对啊，就是因为绝对值不方便所以标准差改了定义。
数学这东西是不能讲究所以然的，知其当然即可

我怎么觉得第二个算起来更麻烦

楼主的上述所谓标准差的定义是不准确的，是对标准差定义的误解。严格来说，上述两个全都不是标准差的定义。

讲道理的话……使用样本标准差的确是为了计算方便
方差或者绝对距离都是一个标准，这个标准越小，说明我们丧失的信息就越少（比如，方差=0，我们得知，我们的全部数据都是样本平均值，于是我们没有数据的损失）
之后就是统计的范畴，最小化这个标准

而最小化，在绝大多数人的眼中，就是求导
计算机对标准差（或者，方差）求导，轻而易举
对绝对值求导……计算机表示自己只想返回一个mmp

有了导数就可以做优化，就可以做各种花哨的计算
……BTW……才发现这个帖子好老好老

讲道理的话……正确的说法其实是这样的：
方差：找到一个\(\dot{x}\)使得\(f(\dot{x})\)最小，\(f(\dot{x})=\sum_{i=1}^n(x-\dot{x})^2\)
于是我们可以推算出\(\dot{x}\)为样本平均值，哪怕有1000000个数据，我们雇佣1000个人，每一个人处理1000次加法运算，之后你再把这1000个结果相加，而后求平均值，无论如何我们也是可以算的。
送计算机，均值只要算1000000次加法，方差无外乎多1000000次乘法，都是可以在1秒之内搞定的事情。

然后，平均距离……其实这个量给错了
仿照方差的定义，平均距离应该是：
找到一个\(\dot{x}\)使得\(f(\dot{x})\)最小，\(f(\dot{x})=\sum_{i=1}^n|x-\dot{x}|\)
于是我们得到\(\dot{x}\)……并没有显式表达，这就是为什么用方差的原因

绝对值就是平方的算术平方根，所以平均差在目前先进的计算机里并不存在计算麻烦的问题。
但是你要考虑到统计学是在没有目前先进的计算机的情况下发明的。使用方差和标准差的主要原因：以前算绝对值需要一堆if-else，不美观且低效；算平方根则非常麻烦，有的计算机连fpu都没有，算平方根是非常慢的，提出来只算一次更快。
另外标准差的表达式可以看成是n维空间中(样本1,样本2,...,样本n)和(平均值,平均值,...,平均值)这两个点之间直线距离除以(1,1,...,1)和(0,0,...,0)之间的直线距离，比较符合数学家的审美观。

引用 acmilan:
绝对值就是平方的算术平方根，所以平均差在目前先进的计算机里并不存在计算麻烦的问题。
但是你要考虑到统计学是在没有目前先进的计算机的情况下发明的。使用方差和标准差的主要原因：以前算绝对值需要一堆if-e……

是的，就是N维空间里的欧几里得距离。