先介绍一下思路：首先求互感储能，然后根据“力是势能函数关于位移的负梯度”，求出电磁力。

我们的模型是普通的耦合电感，如下图。

用 L1，L2 代表驱动线圈和弹丸线圈的自感，M 是它们之间的互感。这里我们认为 L1，L2 是固定不变的。

首先推导互感储能

由常识知
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} + M \frac{ di_{2} }{dt} = u_{1} \\ M\frac{ di_{1} }{dt} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt} = u_{2} \end{eqnarray} \right.
$$
设从 t0 时刻到 t1 时刻，互感的能量变化为 ΔW，则有
$$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \big(u_{1}i_{1} + u_{2}i_{2}\big) \ dt $$ 即 $$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \left(\big(L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} + M \frac{ di_{2} }{dt} \ \big) i_{1} + \big(M\frac{ di_{1} }{dt} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt} \ \big)i_{2} \right) dt $$ 稍微整理一下得到
$$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \left( L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} i_{1} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt}i_{2} +\big( M \frac{ di_{2} }{dt} i_{1} + M\frac{ di_{1} }{dt }i_{2} \big) \right) dt
$$ 所以 $$ \Delta W= \left. \left( \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2 + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2 + Mi_{1}i_{2} \right) \right|_{ t_{0} }^{ t_{1} } $$
设互感储能为 W，且 i1 = i2 = 0 时 W = 0。 设t1时刻 i1 = i2 = 0，t0 时刻 i1 = i1(t0), i2 = i2(t0) 由上式知t0时刻互感储能满足 $$ W(t_{0}) = -\Delta W = \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2(t_{0}) + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2(t_{0}) + Mi_{1}(t_{0})i_{2}(t_{0}) $$ 把上面的时间项去掉，就是大家喜闻乐见的互感储能公式了。

$$W = \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2 + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2 + Mi_{1}i_{2}$$

其中 i1, i2 的方向是同时流入同名/异名端。各符号含义参见开头的图。

然后求电磁力

设电磁力为 F，因为“力是势能函数关于位移的负梯度”所以有 $$ F=-\frac{dW}{dx}=-\left( L_{1}i_{1}\frac{di_{1}}{dx} +L_{2}i_{2}\frac{di_{2}}{dx} +Mi_{1}\frac{di_{2}}{dx} +Mi_{2}\frac{di_{1}}{dx} +i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} \right) $$ 下面我们来把F的表达式变成一个更方便的形式。
由常识知 $$
\left\{
\begin{eqnarray}
L_{1}i_{1} + Mi_{2} = \varphi_{1} \\ Mi_{1} + L_{2}i_{2} = \varphi_{2} \end{eqnarray} \right.
$$
把它们两边对 x 求导得 $$
\left\{
\begin{eqnarray}
L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx}= \frac{d\varphi_{1}}{dx} \\ M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} = \frac{d\varphi_{2}}{dx} \end{eqnarray} \right.
$$
因为电感会试图使通过它的磁通量保持不变所以有\(\frac{d\varphi_{1}}{dx}=\frac{d\varphi_{2}}{dx}=0\)
所以 $$
\left\{
\begin{eqnarray}
L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx}= 0 \\ M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} = 0 \end{eqnarray} \right.
$$
把 F 的表达式整理一下得到 $$ F=-\left( ( L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx} ) i_{1}+ ( M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} ) i_{2}- i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} \right) $$ 所以线圈炮的电磁力满足

$$F=i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} $$

其中 i1, i2 的方向是同时流入同名/异名端。各符号含义参见开头的图。

本文的结论不适用于磁阻式，因为把磁阻式抽象成一个耦合电感是费力不讨好的。
另外有一点要注意，我们在开头引了一个条件“ L1，L2 是固定不变的”。所以这个结论也不完全适用于感应式，因为 L1，L2 是定值，要求电流的分布不发生变化。而对于普通的感应式（不使用线圈做弹丸），弹丸中的电流分布会随时间和弹丸位置的变化而变化。
另外自感是定值还要求驱动线圈和弹丸线圈都不会变形……

自感不变倒是比较适用于用线圈作为电枢的线圈炮，比如说发射线圈的感应式，或者分立驱动的有刷线圈炮。可惜这几样东西至今没见到有爱好者搞过……貌似本文的目标人群有点尴尬了……