内容同步发布于知乎专栏人工智障领养中心，欢迎支持呀

在机器学习、多维信号处理等领域，凡涉及到图论的地方，相信小伙伴们总能遇到和拉普拉斯矩阵和其特征值有关的大怪兽。哪怕过了这一关，回想起来也常常一脸懵逼，拉普拉斯矩阵为啥被定义成   ？这玩意为什么冠以拉普拉斯之名？为什么和图论有关的算法如此喜欢用拉普拉斯矩阵和它的特征值？

最近读论文的时候，刚好趁机温习了一下相应的内容，寻本朔源一番，记录下来，希望大家阅读之后，也能够有个更加通透的理解。

要讲拉普拉斯矩阵，就要从拉普拉斯算子讲起，要讲拉普拉斯算子，就要从散度讲起～

于是我们从散度开始，发车啦～～～

通量与散度

首先我们来看一道初中物理题：

小明乘帆船出行，刮来一阵妖风，假设帆的面积为   , 和妖风的夹角为   ，妖风在每单位面积上的垂直风压为   ，求妖风对帆的推动力

那么聪明伶俐（？）的我们一定知道，这道题的答案应该是   。

如果我们用   表示风的向量（且   ），用   表示帆的法向量，结合高中数学知识我们知道上述公式也可以写成

。。。

如果我们现在再把题目弄复杂一点，假设船帆不是一个平面，而是一个空间中的曲面   ，在   所在的每一点（面积微元  ）处，其法向量为   ，且空间中存在的风为   ，根据大学数学知识我们可以得到：

于是我们就得到了通量   的定义， 

。。。

那么如果我们有一个封闭曲面呢，比如：

在向量场下的封闭曲面

此时我们指定曲面每一点处的法向量为该点朝外的向量：

红色箭头为法向量，注意在上面的例子中风与帆的比喻并不完全恰当，在计算通量的时候一般我们认为向量场会穿过曲面，而非被挡住

于是我们有

对于上图，根据向量乘法的基本原理，聪明的我们很容易知道，对于射入曲面的那一部分（左半边），其通量为负，而对于射出曲面的那一部分（右半边），其通量为正。

更进一步的思考我们可以得出，相互抵消后，这一曲面上的总通量为 

。。。

接下来我们看下一张图：

显然，在这一向量场中，红色曲面上的总通量为负，而绿色曲面上的总通量为正。 那么我们不断缩小这两个曲面，直至其无限接近一个点   ，并将其总通量除以曲面所围成的体积   ，得到：

 ，

我们便得到了点   处的散度。

。。。

根据上面的分析，我们不难看出，在红圈所在圆心处的散度为负，而绿圈圆心处的散度为正。

结合上述定义，我们知道，散度衡量了一个点处的向量场是被发射还是被吸收，或者说，对于散度为正的点，散度越大，意味着相应的向量场越强烈地在此发散，而对于散度为负的点，意味着相应的向量场在此汇聚

嗯，就这么简单～ XD

拉普拉斯算子

接下来就是我们可爱的拉普拉斯算子啦～～

根据定义，函数   的拉普拉斯算子   又可以写成   ，其被定义为函数   梯度的散度。

那么这又是什么意思呢？

我们知道，在直角坐标系下，一个函数   在   处的梯度是一个向量   ，

于是函数   的梯度函数 

就构成了一个在三维空间下的向量场。

于是乎，我们对这一向量场   求散度   ，即得到了   的拉普拉斯算子   。

为什么要这样做呢？

让我们想像一座山，根据梯度的定义，在山峰周围，所有的梯度向量向此汇聚，所以每个山峰处的拉普拉斯算子为负；而在山谷周围，所有梯度从此发散，所以每个山谷处的拉普拉斯算子为正。所以说，对于一个函数，拉普拉斯算子实际上衡量了在空间中的每一点处，该函数梯度是倾向于增加还是减少

歪个楼，描述物理系统最优美的公式之一拉普拉斯方程，   ，大家可以想一想，这一公式表达了物理系统怎么样的特征呢？

图论下的函数

我们知道，互相连接的节点可以构成一张图，其中包含所有点构成的集合   , 和所有边构成的集合   。

对于实数域上的函数   ，我们可以理解为一种对于   的映射，将每个可能的   映射到一个对应的   上（   ）。

相应地，我们也可以定义一个图函数   ，使得图上的每一个节点   ，都被映射到一个实数   上。

比如说，假设我们有一个这样的社交网络图谱：

假设说每一条边的权值对应两个人之间信息的流通程度。现在我们想要分析这个社交网络上的信息传播，我们不仅需要知道信息流通的程度，我们还要知道每个人发动态的活跃程度，于是我们现在给这个图一个函数   ，使得：

这里的负数似乎可以理解为，   和   是谣言终结者，可以阻止信息的传播～

那么我们得到这样一张图：

图函数的梯度

我们定义了图论的函数，那么应该如何给图论下的函数定义梯度呢？

我们记得，梯度的意义在于，衡量函数在每一个点处，在每个正交方向上的变化，如   的梯度在   方向的分量 

在图论中，我们认为一个节点沿着每一条边通向它的相邻节点，而每两条边之间互相并没有什么关系，也就是说我们认为这个节点的每一条边互相都是正交的

并且对于两个节点，我们定义其距离   为其边权值的倒数（比如上面社交网络的例子，我们可以认为，两个人的信息流通程度越低，两个人的友谊就“越远”）

那么对于一个节点   ，我们认为其梯度在一条通向   的边   上的分量为

（其中   为   到   的距离），

为了计算梯度，我们给出一个这样的矩阵：

每一行代表一个点，每一列代表一条边，使得对于每个点每条边，如果该条边从该点发射出去，且权值为   ，则将矩阵中对应的这一元素置为   ，如果该条边指向该点，则将对应的元素置为   

具体到上面社交网络的例子，我们有相应的矩阵   ：

我们又有关于图函数   的列向量   ：

我们试着计算   ：

经过观察我们可以知道，最后计算结果的向量，即是整个图   在   函数上的梯度   ，其中每一行，为该梯度在一条边上的分量。

所以对于图   ，我们有   ,使得 

拉普拉斯算子与拉普拉斯矩阵

我们记得在函数中，拉普拉斯算子的定义为函数梯度的散度，即每一点上其梯度的增加/减少，那么对于图函数，其每一“点”即为每个“节点”，其梯度的散度该怎么定义呢？

我们几乎可以立刻可以想到，图函数每一点上梯度的散度，即是从该节点射出的梯度，减去射入该节点的梯度，那么我们几乎又可以立即想到（？），根据这样的定义去计算散度，只要把原来的梯度再左乘一个这样的矩阵就可以啦：

每一行代表一个点，每一列代表一条边，使得对于每个点每条边，如果该条边从该点发射出去，则将矩阵中对应的这一元素置为   ，如果该条边指向该点，则将对应的元素置为   

命名这一矩阵为 

也就是说，我们把   的每个元素，正的变成1，负的变成-1，就得到了 

那么，

于是我们得到了图论函数的拉普拉斯算子   ，即我们常说的拉普拉斯矩阵。

注意在我们上面的范例中，将任意一条边的方向反转，等价于在   的一列上乘以   ，这种情况下最终   不会改变，也就是说拉普拉斯矩阵的值与图中每一条边的方向无关，所以拉普拉斯矩阵一般用来表述无向图

计算   的值，我们得到矩阵：

注意到这一对称矩阵，对角线即是每个点的度，而其余的元素，则是负的邻接矩阵，于是乎我们得到了拉普拉斯矩阵的经典算式：

（至于外面的各种资料为什么往往只使用   而非   ，个人认为是因为前者只涉及减法，计算远远快于后者，所以程序中一般使用前者。但是为了理解拉普拉斯矩阵的意义，对后者的了解在我看来是必须的）

拉普拉斯矩阵的重要性质

拉普拉斯矩阵之所以如此常用，是因为其一大重要性质： 拉普拉斯矩阵的   个特征值   都是非负值，且有 

同时，我们引入关于矩阵   和   的瑞利熵的概念： 

其中   为   的共轭矩阵，对于   为实数矩阵的情况下 

而通过拉格朗日乘子法可以得出，瑞利熵的一个非常重要的特点就是： 瑞丽熵的最大值，等于   的最大特征值，瑞利熵的最小值，等于   的最小特征值

再看看图算法中对于拉普拉斯矩阵   的运算中常常出现的f   ，结合上文所述的拉普拉斯矩阵的重要性质，那么拉普拉斯矩阵在各种图算法中的应用，想必大家也能够理解啦～