牛顿总结或证明开普勒时到底用了微积分还是欧氏几何法？

　　作者：abada

　　常春藤、出家人一直在争论：牛顿总结或证明开普勒定律时到底用了微积分
还是欧氏几何法？

　　其实，牛顿在书中用了他自己发明的微积分，与用了欧氏几何法，并不是排
斥的关系。在这一点上，出家人没有给予足够的注意。牛顿的确用了欧氏几何法，
但却发展了欧氏几何的极限思想，或微积分思想，而这些思想是在开普勒定律导
出牛顿引力定律或互相证明时，必不可少的。牛顿既用了欧氏几何法，同时也用
了他发明的微积分法，这些微积分法虽然在欧几里德那里已经初见端倪，但确实
是在牛顿那里得到很大的深化发展的，所以称为牛顿的发明实不为过。

　　常春藤的弱势是没有看牛顿的《自然哲学的数学原理》原著（包括汉文版）。

　　正好，我曾有博文论及这个问题（下载插图就可以看到牛顿的证明的重点）：
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　　其中讲了，牛顿的划时代著作《自然哲学的数学原理》，写作风格与欧几里
德《几何原本》一脉相承。在<序篇>里提出运动三定律后，<第一篇-第一章>直
接是欧氏几何的比例论的极限化发展，深化了微积分的思想。<第一篇-第二章>
开始的命题，则逻辑地从开普勒行星运动定律导出引力命题。

　　其证明是非常简明的，也有鲜明的欧几里德风格。作为铺垫，牛顿在叙述完
其三个运动定律后，得出推论I.这些力学定律和推论，是从开普勒定律得到引力
定律的必要逻辑准备。

　　与从开普勒定律导出或证明出引力定律的有关的关键命题，是从第一篇第二
章的命题1和命题2开始的。第一篇第二章的开头就涉及开普勒定律蕴涵引力的证
明，可谓开宗明义。

　　牛顿此处的命题只是：物体只受“向心力”的作用，和物体与“心”的连线
在相等的时间内划过相同的面积，是可以相互导出的。牛顿这里虽然并没有直接
提开普勒的名字或行星的字样，但这无疑就是把开普勒第二定律与行星只受到指
向太阳的引力作用，逻辑地联系起来了。

　　所以第一篇第二章的命题1和2，实际上就是说：开普勒第2定律成立，与行
星必且只受到指向太阳的引力的作用，互为充要条件，即从后者可以推导出前者，
从前者也可以推出后者。有了这个论断，后面就可以用开普勒的第一和第三定律，
推出引力的大小。

　　注意牛顿在证明这两个命题时，既用了欧氏几何法，同时也用了他发明（或
深化）的微积分法。不用牛顿自己发展的微积分法是不可能使命题得证的。微积
分是微分与积分的合称，在牛顿这里，微分就是把运动曲面图形划分为一个一个
的“无穷小”的三角形等直线形分别考虑，所谓积分就是把这些人为划分的小图
形再全部加起来考虑。


　　（顺便说说国内中学教育的问题。学生学了不少物理，却不知道牛顿当初、
原本是如何从开普勒三定律，想到、推导出引力定律的。---这些问题其实并没
有超出中学水平。但这些才是真正应当学习的重要问题。所以，大可不必多出、
多解那些偏题、怪题，舍本而逐末。学生自己能独立推出那些最基本、最有用、
最有影响的定理、公式，学会其中的过程和方法，比什么都强。我的建议就是：
学生要尽量少做课外习题集，甚至少做教科书上的习题，而要多多注意教科书上
的基本公式：这些公式是如何想到的、得到的？你能独立地想到、推导或证明出
来它吗？比如：你能从开普勒行星运动三定律，想到、推导出引力定律吗？如果
实在不能，就看看当初牛顿是怎么做的，看完后你有什么感想和启发呢？我建议
采取这样的教学方式。）