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单级感应线圈炮理论计算
摘要：简要分析单级感应线圈发射装置的原理，建立基本电路和数学模型。以弹体材料、体积、质量为变量，尝试分析单级感应线圈炮的效率因素。
关键词：单级感应线圈炮；简化模型；效率

一：引言
对单级感应线圈发射装置建立基本数学模型，并尝试加以解算。力求找出弹体重量对系统效率的影响。

二：单级感应线圈炮的工作原理
简化模型，我把单级感应线圈炮的发射线圈和弹体都简化为两个直径相同且同轴排列的电流环（如图1）。当发射线圈a中通过一个上升电流i0时，发射线圈周围的磁场强度也会上升，导致通过弹体b的磁通量增加。由楞次定律可知弹体b中会感应出一个电流i1，并且此电流所产生的磁场是阻碍弹体b中磁通继续增加的，也就是说此电流与发射线圈a中的电流方向相反，弹体b中的感应磁场与发射线圈a中磁场方向也相反。它们之间是相互排斥，由于发射线圈固定，所以弹体向着受力方向加速前进。
  
图1

三：单级感应线圈炮的电路模型
等效电路（如图2），其中C为储能电容，U0为其初始电压，R为发射线圈回路中的总电阻，L为发射回路中的电容ESL、导线分布电感、开关电感等的总和，L0为发射线圈电感量。R1为弹体回路总电阻，L1为弹体电感量。M为发射线圈与弹体间的互感。
  
图2

四：单级感应线圈炮数学模型
根据图2等效电路写出数学方程有：
U0=R*i0(t)+(L+L0)*(di0(t)/dt)+(1/c)* +d[Mi1(t)]/dt  (1)
U1=R1*i1(t)+L1di1(t)/dt+ d[Mi0(t)]/dt                  (2)
式中U1是弹体感应电动势。但是由于我们要考虑的是弹体出口动能，所以可以进一步简化方程，使出口时储能电容中的电压为零，储能完全释放。弹体中的感应电动势U1为零，弹体已不受发射线圈影响。但是又要新引进两个变量，弹体在t时刻的速度V（t）和弹体在t时刻距发射线圈的距离X（t）。整理后方程（1）（2）分别为：
U0= R*i0(t)+(L+L0)*(di0(t)/dt)+M(t)di1/dt+V(t)i1(t)dM(t)/dx(t) (3)
R1*i1(t)+L1di1(t)/dt+M(t)di1(t)/dt+V(t)i0(t)dM(t)/dx(t)=0  (4)

五：单级感应线圈炮效率因子分析
好了看到上面式子我心里凉了半截，椭圆积分，无法直接求解。不过仔细看看至少有一点是明确了，感应线圈炮的基本电路和数学模型里根本没有弹丸质量这一物理量，说明单纯的弹丸质量变化不会影响感应线圈炮的发射效率。
那么感应线圈炮的效率因子有哪些呢？由（3）（4）两式不难看出有这么几个量：发射线圈回路中的总电阻R，发射回路中的电容ESL、导线分布电感、开关电感等的总和L，弹体回路总电阻R1，这几个量越小效率越高，这也不难理解，它们白白消耗能量却不能转化为弹丸的动能。还有一个就是发射线圈与弹体间的互感M，它越大效率越高，这个道理也不用我多说什么了。
又由于我们要讨论的是弹丸，所以可以假设发射装置不变，其各项参数始终不变。现在弹丸本身的变化就只会影响到弹体回路总电阻R1和发射线圈与弹体间的互感M。
又由于发射线圈与弹体间的互感M有如下计算公式：
M=μr[(2/C-C)*K(C)-2/C*E(C)]                      (5)
C=2r/                                     (6)
a=(π-θ)/2                                       (7)
θ为发射线圈电流环与弹体电流环微元之间的夹角差。
K(C)=                                (8)
E(C)=  da                            (9)
r为发射线圈和弹体电流环半径，S为发射线圈和弹体的距离，μ为磁导率。
由上式可以看出互感M是随着发射线圈与弹丸间的距离变化而变化的。距离越远互感M越小。

六：分析不同情况下弹体与发射效率的关系
1、    同体积的铜弹和铝弹相比较
由单级感应线圈炮的基本电路和数学模型就可以容易的得出结论：两弹的体积相同，初始互感M相同，但是由于铜的电阻率p=0.01851 Ω•mm2/m，铝的电阻率电阻率p=0.0294Ωmm2/m，所以铜弹的弹体回路总电阻R1要比铝弹小的多，系统发射效率自然比铝弹高。
2、    同样材质但不同质量和体积的弹丸相比较
以铝弹为例，假设A弹质量和体积是B弹的2倍。首先其电路和数学模型要做相应修改，B弹可以继续沿用单级感应线圈炮的基本电路和数学模型，但是A弹由于体积增加一倍，就假设其是两个前后串列的两个B弹吧。其电路和数学模型相应变为：图3和图4，增加一个电流环，相当于把弹丸沿径向切成两个相同的弹体，分别分析其电路性能。其中M01和M02分别表示发射线圈对两部分弹体的互感，
  
图3

  
图4
由上图写出数学方程式：
U0= R*i0(t)+(L+L0)*(di0(t)/dt)+M01(t)di1/dt+V(t)i1(t)dM01(t)/dx(t) +M02(t)di2/dt+V(t)i2(t)dM02(t)/dx(t)                  (10)
R1*i1(t)+L1di1(t)/dt+M01(t)di1(t)/dt+V(t)i0(t)dM01(t)/dx(t)=0R2*i2(t)+L2di2(t)/dt+M02(t)di2(t)/dt+V(t)i0(t)dM02(t)/dx(t)=0（11）
还是由于椭圆积分的原因，我们无法直接求解得出哪个效率高的答案。但是考虑到集肤效应等影响，我认为在弹体长径比不大，电流密度不均影响不明显的情况下还是大体积低电阻的弹丸效率较高。但当弹体长径比达到一定程度，电流密度明显“堆积”于弹体尾部，弹体头部导体没有发挥出其过流能力的情况下有可能造成能量利用率显著降低。所以我估计对于特定发射系统参数，可能存在一个最佳弹体结构。
3、    两个仅有密度不同的弹丸，对发射效率的影响。（应大版主要求对其进行分析）
这个最简单，由于只有密度不同，而基本电路和数学模型中弹体密度和质量不是效率因子，所以不影响发射效率。由此我们可以看出，弹体质量并不直接影响到发射效率，而是通过影响其它的耦合参数变化，特别是弹体电阻，来间接影响发射效率的。

七：进一步深入分析感应线圈炮的发射全过程
有心人可能早就发现前面第二节，我对感应线圈炮的工作原理分析其实并没有说完。这里我继续分析我所理解的感应线圈炮的发射全过程，由于较复杂，只建议有兴趣的朋友来深究。
当发射线圈a中通过一个上升电流i0时，发射线圈周围的磁场强度也会上升，导致通过弹体b的磁通量增加。由楞次定律可知弹体b中会感应出一个电流i1，并且此电流所产生的磁场是阻碍弹体b中磁通继续增加的，也就是说此电流与发射线圈a中的电流方向相反，弹体b中的感应磁场与发射线圈a中磁场方向也相反。它们之间是相互排斥，由于发射线圈固定，所以弹体向着受力方向加速前进。
但是无论用什么电源，发射线圈中的电流不可能永远持续增加，所以发射线圈周围的磁场强度也不会永远上升，通过弹体b中的磁通量就不会永远增加，一旦弹体b中的磁通量开始下降，同样由楞次定律可得弹体b中会感应电流i1就会反向，此时弹体中的电流方向会与发射线圈中的电流方向是相同的，磁场方向也相同，也就是说此时发射线圈和弹体间是引力。
假设发射线圈为足够长度的理想螺线管，电容储能，弹体与发射线圈完全耦合。那么我们不难算出整个发射周期里，电流上升时对弹体的加速能量等于电流下降时对弹体的减速能量。最终弹体会停在发射管里。理想中的100%效率的发射是不可能的。要将弹丸高效射出，必须要使发射线圈中的电流上升时间持续到弹体飞出发射线圈一定距离（经过一个“中间弹道”），使弹体与发射线圈之间的磁耦合系数降低到一定值，互感不那么强时，发射线圈中的电流才能下降，此时还是会出现“反拉”，但是由于磁耦合系数低，互感弱，“反拉”效果就大打折扣了，反而有利于提高效率。
继续分析“中间弹道”还是假设发射装置是电容储能，无电流截断。那么发射线圈中的电流会呈周期性振荡，而且由于随着弹体远离发射线圈，弹体与发射线圈的磁耦合系数越来越低，互感越来越小，弹体对发射线圈回路的反射阻抗就越来越小，发射线圈中的电流振荡周期就越来越大。实际上发射线圈中的电流是一个周期越来越长，幅值越来越小的变周期阻尼振荡。直至储能电容电能耗尽，弹体与发射线圈距离足够远，远的其磁耦合系数接近零，则中间弹道也结束了，弹丸完全进入外弹道飞行。
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