由于上期文章赶稿急促，排版不满足一般文章要求，在此向大家致歉，后续会注意相关情况。

本篇将接续上篇内容，从火箭运动方程进而分析刚体稳定性

1. 绪论

   正如上节所述,火箭运动方程由刚体、晃动、弹性振动运动方程组成。三种运动都对火箭稳定飞行产生不可忽视的影响。然而,为了描述清晰与讨论方便，首先讨论火箭刚体稳定性。 俯仰、偏航、滚动三个通道的稳定分析方法基本相同。因此，以俯仰通道为例讨论其稳定性。

   根据推导结果：

   $$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\dot{\theta }=c_1\mathrm{\Delta }\alpha +c_2\mathrm{\Delta }\theta +c_3\mathrm{\Delta }{\delta }_{\phi }+c_3^{\prime \prime }\mathrm{\Delta }{\ddot{\delta }}_{\phi }\\ +c_1^{\prime }\sum _k{\alpha }_{W_k}+{\overline{F}}_y\\ \mathrm{\Delta }\ddot{\phi }+b_1\mathrm{\Delta }\dot{\phi }+b_2\mathrm{\Delta }\alpha +b_3\mathrm{\Delta }{\delta }_{\phi }+b_3^{\prime \prime }\mathrm{\Delta }{\ddot{\delta }}_{\phi }\\ =-b_2\sum _k{\alpha }_{w_k}-{\overline{M}}_z\\ \mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{\Delta }\theta +\mathrm{\Delta }\alpha \\ (k=P,Q,G)\end{array}$$
   

2. 无控火箭飞行姿态稳定性分析

   对于无控火箭，设初试姿态为零，对上式进行拉普拉斯变换，可导出：

   $$\begin{array}{c}\{s^3+(b_1+c_1-c_2)s^2+[b_2+b_1(c_1-c_2)]s-b_2{c}_2\}\mathrm{\Delta }\phi \\ =b_1{c}^{\prime }\sum _k\sum _{W_k}+(s+c_1-c_2)[-b_2\sum _k{\alpha }_{W_k}-{\overline{M}}_z]\end{array}$$

   显然，无控火箭的角运动特征方程为

   $$\begin{array}{rcl}M(s)& =& s^3+(b_1+c_1-c_2)s^2+[b_2+b_1(c_1-c_2]s-b_2{c}_2\end{array}$$

   （1）静不稳定火箭

   火箭的稳定性与所讨论的飞行时刻(又称特征秒）有关．以起飞时刻，负b2最大时刻、真空时刻为特征秒讨论其稳定性。

   1）起飞时刻

   大量计算表明，M（s）可分解为如下形式：

   $$\begin{array}{rclrc}M(s)\approx (s+c_1-c_2)[s^2+2\zeta \omega s+{\omega }^2]\mathrm{其}\mathrm{中}\omega & =& [-b_2{c}_2/(c_1-c_2){]}^{\frac{1}{2}}\mathrm{并}\mathrm{且}\zeta \omega & =& b_2{c}_1/2(c_1-c_2{)}^2<0\end{array}$$

   显然有一对实部为正的复根。因此，火箭姿态将震荡发散。

   2）负b2最大时刻

   从特征方程的分布来看

   $$\begin{array}{r}M(s)\approx (s-c_2)(s-\sqrt{\left|b_2\right|})(s+\sqrt{\left|b_2\right|})\end{array}$$

   表明特征方程有两个正实根，因为b2的值很大，所以火箭姿态会迅速发散。

   3）真空飞行段

   在真空飞行段，火箭动压头为零，所以

   $$\begin{array}{rcl}M(s)& =& (s+c_1-c_2)s^2\end{array}$$

   显然有两个零跟，理论上讲，火箭处于临界稳定。但是由于结构安饶的存在，火箭还是会迅速发散。

   （2）静稳定火箭

   对于静稳定火箭，b2大于零，继续讨论三个特征下的发散情况

   1）起飞时刻

   $$\begin{array}{rclrclr}M(s)& =& (s+c_1-c_2)(s+A_1)(s+A_2)\mathrm{其}\mathrm{中}{A}_1& =& b_2{c}_1/[2(c_1-c_2{)}^2]+[b_2{c}_2/(c_1-c_2){]}^{\frac{1}{2}}\mathrm{并}\mathrm{且}{A}_2& =& b_2{c}_1/[2(c_1-c_2{)}^2]-[b_2{c}_2/(c_1-c_2){]}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

   说明火箭单调发散

   2）b2最大时刻

   $$\begin{array}{r}M(s)\approx (s-c_2)[s^2+b_{1}s+b_2]\end{array}$$

   可见有一个正实根c2，在这一阶段火箭将缓慢单调发散。

   3）真空飞行段

   $$\begin{array}{rcl}M(s)& =& (s+c_1-c_2)s^2\end{array}$$

   与静不稳定火箭一样，飞行姿态将在干扰下单调发散

3.结论

     通过本节讨论可见,无论是静稳定火箭还是静不稳定火箭，当无姿态控制时，它们的飞行姿态都是不稳定的。但是，静稳定火箭发散得较慢，静不稳定火箭发散得较快，尤其是在负b2最大时刻,发散得更快。由于静稳定火箭发散得较慢，所以，有的近程战术火箭可以是无控的。

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下节将介绍姿态稳定方案及其稳定性分析