几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身：


　　在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。


悖论分析
　　解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。

　　解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。

　　解法三： 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。

　　这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

　　同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

　　解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1.

　　解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2.

　　解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3.

　　可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

贝特朗悖论在普通高中中模拟概率时会出现。一般第一种答案（即”1/3“）使用较为广泛。