上物理课的时候，看到有一个题目，要我们比较圆形轨道(半径为r）和椭圆轨道（地球球心到远地点距离为r）的运动时间。我突发奇想，能不能推导出来椭圆轨道的运动方程。于是就查阅了一下资料，发现还真可以.

首先，弹道导弹的运动轨迹是椭圆。在这个运动阶段，导弹的机械能和动量矩均守恒。将弹头看成一个质点。故在地球引力场内，弹头离地心rk的引力势能为

$$V_K=-\frac{GMm}{r_k}$$

动能表示为

$$T_K=\frac{m{v_k}^2}{2}$$

所以弹头在被动段上某点k处的机械能为

$$E_K=\frac{m{v_k}^2}{2}-\frac{GMm}{r_k}$$

接下来我们换成极坐标系。在极坐标系中，我们可以知道。弹头所在的极径和弹头所在的极角（记为r和$\eta$这样我们就可以知道,弹头在轨迹上任意一点的动能。

$$T=\frac{m(\stackrel{\cdot }{r}+r^2{\stackrel{\cdot }{\eta }}^2)}{r}$$

由机械能守恒可得

$$\frac{{\stackrel{\cdot }{r}}^2+r^2{\stackrel{\cdot }{\eta }}^2}{r}-\frac{GM}{r}=\frac{{v_k}^2}{2}-\frac{GM}{r_k}$$

令单位质量的机械能为$E_U$ ,则由

$$E_U=\frac{{v_k}^2}{2}-\frac{GM}{r_k}$$

得到

$${\stackrel{\cdot }{r}}^2+r^2{\stackrel{\cdot }{\eta }}^2-\frac{GM}{r_k}=2E_U$$

又因为动量矩守恒可以得到

$$J_{\omega }=m{r}^2\stackrel{\cdot }{\eta }=const$$

引入一个新的常数H,令其为两倍的面积速度。

$$r^2\stackrel{\cdot }{\eta }=H$$yes

由上述某一个公式（我也不知道是哪个公试了）消掉$\stackrel{\cdot }{\eta }$可以得到。

$$\stackrel{\cdot }{r}=\sqrt{2E_U+\frac{2GM}{r}-\frac{H^2}{r^2}}$$

又因为

$$\stackrel{\cdot }{r}=\frac{dr}{d\eta }\stackrel{\cdot }{\eta }$$

继续消去$\stackrel{\cdot }{\eta }$可以得到

$$\stackrel{\cdot }{r}=\frac{dr}{d\eta }\frac{H}{r^2}=\frac{d(\frac{H}{r})}{d\eta }$$

然后将两等式联立。

$$d\eta =\frac{-d(\frac{H}{r})}{\sqrt{2E_U+\frac{2GM}{H}\frac{H}{r}-\frac{H^2}{r^2}}}$$

将上面这个式子积分

$$\eta =\arccos \frac{\frac{H}{r}-\frac{GM}{H}}{\sqrt{2E_U+\frac{GM}{H}{}^2}}-{\eta }_0$$

然后将$d\eta =\frac{-d(\frac{H}{r})}{\sqrt{2E_U+\frac{2GM}{H}\frac{H}{r}-\frac{H^2}{r^2}}}$改写一下

$$\eta +{\eta }_0=\arccos \frac{\frac{H}{r}-\frac{GM}{H}}{\sqrt{2E_U+\frac{GM}{H}{}^2}}$$

进一步得到轨道方程为

$$r=\frac{{}^{H^2}╱{}_{GM}}{1+e\cos (\eta +{\eta }_0)}$$

其中

$$H=r_k{v}_k\cos {\theta }_{Hk}$$

其中${\theta }_{Hk}$是K1点相对于水平面的夹角。

参考文献(复制文献)北京航空航天大学出版社《运载火箭设计》郭祖华编著