上物理课的时候，看到有一个题目，要我们比较圆形轨道(半径为r）和椭圆轨道（地球球心到远地点距离为r）的运动时间。我突发奇想，能不能推导出来椭圆轨道的运动方程。于是就查阅了一下资料，发现还真可以.

首先，弹道导弹的运动轨迹是椭圆。在这个运动阶段，导弹的机械能和动量矩均守恒。将弹头看成一个质点。故在地球引力场内，弹头离地心rk的引力势能为

\[{{V}_{K}}=-\frac{GMm}{{{r}_{k}}}\]

动能表示为

\[{{T}_{K}}=\frac{m{{v}_{k}}^{2}}{2}\]

所以弹头在被动段上某点k处的机械能为

\[{{E}_{K}}=\frac{m{{v}_{k}}^{2}}{2}-\frac{GMm}{{{r}_{k}}}\]

接下来我们换成极坐标系。在极坐标系中，我们可以知道。弹头所在的极径和弹头所在的极角（记为r和$\eta$这样我们就可以知道,弹头在轨迹上任意一点的动能。

\[T=\frac{m(\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,+{{r}^{2}}{{\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,}^{2}})}{r}\]

由机械能守恒可得

\[\frac{{{\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,}^{2}}+{{r}^{2}}{{\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,}^{2}}}{r}-\frac{GM}{r}=\frac{{{v}_{k}}^{2}}{2}-\frac{GM}{{{r}_{k}}}\]

令单位质量的机械能为${{E}_{U}}$ ,则由

\[{{E}_{U}}=\frac{{{v}_{k}}^{2}}{2}-\frac{GM}{{{r}_{k}}}\]

得到

\[{{\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,}^{2}}+{{r}^{2}}{{\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,}^{2}}-\frac{GM}{{{r}_{k}}}=2{{E}_{U}}\]

又因为动量矩守恒可以得到

\[{{J}_{\omega }}=m{{r}^{2}}\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,=const\]

引入一个新的常数H,令其为两倍的面积速度。

\[{{r}^{2}}\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,=H\]yes

由上述某一个公式（我也不知道是哪个公试了）消掉$\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,$可以得到。

\[\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,=\sqrt{2{{E}_{U}}+\frac{2GM}{r}-\frac{{{H}^{2}}}{{{r}^{2}}}}\]

又因为

\[\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,=\frac{dr}{d\eta }\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,\]

继续消去$\overset{\centerdot }{\mathop{\eta }}\,$可以得到

\[\overset{\centerdot }{\mathop{r}}\,=\frac{dr}{d\eta }\frac{H}{{{r}^{2}}}=\frac{d(\frac{H}{r})}{d\eta }\]

然后将两等式联立。

\[d\eta =\frac{-d(\frac{H}{r})}{\sqrt{2{{E}_{U}}+\frac{2GM}{H}\frac{H}{r}-\frac{{{H}^{2}}}{{{r}^{2}}}}}\]

将上面这个式子积分

\[\eta =\arccos \frac{\frac{H}{r}-\frac{GM}{H}}{\sqrt{2{{E}_{U}}+\frac{GM}{H}{{}^{2}}}}-{{\eta }_{0}}\]

然后将$d\eta =\frac{-d(\frac{H}{r})}{\sqrt{2{{E}_{U}}+\frac{2GM}{H}\frac{H}{r}-\frac{{{H}^{2}}}{{{r}^{2}}}}}$改写一下

\[\eta +{{\eta }_{0}}=\arccos \frac{\frac{H}{r}-\frac{GM}{H}}{\sqrt{2{{E}_{U}}+\frac{GM}{H}{{}^{2}}}}\]

进一步得到轨道方程为

\[r=\frac{{}^{{{H}^{2}}}\!\!\diagup\!\!{}_{GM}\;}{1+e\cos \left( \eta +{{\eta }_{0}} \right)}\]

其中

\[H={{r}_{k}}{{v}_{k}}\cos {{\theta }_{Hk}}\]

其中${{\theta }_{Hk}}$是K1点相对于水平面的夹角。

参考文献(复制文献)北京航空航天大学出版社《运载火箭设计》郭祖华编著