个说法叫作某一偏振方向的光折射率与入射方向无关，而另一偏振方向的光折射率则随入射角的改变而改变。

在晶体中存在一个特殊的方向叫光轴，自然光沿光轴方向入射时不发生双折射现象。有的晶体只有一个光轴（例如方解石），而另外一些晶体有着两个光轴（例如云母）。为了简化讨论，我们以下只讨论单轴晶体或者可以当做单轴晶体处理的情况。

对于单轴晶体，沿光轴入射时o光与e光的折射率都等于 $n_{o}$ ，垂直光轴入射时o光折射率仍为 $n_{o}$ ，但是e光折射率变为 $n_{e}$ 。当沿着其他方向入射的时候e光折射率介于 $n_{o}$ 与 $n_{e}$ 之间，至于具体如何计算暂且留给做倍频的同志去讲，咱用不上。

三、例题：外加电磁场如何影响晶体光学性质

【题1】（质心教育GPhO 037 T8）

解答：

旋光效应最早的唯象理论叫“圆双折射效应”，也就是不同方向旋转的圆偏振光的传播速度不同。而任何一个线偏振光都可以看作一束左旋偏振光与一束右旋偏振光的叠加，这两束圆偏振光的相位差决定了线偏振光的方向。随着光在旋光性介质中的传播，两束圆偏振光的相位差逐步变化，从而导致偏振方向的旋转。

首先处理无磁场时介质的行为。列出电子运动的微分方程： $m \ddot{x} = - k x - β \dot{x} - e E_{0} e^{i ω t}$

容易解得 $x = A e^{i ω t}, A = \frac{e E_{0} e^{i ω t}}{m ω^{2} - i β ω - k}$

单个电子电偶极矩： $p = - e x$

极化强度： $P = n_{0} p$

相对介电常数： $ϵ = 1 + \frac{P}{ϵ_{0} E}$

整理得到相对介电常数的实部： $Re ϵ = Re (1 + \frac{P}{ϵ_{0} E}) = 1 + \frac{n_{0} e^{2} (m ω^{2} - k)}{ϵ_{0} ((m ω^{2} - k)^{2} + β^{2} ω^{2})}$

多扯一句，由这个式子可以整理出柯西色散公式，此处不展开讲。

对于后面两问，原题解法略繁琐且偏抽象，我们采取更为形象简单的方法求解。认为电子在外加圆偏振光（的旋转电场）的作用下绕力心做匀速圆周运动。

首先处理左旋偏振光，换到以ω转动的参考系中分析，可不计阻尼与回复力，外加电场力、洛伦兹力与惯性离心力平衡，列出方程： $- e E = - m r ω^{2} + e B ω$

解得 $r = \frac{e E}{m ω^{2} - e B ω}$

随后算出折射率（计算过程略）： $n_{l} = \sqrt{1 + \frac{n e^{2}}{ϵ_{0} (m ω^{2} - e B ω)}}$

同理算出右旋偏振光折射率，只需把B改为-B： $n_{r} = \sqrt{1 + \frac{n e^{2}}{ϵ_{0} (m ω^{2} + e B ω)}}$

当B不太大的时候，整理出： $V = \frac{n_{0} e^{3}}{2 m^{2} ω^{2} c ϵ_{0} \sqrt{1 - n_{0} e^{2} / m ω^{2} ϵ_{0}}}$

由这一推导过程可见，法拉第旋光效应不要求介质的具体种类，但是在实际应用中，往往会选择钇铁石榴石（YIG）或硼酸铁等具有铁磁性的晶体，这些晶体的费尔德系数V相对较大。

有的读者可能听说过糖溶液的旋光效应，那么这两种旋光效应有什么区别呢？两者的物理机制有着本质的不同，此处我们不做深究。但是这种物理机制的不同导致了其现象和用途的巨大不同。

对于上图这样一个装置，假如旋光性介质是糖溶液，那么入射激光和被平面镜反射后从装置左侧出射的激光的偏振方向是一致的；但假如介质是加了磁场的某种晶体，那么这两者的偏振方向相差一个角度，这个角度是光单次通过该介质旋转角的两倍。利用这一特性，假如在装置左侧放置一个与入射光偏振方向相同的检偏器，并使单次通过介质的旋转角为45度，那么反射光偏振方向将与入射光的垂直，无法通过检偏器，从而起到隔离反射光的效果，此即所谓“光隔离器”。在涉及强激光的实验中往往要加装光隔离器，避免激光器后级光路的反射光进入激光器，导致激光器工作不稳定。

【题2】（笔者自行编写）横向电光效应

建立一个最简单的非线性介质模型，认为晶体是由若干个同种分子组成，每个分子可以看做一个固定不动的正电中心与一个电子的结合，电子与正电中心间相互作用势能可以写作 $V = \frac{1}{2} A r^{2} + \frac{1}{6} B r^{3}$ ，式中r为电子与正电中心的距离。分子数密度为 $ρ$ 。忽略辐射阻尼。

近似：分子内部电场>>入射光电场>>外加静电场。

（1）没有外加电场时，试计算折射率 $n_{0}$ 。

（2）外加平行于入射光电场方向的电场E，试计算折射率的改变量。

解答：

（1）

由题目容易得到回复力： $\vec{F} = A \vec{r} + \frac{1}{2} B r \vec{r}$

写出回复力的等效劲度系数： $k_{e f f} = \frac{d^{2} V}{d r^{2}} = A + B r$

没有外加电场时，r=0，k=A。

按照题1里的方法，得到 $n_{0} = \sqrt{1 + \frac{ρ e^{2}}{ϵ_{0} (m ω^{2} - A)}}$

（2）

外加电场之后，相当于平衡位置发生了改变，从而改变了劲度系数。

外加电场后的受力平衡方程： $- e E = A r + \frac{1}{2} B r^{2}$

解出r，代入得到 $k_{e f f} = \sqrt{A^{2} - B e E} = A (1 - \frac{B e E}{A^{2}})$

折射率： $n_{1} = \sqrt{1 + \frac{ρ e^{2}}{ϵ_{0} (m ω^{2} - A (1 - \frac{B e E}{A^{2}}))}}$

小量展开之后得到 $n_{1} - n_{0} = n_{0} \frac{ρ e^{3} B E}{2 ϵ_{0} A (m ω^{2} - A^{2})}$

也就是折射率的变化量正比于外加电场强度。

当然这个模型非常粗略以至于扯淡，仅适合于看个乐，而不适用于作为严谨的分析。这个模型的价值在于直观的解释了为何必须在无对称中心的晶体中才会出现二阶电光效应。假如这个介质的对称性非常好（如液体或者某些有对称中心的晶体），其势能将是近似的偶函数，泰勒展开之后的 $r^{3}$ 项将极小以至于可以忽略不计，对应的回复力的二阶非线性成分也就非常小，从而不会出现显著的线性电光效应（泡克尔斯效应），但是却可能因为三阶非线性项的存在而出现二次电光效应（克尔效应）。但是对于无对称中心的晶体，其势能曲线与偶函数就偏得比较远，导致了二阶非线性项极其显著，从而为其带来了优良的线性电光效应性能。

四、例题：外加电场下双折射效应应用于激光调制

【题3】（2020年37届全国中学生物理竞赛复赛第八题）

解答：

本题的原始答案竞赛组织方已经公布，感兴趣的读者可自行查阅（如果需要笔者也可以放在回帖中，避免凑字数之嫌），此处只列出答案的若干要点。

本题是纵向电光效应，两方向偏振光的相位差正比于传播距离与电场强度，而电场方向与传播方向相同，所以电场强度与传播距离的乘积就是外加电压，最后的结果就是半波电压只与晶体的参数有关。但是对于更一般的情况而言，似乎没这么简单，晶体的加工方式、外加电场方向与光的传播方向都会影响半波电压的大小。

利用题目信息容易得到两偏振光的相位差为 $δ ϕ = 2 π n_{0}^{3} γ V / λ_{0}$ ，从而解得半波电压为 $λ_{0} / (2 n_{0}^{3} γ)$ 。

在无1/4波晶片的时候，叠加x1'、x2'方向电场在x2的分量，得到输出电场为： $E_{x 2} = - \sqrt{2} E_{0} s i n (δ ϕ / 2) s i n (ω_{0} t + 常数)$

当相位差较小的时候，得到输出光强为 $I = 2 k E_{0}^{2} s i n^{2} (δ ϕ / 2) = 2 k E_{0}^{2} (δ ϕ / 2)^{2}$

若加入1/4波晶片，相当于引入固定的π/2相位差，输出电场变为 $E_{x 2} = - \sqrt{2} E_{0} c o s (δ ϕ / 2) s i n (ω_{0} t + 常数)$ ，输出光强为 $I = k E_{0}^{2} (1 + δ ϕ / 2)$ ，从而实现了小信号条件下输出光强与外加电压的线性关系。

此处多扯一句波晶片的制备，供做有关方向实验的读者参考。透明胶带因为在生产过程中有拉伸工艺，因而产生了应力双折射，叠加合适层数的透明胶带，或许可以作为波晶片。另一种看起来更为专业的方法是用小刀去剥离云母片，因为云母具有很好的解理性，容易制成薄片，所以用云母片制备出合适的波晶片相对容易。这两种方法笔者都没有试验过，不保证可行性，仅仅是存在成功的理论可能。

这个题最后两问实际上提示我们：接入电路的电光晶体是容性负载，需要注意阻抗匹配才能达到较高的调制效率。

另外，一般晶体的半波电压在数千伏的量级，如进行试验应注意高压电操作安全。