相对论通俗演义

张轩中

第一章 早期的英雄时代
（1）
历史是淹没在荒烟蔓草间的，当后人回头看历史的时候，尤其能看到一些神话和英
雄史诗，虽然模糊不清，但让你感觉到心潮澎湃。相对论一直是地球上最美丽的学问。这
一门学问是爱因斯坦创立的。它最根本的看法，是研究我们的宇宙，因为宇宙只有一个，
而我们身处其中，于是，很多人难免担心，我们做为宇宙的一部分，能不能认识宇宙。正
如你的一个手掌，能不能认识你这个人。这个问题是玄妙的，中国古代的庄子等人也思考
过这样的问题，他们有一个很模糊不清的认识，原因是因为他们没有具备一些数学描述。

庄子说，玄之又玄，众妙之门。

宇宙洪荒，是很玄很妙。问题的关键在于如何认识它，很多人的思想在这里汇集。
尤其是苏东破的一句诗，被认为可以体现一种思想情操。
他说：不识庐山真面目，只缘身在此山中。
苏先生是一个很大的才子，他的这个诗本身是具有哲理性的。当我们把他运用到这
个宇宙的时候，我们就会反躬自问：是否，我们处在宇宙之中，所以，我们无法认识宇宙
的真面目。这个问题本身没有唯一的答案，从爱因斯坦说法上，我们可以看到一个自然科
学家的态度。
爱因斯坦说：宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。

可知论和不可知这两种论调是人类个体分野的分水岭。但这样分界是不明显的，很
多人从来没有问过自己这个问题。很多时候，这样的分类也是缺乏意义的。但，一个事实
永远存在，就是一定有很多人，对未知事物充满好奇之心。

（2）
我们仰望星空，俯仰天地。态度决定一切。在认识宇宙，或者说，认识未知世界的
道路上，尸横遍地。数学家们，相对于其他的一批人，以其特有的执著和特立独行，来给
这个宇宙造一个描述的工具。并且，这个工具是最基本的。数学比绘画和音乐要更加基本
。当我得到这个论调的时候，我可以负责任。绘画和音乐，描述世界，但依赖于眼睛和耳
朵。而数学，有一个最基本的依赖，它依赖于大脑。有理由相信的一点，是我们地球文明
之外的文明，可以没有眼睛，没有耳朵，但他们不能没有大脑。
毕达哥拉斯是一个杰出的古代数学家，他认为，世界的本质是数。
他的说法听起来好象是有点夸张了，但初衷是善良的，不是说他要故意压迫那些非
数学家。2，3，5，7……这些的数字，我们称为素数，它们是基本的。人类要向外太空发
射信息，寻找其他的文明，一个方法就是朝天空发射“素数”。因为，宇宙的各个角落，
要是也有文明的外星人，他们收到这样的信号，会欢欣鼓舞，因为这无疑给他们一个预示
。
预示在这个苍凉的宇宙，他们并不孤独。

数是基本的，但广义相对论却更多地和几何学发生了关系，这一点在后面的篇幅中
再逐渐展开。当然，有一位得fields奖的同志曾经说过：“我的切身体会是，几何学家是
好人。”我们抛去里面的温情脉脉的情感因素，会觉得很残酷，但修正他的话，我们会发
现是这样：“我的切身体会是，数学家是好人。”
是的，数学是仰望宇宙的透镜。
在古代的数学家中，有一个人，他让我们知道，寄生在这世上是那么好，这个人的
名字是欧几里得。

（3）
欧几里得写的一本众所周知的书，叫《几何原理》。这至少是2000年前的事情了。
但中国人看到这书的时候，是在徐光启或者李善兰时代。也就是说，中间有至少1200年的
时间差距。我不想查书用来精确表示这些年代差异，是因为我不是搞历史的，也不想过于
在一些琐碎的事情上精密无比。
《几何原理》里有五条公理。虽然一般人说不全，但第五条说所有平行直线永不相
交。这一条大家全知道，被叫做第五公设。也就是说，有的人认为，这一条，不能做为一
个公理，因为它可能可以被其他公理推出来。
为了给外行的人说清楚一些，我们说，《几何原理》是一个大厦，它有五个地基的
巨石。但第五块石头，有的人认为，有问题。

爱因斯坦的相对论，与这个问题休戚相关。当然，我不预备在这里做任何数学的证
明，通俗的说，我们引用爱丁顿的话：证明是一个偶像，数学家在这个偶像面前折磨自己
。
第五公设折磨了一代又一代的人。现在看来，这个折磨已经结束，但其意义非常深
刻。欧几里德的几何学，现在看来，就是关于平坦空间的几何学。而真正广泛的几何学，
它不但但要处理平坦空间里的情景。Riemann是研究弯曲空间几何学的大师。他很优秀，1
854年，他为了在哥廷根大学获得一个讲师的职位，发表了一个关于几何学的演讲，这是开
天辟地的一个壮举。下面的听众很多，但据说，频频点头表示赞同人只有一个人，这个老
头，名字叫Gauss。
这个故事发生在Riemann为了得到讲师职位的时候，各位一定很奇怪，为什么一个讲
师讲的东西在那大学里别的教授全听不懂。这样的现状是存在的，并且是不能避免的，在
一所很好的大学，无论是古代还是近代，你都可能有这样的感受：
博导不如教授，教授不如副教授，副教授不如讲师。
这是正常的好大学必须的。当然为了不引起大家的不满，对于上面的评论，我必须
指出，研究生不如讲师。因此，我们知道，在当时，Riemann讲师是最伟大的。
Riemann几何的出现，给爱因斯坦的理论，提供了一个先天的数学工具。历史表面，
数学物理在这个时候，达到了一个全新的高度。

（4）
今月也曾照古人。这是李白说的。看到月亮，很多人有一些基本的问题，比如说，
1640年左右，也就是中国的吴山桂进入历史的时代。英国的cambridge大学有一个叫牛顿的
人，他解决了一个问题，按照现代语言来说，是牛顿发现了万有引力定律，从而解释了为
什么月球在天空绕地球天马行空地周期转动。牛顿发现万有引力定理以后，我们才真正看
到了物理。而相对论，就是研究万有引力的。

牛顿是怀着格物知理理想的数学物理大家。一般的评价说牛顿和爱因斯坦是人类历
史上科学巨匠。但牛顿本身，相比爱因斯坦，具有一种由内而外的霸王气概。他的工作显
然是划时代的，其情操，也是划时代的。在历史上，他与莱布尼姿和胡克等人有过交恶。
同时代的伟人在他面前，全失去了颜色。我们只能由衷得叹上一句：到底是牛顿。

在人品上，牛顿不算是一个谦恭之人。一个人持才傲物，藐视同伦，普通人是做不
到了。牛顿的万有引力定律，但这一项，就足够他鹤立鸡群了。何况牛顿有那么多大的发
现。盖棺论定得说，牛顿其人，500年不朽，牛顿其文，1000年不朽。1000年以后，世界末
日，什么都朽了。我在这里歌颂牛顿，是为了更好地歌颂爱因斯坦。

（5）

物理学也有最初的童稚时代，比牛顿要早，是哥白尼的出现，后者写了一本书，书
名叫《天体运行论》，出版是1543年附近。这本书主要说了一个事情，就是地球是绕着太
阳转动的。这个是天文学和物理学上的第一个有实际意义的进展，早于康德-拉普拉斯的星
云说时代。拉普拉斯是19世纪的法国人，在拿破仑的宫廷干过事情。拿破仑是一个数学爱
好者，他曾经有一个拿破仑定理，是很有点意思的。定理的意思是说，任何一个三角形，
各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边
三角形。当然拉普拉斯的数学才能，远过于拿破仑。拉普拉斯有一个微分算子，这个微分
算子的背后是一片汪洋大海，这个微分算子可以被开方，得到dirac算子，dirac算子背后
是一片原始森林。算子和谱的理论，极大地推动了数学的发展。也是从算子的谱开始，我
们从连续的数学分析走向离散的特征值问题的研究。而离散的性质，恰恰是量子力学的精
髓之一。

回头来看哥白尼的工作。他的工作说明，人类第一个较明智的科学看法，不是研究
宇宙如何起源，演化，而在于研究太阳和地球的关系。这是一个很务实的进步。就是在现
代，虽然有精确宇宙学这样的学问，研究宇宙如何膨胀，如何加速膨胀，但前路漫漫，让
不做理论物理的人怀疑，是否目标过于庞大，你们居然研究整个宇宙，把星系当做尘埃？

相对论学者存在一个情节，那算是一个单纯信仰，他们认为，世界可以被还原为一
个单一的原理。而凝聚态物理和统计说明，在不同的尺度，我们有不同的物理。比如人类
的存在，人类的情感和思维，不是物理学的单一原理可以解释的。统计性和自组织性的出
现，使得在相对论学家的眼睛里，这个世界变的高深莫测了。
无论如何，相对论还是一如既往地奢侈和不切实际，因为，它是预备去理解宇宙。

（6）
20世纪之前的所有年代，相对论还没有诞生，我统称它们为“英雄时代”。在这个
漫长的时代里，有无数的数学物理两门学科里的英雄人物，这批人中的杰出代表是牛顿。
这个时代是一个古典为主的时代。而广义相对论的出现，是这个古典时代的结束。很多人
把广义相对论称为“经典的极致”。在字典里，“经典”应该有两个意思，一个是古代的
，古典的；另外一个就是优美的，美到可以写进历史之书。这样的美是很少见的，往往在
平面几何里你偶然能感受到这样的震撼心灵的美。
在极早期，托勒密认为太阳绕地球转动。他认为太阳绕地球转动，现在看来，也算
是没有错误。为什么？因为，机械运动是相对的。谁动谁不动，在牛顿的眼睛里是“相对
的”。所以说，按照牛顿的看法，描述地日运动，托勒密的思想是没有问题的，虽然它可
能导致一系列不优美的结论，比如导致木星也绕地球转动，那么我们这个太阳系看上去还
真是乱糟糟的，一点也不优美了。但托勒密关于圆的内接四边形的一个定理，被认为是天
籁之声。这个定理是美的。这样的美的发现，与同时代的屈原对香草美人的发现来比较，
我们看到一点逻辑的辉芒。

dirac和爱因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相对论，恰恰给我们展
现了一个逻辑上的美感。
这个美，引得无数英雄竞折腰。
但在这些折腰的人中，不乏凡人。民间科学家在爱因斯坦的理论上也倾注大量心血
。在第一章结束的时候，让人不由得产生一种谨慎地崇敬。是的，我们全是一群在朝圣路
上踽踽独行之人。
壮美矣！爱因斯坦！！

第二章 一个美丽的椭圆

（1）

1543年，哥白尼关于日心说的工作之后，丹麦的天文学家第谷不太同意哥白尼的观
点。他出生贵族，是一个有钱来做天文观测的人士。他开始夜观天象，并且整理了一套杂
乱无章的数据。这套数据，最后保留着给了他的助手，一个叫开普勒的人。开普勒一生生
活是相当潦倒的，最后还死在讨债途中。他在出版书的时候，据说，第谷的女婿还给他写
了一个序文，这个序文有一个特点，是通篇大骂开普勒剽窃第谷的成就。这样子的书是很
奇异的。
但开普勒给出了3个行星运动定理。第一个定理是很重要的，认为行星运动的轨道是
一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点之上。他实际上没有想到，未来会表明，一个封闭的
椭圆是一件过于唯美之事，因为根据爱因斯坦的相对论，轨道会有进动，我们不能得到一
个封闭的椭圆。第二个定理异常强大，他几乎用肉眼看出角动量守恒定理，说的是行星矢
径在单位面积扫过的面积相同。第三个定理，似乎绝对是上帝的旨意，要从一个数的三次
方和另外一个数的平方中看到不变量，靠凡人的眼睛，往往不够，说的是行星运动周期的
平方和轨道半径的立方成正比。
这三个定理，迫使牛顿得到万有引力定律。它来自于开普勒对数据的千万次摸排。
开普勒的视力不是很好，但他的确具备从复杂数据中提炼出物理规律的神奇能力。这往往
是一种从天上看到人间的天赋异禀。

他的第一个定理里，开始出现一个完美的椭圆。

(2)
一般说来，一个椭圆是对称的，这样的对称性背后，包含着守恒的物理量。由对称
性导致守恒量，是noether的思想，CN.yang认为，这个原理是最基本的，于是，国内讲力
学的书开始了一次改革，改革的结果是从对称性开始讲力学。无论怎么样，对称性是美的
化身。描述对称性最好的语言是群论。对称性和受恒量有一一对应的关系，这一点，是深
刻的。比如，众所周知的结论是，空间是均匀的，所以动量守恒。

什么是椭圆？在数学上，椭圆的定义是在平面上到两个定点之间的距离之和等于定
长的点所组成的集合。这个是很清楚的，一般高中生就要学会怎么样画一个椭圆。这是解
析几何里的事情。在Fermat和笛卡儿的解析几何里，我们换了一个看法，那就是把一个曲
线与一个代数方程等同起来。一个很直观的推广是是我们能不能把一个n维流形嵌入到高维
欧空间，然后再把这个流形表达成为一个或者一组代数方程。这样事情nash是做过了。
解析几何带来的一个全新的数学时代。只有当椭圆被放在坐标系里的时候，我们才
可以遇见另外的问题，那就是如何计算椭圆的周长。这个时候，我们遇见的完美的椭圆突
然让我们崩溃。因为，圆的周长是很简单的，上过学的人全会算，而椭圆周长，上过学的
一般不会算。

（3）
计算椭圆周长的问题也难住了牛顿。虽然用牛顿的万有引力定律，可以得到椭圆轨
道。但仔细地研究这个椭圆的来历，有一些需要推敲的地方。在经典的力学里，bertrand
定理说，只有当中心势是库仑势或者谐振子势的时候，轨道才是封闭的。这个定理是重要
的，因为它否认了其他势场里存在封闭轨道的可能性，哪怕是对库仑势的微笑偏离。所以
，当爱因斯坦的广义相对论对万有引力的库仑势做修正的时候，在理论上，这个完美的椭
圆崩溃了。
广义相对论把这场崩溃当作一个契机。
离太阳最近的行星是水星，那儿的万有引力场强最大，于是人们试图观测水星近日
点是否进动，也就是说，人们开始关心水星的公转轨道是不是一个封闭的椭圆。因为假如
不是椭圆，我们就知道，水星与太阳之间的万有引力势场不是严格的库仑势。1919年的时
候，爱丁顿利用日全食的机会，他领导下的实验证明了水星近日点进动的规律符合广义相
对论的预言，这个实验是著名的，因为他极大地支持了爱因斯坦的理论。读到这里，读者
应该明白，相对论虽然比较难以理解，但在这个椭圆封闭性问题上，结论是很清楚了。原
来，牛顿的万有引力定律，那样美的一个定律，也是不对的。

当爱丁顿做出这个实验的时候，他的心情很可能比爱因斯坦更加激动。有一个说法
是他认为自己和爱因斯坦是当时唯一懂得广义相对论的两个人。而当记者问爱因斯坦说，
当您的理论被实验证明是正确的时候，您怎么想？爱因斯坦的回答很有意思：没有什么好
奇怪的，我不相信会出现别的结果。

（4）
虽然1919年，牛顿理论已经被证明应该被爱因斯坦的广义相对论所取代，但牛顿依
然是绕不过去的存在。拿牛顿万有引力定律和库仑定律来比，虽然有点抬举库仑，但马上
会发现牛顿的意义有很多。牛顿的万有引力定律，实际上告诉我们，质量总是正的，也就
是总是相互吸引。那么，我们如何来解释目前观测到的宇宙，它居然在膨胀，并且还是加
速膨胀。对于宇宙的加速膨胀，这里只是暂时提起。但这个问题，构成了21世纪物理学的
最大一个乌云。质量总是正的，可能让人想起著名的正质量猜想。有的人会想起1980年代
witten和ST.yau对该猜想的的证明。
当然，如何定理质量，在广义相对论中，也是一个具有不止一个标准答案的问题。
在这里，我们几乎可以挥别牛顿了。
有一个叫伏尔泰的法国人，曾经研究了一下牛顿，现在关于牛顿和苹果落地的这些
故事，多数也是出自他的手笔。伏尔泰是一个能力很强的文科圣手。

1727年牛顿逝世，伏尔泰参加了葬礼。牛顿84岁离开人世，为他抬棺材的是两位公
爵、三位伯爵以及大法官。伏尔泰是这样描述的："他是像一位深受臣民爱戴的国王一样被
安葬的。在他之前，没有哪一位科学家享受如此殊荣。在他之后，如此厚葬的也将是屈指
可数。"牛顿去世后不久，诗人薄柏总结了世人对牛顿的评价，说：自然规则在黑暗里，上
帝说，让牛顿干吧！于是一切大放光明。

牛顿不是完人，他在数学上也遇见一些困难。比如他不能求出全部自然数倒数平方
之和，也不能积出椭圆的周长。历史朝后面发展，我们发现，椭圆周长只能用非初等的椭
圆函数表达出来。而另人惊奇的是，挪威数学家abel证明了五次方程没有代数解答，但有
些五次方程的解，可以通过椭圆函数来表出。这说明了数学的各个侧面具有统一性的一面
。而相对论在经历了1970年代之后的多年的沉寂以后，面临着一个引力量子化的命运。在
量子引力的理论中，椭圆函数等等，全面都浮现出来。所以，这个完美的椭圆，告诉我们
不少秘密，盯着一个椭圆看很久，里面全部是秘密。这符合一个佛教的思想：一花一世界
，一沙一天堂。