做一个氧气液化机-1 公式推导

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做一个氧气液化机-1 公式推导

LinkPhy2021/03/04物理，喷气推进 IP:浙江

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制冷机逆卡诺循环液化机

首先是我们的制冷机原理，使用逆卡诺循环进行降温。

更具体地，我们有如下四个过程：

绝热膨胀从 $S t a t e I (p_{1}, V_{1}, T_{1}) - > S t a t e I I (p_{2}, V_{2}, T_{2})$
等温膨胀从 $S t a t e I I (p_{2}, V_{2}, T_{2}) - > S t a t e I I I (p_{3}, V_{3}, T_{2})$ ，吸收 $Q_{1} = n R T_{2} \ln \frac{V_{3}}{V_{2}}$
绝热压缩从 $S t a t e I I I (p_{3}, V_{3}, T_{2}) - > S t a t e I V (p_{4}, V_{4}, T_{1})$
等温压缩从 $S t a t e I V (p_{4}, V_{4}, T_{1}) - > S t a t e I (p_{1}, V_{1}, T_{1})$ ，放出 $Q_{2} = n R T_{1} \ln \frac{V_{4}}{V_{2}}$

因为在降温过程中，制冷室的温度也在降低，实际上在等温膨胀这步中并不是等温膨胀，所以我们需要对我们计算吸热的公式稍加修改。

我们首先考虑一个简单的问题，热容、温度分别为 $C_{1}, T_{1}; C_{2}, T_{2}$ 的两个物体接触在一起，在热平衡状态时，它们温度为多少。

很显然，设它们温度的增量分别为 $Δ T_{1}, Δ T_{2}$ ，可以列出一个线性方程组：

${\begin{aligned} C_{1} Δ T 1 + C_{2} Δ T 2 & = 0 \\ T_{1} + Δ T_{1} & = T_{2} + Δ T_{2} \end{aligned}$

求解可得到热平衡状态下它们的温度： $T = T_{1} + Δ T_{1} = T_{2} + Δ T_{2} = \frac{T_{1} C_{1} + T_{2} C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$

然后我们考虑温度变化时我们的制冷情况：我们在很短的一段时间内，可以近似地认为它由两个过程组成：1. 等温膨胀吸热 $Q_{1}$ (导致制冷室温度降低) 2. 被制冷气体与工作气体发生热传导，工作气体将一部分热量 $Q_{2}$ 传给制冷室

我们先刚开始设被制冷气体的热容为 $C_{1}$ 温度为 $T_{0}$ ，工作气体热容为 $C_{2}$ 温度为 $t$ ，显然， $T_{0} = t$

首先很显然，第一步完成后，被制冷气体的温度 $T = T_{0} - \frac{Q_{1}}{C_{1}}$ ，然后第二步完成后，代入我们刚推导出的公式，可以得到此时它们的温度 $T_{n e x t} = \frac{C_{1} T + C_{2} t}{C_{1} + C_{2}} = \frac{C_{1} (T_{0} - \frac{Q_{1}}{C_{1}}) + C_{2} t}{C_{1} + C_{2}} = \frac{C_{1} T_{0} + C_{2} t - Q_{1}}{C_{1} + C_{2}} = T_{0} - \frac{Q_{1}}{C_{1} + C_{2}}$

又由 $Q_{1} = - d W = p d V$

因此 $T_{n e x t} = T_{0} - \frac{p d V}{C_{1} + C_{2}}$

由此可得微分方程： $d T = - \frac{p d V}{C_{1} + C_{2}}$ (T为在完成上述两个过程后的被制冷气体温度，即工作气体温度)

再根据物态方程： $p V = n R T$ 即 $p = \frac{n R T}{V}$

所以 $d T = - \frac{n R T d V}{V (C_{1} + C_{2})}$

分离变量可得： $\frac{d T}{T} = - \frac{n R d V}{V (C_{1} + C_{2})}$

两边同时积分可得： $\ln \frac{T}{A} = - \frac{n R}{C_{1} + C_{2}} \ln V$

再作一点简单的代数变换，可得： $T = A e^{- \frac{n R}{C_{1} + C_{2}} \ln V}$

再考虑初值：显然初始状态为 $S t a t e (p_{2}, V_{2}, T_{2})$

因此 $T = T_{2} e^{\frac{n R}{C_{1} + C_{2}} \ln \frac{V_{2}}{V}}$

再将终点状态 $S t a t e (p_{3}, V_{3}, T_{3})$ 代入方程：

$T_{3} = T_{2} e^{\frac{n R}{C_{1} + C_{2}} \ln \frac{V_{2}}{V_{3}}}$

于是我们就得到了计算State3的各参数的公式！

然后我们开始代入实际数据：

$R = 8.314 J / (m o l \cdot k) p_{0} = 1.01325 \times 10^{5} P a γ = 1.4 初始温度： T_{1} = 303.15 K 目标温度： T_{2} = 90.15 K 工作气体初始体积： V_{1} = 1 L$

[未完待续]

[修改于 4年2个月前 - 2021/03/06 22:57:59]

来自：数理化 / 物理，航空航天 / 喷气推进

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