1. 电容的时间常数

评价电容放电性能的时候，经常会用到两个参数：一个是“电容量”，简写为“容量”或C；另一个是“等效串联电阻”，简写为“内阻”，ESR或R。分开使用这两个参数，不便于比较容量和内阻都不同的电容。比如“1000μF，60mΩ”和“2000μF，40mΩ”，哪个质量更好，就不太好比。

1.1 电容时间常数的概念

这时我们可以引入一个“时间常数”的概念。

$$ 电容的时间常数=内阻 \times 容量 $$

$$ \tau = R \cdot C $$

时间常数简写为τ（希腊字母，tau，在论坛的字体下长得像把T做成角标了一样……），单位是“秒”（没错，就是表示时间的那个秒。法拉和欧姆相乘，结果竟然是秒，也是颇为神奇）。对于电容来说，时间常数的物理意义是：把电容短路起来，经过一个时间常数那么长的时间再断开，电容的电压会下降到原来的“自然常数分之一（1/e）”，即37%。

举例来说，一个典型的电解电容，电压450V，容量1000μF，内阻60mΩ，那么它的时间常数就是(1000*10^-6) * (60*10^-3)=60*10^-6 s 即60μs。把它的引脚短路起来，过60μs之后再断开，电压就会下降到450/e=450/2.718=166V。

1.2 用时间常数评价电容放电性能

显然，电容的时间常数越小，放电性能也就越好。在脉冲时间相同的场合下，时间常数小的电容，损耗在内阻上的能量更少，效率更高。时间常数小，用俗话说就是“放电速度快”，就可以用在脉冲时间更短的场合，比如小口径感应炮，或者“高出速的，打钢珠的磁阻炮，靠近出口的几级”。回到文章第一段的例子，利用时间常数，我们就可以判断出，“1000μF，60mΩ”的电容，放电性能就比“2000μF，40mΩ”的更好。这也很好理解，毕竟把两个“1000μF，60mΩ”的电容并联起来，得到的是一个“2000μF，30mΩ”电容，显然就比“2000μF，40mΩ”的更好。

1.3 实际电容的时间常数

对于最常用的高压电解电容，比如330V和450V这种，其时间常数与具体的容量和耐压几乎无关，一般均在30到100μs之间（参考[1]，[2]）。据此可以估算电容的内阻，即R=τ/c，比如我们买到了一个680μF的电容，则它的内阻就在R=(30*10^-6)/(680*10^-6)=44mΩ到(100*10^-6)/(680*10^-6)=147mΩ之间。如果超出这个范围，需要怀疑测试是否准确，以及电容是否有其它方面的重大问题。比如有些牛角电容，可能是连接处接触不良，把电桥夹在牛角上测到的内阻，会显著大于夹在铆钉上测到的结果。

图1 夹在不同地方，测到的内阻可能不同

低压电解电容的时间常数会显著更高，比如16V的电解电容，时间常数普遍能比高压电容大一个数量级，700μs这种也很正常。而薄膜电容的时间常数则比电解电容低两到三个数量级，可以达到1μs，甚至几十ns级。此时内阻已经可以忽略，限制放电电流和脉冲时间的因素，已经变成了“等效串联电感”和“电容允许的电压变化率”。

关于如何买到时间常数更小的电解电容。一般来说，容量较小的电容，时间常数也较小。不过，这个影响并不显著，把容量从1000μF换到100μF，时间常数也不一定能变小一半。价格的影响同样不显著，也是10倍价格不一定能差一半。根据我的经验，最主要的影响因素是运气……所以各位买的时候不用太纠结…开心就好。

1.4 根据时间常数选择合适的电容

根据时间常数，可以判断某个场合需要什么种类的电容。总的原则就是，电容的时间常数要远小于放电的脉冲时间。比如磁阻炮的第一级，放电时间通常是大几百μs到1ms多，远大于电解电容的时间常数，因此随便用哪种电解电容都可以。同理，轨道炮的放电时间也很长，比如30cm轨道，300m/s出速，按匀加速算，弹丸要在轨道里待2ms，所以也是随便用哪种电解电容都可以。

而比如小口径的感应炮，每级的脉冲时间可能只有几十μs，和电解电容的时间常数大致相当，此时用电解电容就很不合适了。因为只有当电容的输出是短路的时候，它放电脉冲的持续时间才能到时间常数那么短。而输出短路时，电容所有的能量都会消耗在内阻上，一点能量都不会输出。所以当需要的脉冲时间非常短，接近电容时间常数时，电容内阻损耗的能量会很大，电磁炮的效率也会显著下降，到ppm级都很正常。因此用电解电容做同轴感应炮（一般口径都不大），效果就很差（参考[3]）。同理，对于高初速的，发射钢珠的磁阻炮，在靠近出口的几级，也需要很短的放电时间，因此电容内阻损耗也会很大。此时想要提高效率，有两种做法：一种是使用时间常数小的电容，比如换用薄膜电容；另一种是延长放电时间，比如把所有电容都并联起来并使用可关断方案，这样电容的放电时间就从“某一级导通的时间（几十μs级）”，扩展到了“弹丸在炮管里的总时间（ms级）”

2. 电感的时间常数

2.1 电感的时间常数的概念

说完了电容，我们来说说电感，也就是线圈。线圈也有两个参数：①电感量，简称电感或L②寄生电阻，简称电阻或R。

$$ 电感的时间常数=\frac{电感}{电阻} $$

$$ \tau = \frac{L}{R} $$

与电容的类似，电感的时间常数，单位也是秒。其物理意义是：把电感短路起来，经过一个时间常数那么长的时间，电感的电流会下降到原来的“自然常数分之一”，即37%。举例来说，某个磁阻炮第一级线圈的电感是300μH，电阻是400mΩ，则它的时间常数是(300*10^-6)/(400*10^-3)=750μs。假如它上面的电流有400A，则把这个线圈短路起来（比如续流二极管导通），经过750μs之后，它的电流会衰减到400/2.718=147A。

2.2 线圈时间常数多大好？

线圈时间常数越长，能量损耗的也就越慢。对于轨道炮（把轨道当作单匝线圈），感应炮，以及“带关断和能量回收的磁阻炮”，我们希望线圈时间常数越大越好，这样在相同导通时间内，线圈电阻消耗的能量也就越少，电磁炮的效率也就越高。

但对于最常见的“可控硅无关断磁阻炮”（这词实在太长了，以下简称TNC-RCG，即“Thyristor-switched non-cutoff reluctance coilgun”），我们并不总是希望线圈能量损耗得慢，因为TNC-RCG是靠线圈电阻来“关断”的，线圈时间常数过大，磁场衰减的就慢，回拉就会很严重。极端的例子是，假如使用超导线圈，时间常数会是无穷大，弹丸就只会在线圈里往复振荡，直到摩擦力让它停在线圈中央为止。因此对于TNC-RCG，我们希望线圈的时间常数“合适”。为此往往需要在靠近出口的级，降低线圈的时间常数。

从2.1节的公式看，降低时间常数有两种做法：一是减小电感，二是增大电阻。由于电感量需要配合储能电容的电容量，所以就只能故意的增加线圈电阻（没错，就是增加电阻），常见的做法就是用更薄的线圈。所以设计优良的作品，往往前面几级特别是第一级线圈很“厚”，外径能达到内径的两三倍；而靠近出口的几级线圈则非常薄，可能只绕三四层线，外径连内径的1.5倍都不到。

2.3 什么决定了线圈的时间常数？

线圈的时间常数，基本只取决于线圈的外形（还有材料电阻率和填充率），与线圈的电感量和匝数都几乎无关。形象地说一下就是：外形相同的线圈，用粗线+少匝数（比如1mm线绕100匝），和用细线+多匝数（比如0.5mm线绕400匝），尽管电感和电阻都不同，但电感与电阻的比值，即时间常数不变。关于这一点，可以参考[4]，[5]

线圈的尺寸越大，时间常数也就越大。可以这样理解，假如我们把一个线圈的尺寸，等比例的变为原来的k倍，则导线长度∝k，导线截面积∝k²，因此线圈电阻∝导线长度/截面积∝k/k²=1/k。而线圈电感∝k（参见[6]），因此线圈时间常数=电感/电阻∝k/(1/k)=k²，即时间常数和尺寸的平方成正比。当然，这个比例关系，仅对所有尺寸都等比例缩放有效。对于线圈炮常用的矩形截面线圈，单独增加长度或外径，虽然也会提高时间常数，但是提高的速度远达不到平方倍（这个可以自己仿真来验证一下）。而单独改变内径时，反而是增加内径会降低时间常数，毕竟内径越大，线圈越轻嘛。

2.4 用线圈的时间常数来解释一些现象

根据电感的时间常数，可以解释一些现象。比如上面提到的，为什么TNC-RCG要逐渐减薄线圈。

2.4.1 为啥感应炮需要短脉冲

也可以解释为什么感应炮需要很短的脉冲，效果才会好（参考[3]， [7]， [8]， [9]）：因为弹丸的时间常数较小。举例来说，一个同轴感应炮[8]，发射的弹丸是14mm长，12.7mm外径，1.2mm壁厚的铝管。如果不考虑趋肤效应，它的时间常数大约是62μs。关于这个62μs，一个简单的计算方法是，用那个常见的模拟器，仿一个外形一致的线圈，然后直接用仿到的电感和电阻相除，如下图。因为2.3节提到过，只要线圈外形相同，时间常数就一致。

图2 线圈时间常数的简单计算方法

这意味着，假如驱动线圈上的电流是一个“阶跃信号”，发射时从0A瞬间升到某个值并保持恒定不变，则只需要62μs，弹丸上的电流就会衰减到刚发射时的37%，如下图。

图3 使用阶跃信号驱动线圈

阶跃信号驱动线圈.ms14 81.38KB MS14 97次下载

假如弹丸位置没动，则电磁力也会相应的降到37%。然而驱动线圈电流不变，也就是说电阻损耗功率没变。电磁力变小而电阻损耗不变，效率自然就下降了。此时，继续给线圈通恒定电流，只能白白消耗电能，而几乎起不到加速的作用。因此感应炮需要保证单个脉冲的持续时间，不显著大于弹丸时间常数，才能得到看得过去的效率，所以需要使用很短的电流脉冲。比如我在[8]里，发射这个时间常数62μs的铝管时，使用的电流脉冲，理论上是一个持续时间仅130μs的正弦半波（不考虑弹丸和线圈的互耦，考虑的话应该会明显更低）。

2.4.2 为啥电感储能不好用

根据时间常数，还可以解释为啥电感储能在电磁炮里不好用：因为储能用的电感时间常数太小了，所以如果初级能源（在电磁炮里基本就是电池）的功率不大，则电感储能的能量密度会低得惨不忍睹。

设储能电感的电感量为L，电阻为R，时间常数为τ，储能之后上面有大小为I的电流。则它储存的磁场能Em，和电阻消耗的电功率Pr，分别为

$$E_{m}= \frac{1}{2} L I^{2} $$

$$ P_{r}=R I^{2} $$

两式相除可得

$$ E_{m} =\frac{1}{2} \frac{L}{R} P_{r}=\frac{1}{2} \tau P_{r} $$

可以看到，电感的储能和寄生电阻消耗的电功率是成正比的，如果我们没法提供很大的电功率给寄生电阻消耗，则电感能储存的能量也就高不了。那么我们能给寄生电阻提供多少功率呢？显然，在电磁炮里，我们不能用电容这种大功率的元件作为初级能源，因为这样就失去电感储能的意义了：电容的能量密度，显然是比“电容+电感”更高的，有电容的话，直接用电容就行了，没必要让能量在电感上过一遍。如果用电池的话，能提供的功率就很有限了。市面上比较优秀的航模锂电（比如穿越机用的一百多C的电池），功率密度可以做到14kW/kg。如果我们下血本，冒着被炸死的风险，把2kg这样的电池并在一起，那我们能提供28kW的功率。此时电感储能就是Em=14000τ，那么τ是多少呢？

假如我们又下了血本，做了一个内径10cm，外径20cm，长5cm的巨大电感。这个电感的形状已经是理论最优的brooks coil了，在相同重量下，有最大的时间常数。同时为了提高能量密度（减重），我们使用纯铝制作这个线圈（相同重量的铝，导电性比铜好得多）。于是这个线圈的时间常数大约是18ms，其重量约为2.5kg。配合上前面提到的2kg电池，这个总重4.5kg的电感储能系统，总储能将达到Em=14000*0.018=252J。

而用电解电容储252J需要多少重量呢？比如闪光灯电容的能量密度普遍能做到1kJ/kg，因此储252J，需要252g的电容。我们下了血本做的9斤重的电感储能，性能上终于赶上了5两重的电解电容，可喜可贺……

扩大装置规模也没有效果，因为2.3节提到过，把线圈尺寸变成k倍，时间常数只会变成k²倍，然而线圈重量会变成k³倍。这还没考虑“如何用恒流源驱动感性负载”这种麻烦事。所以说，用时间常数这个概念分析可以看到，在室温超导普及之前，还是别想着用电感储能给电磁炮供电了。

3. 结论

用时间常数，可以评价不同容量电容的放电性能，估算电容内阻，给选择合适的电容提供参考。可以解释和线圈有关的一些现象，比如为什么可控硅无关断磁阻炮靠近出口的线圈要变薄，为什么感应炮需要短脉冲，为什么电感储能不好用。总之是一个很方便的理论工具。

本贴扩充自《你好，电磁炮》第3.2节中的某几段，你看光是一节里的某几段就能扩出来这么多东西，其它那么多节是不是非常值得一看？论坛购买还可享受内部价，心动不如行动哦 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/84859

参考

[1] 三水合番，测量一批电容的参数（流量警告），XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/83329

[2] 猎鹰 ，测量一批电容的参数（流量不警告），XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/83514

[3] badboy-fly ，柱状感应线圈炮16J与67J储能发射对比实验，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/65780 

[4] 三水合番，定性分析 线圈炮效果与线圈匝数和电压的关系，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/79380

[5] 白井黑子，低压线圈炮效率真的高吗？，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/read-944

[6] Ma3.02的守望，磁阻炮用线圈参数选型表&多层空心线圈电感计算方法&线圈参数计算器V1.1，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/84939

[7] rb-sama，设计一台感应炮你需要知道的（理论+实验），XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/84037

[8] 三水合番，记录一次可控硅开关的单级同轴感应式的发射，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/82409

[9] XXXXX，经过试验，柱状感应炮线圈过长是无法发射的，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/65827