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DIY一台玩具级的微波雷达

ddomax2017/04/03无线电 IP:江苏

雷达原理

什么是雷达？

引自维基百科：

Radar is an object-detection system that uses radio waves to determine the range, angle, or velocity of objects.

如今雷达的含义包括但不限于上述定义。雷达发明之初仅采用无线电波作为探测媒介（物质），因而得名 RAdio Detection And Ranging（无线电探测和测距）。但现在它的定义已经扩展到了包括：利用可见光、声波等其它物质探测物体的分布信息的设备。区别于图像传感器等设备，雷达的主要特性是能够直接对物体进行距离、速度和角度等空间分布参数的测定。

怎样搭建一台最简单的雷达？

首先我们要选取一个合适的雷达类型。我给出一个实例：

实现测距、测角功能
利用微波作为工作媒介
在我们能力允许范围内，尽可能提高探测灵敏度

这显然是个很不友好的需求简报。为什么没有给出定量的设计参数？为此，我希望先为这次DIY行动指定一些环境变量。

~~完全依赖于家庭环境下的设计、制作、调试~~(删除)
物料成本和调试成本都必须能被工薪阶层接受
不能违反相关法律法规
仅为学习、娱乐之用，制作周期限于一个月内

第一条所要求的家庭环境，已经使得大部分的理论计算失去了意义。具体地，没有射频仪器，射频部分的电路完全只能忙调。如果对于制作结果缺乏有效的反馈环节，理论分析的正确性何从考证？其次，使用雷达方程，首先需要对雷达目标的属性有精确的描述。但这个案例中，被探测的目标是不明确的。例如，“探测庭院里的1:16的F35模型”和“用作无线电高度计”时面对的目标RCS值有云泥之别。我想大部分爱好者仅仅希望得到“观测结果”，获得参与感和成就感，而不是有具体的应用需求。因而，对于设计参数，我以制作成本和难度为导向，执行自底向上设计。

测距的实现

飞行时间测距原理

考虑一种最直观的测距方法：发射一束电磁波，经过目标反射后接受回波。再测量出收发信号的时间差$\Delta t$，即飞行时间（TOF，Time of flight）。根据电磁波传播的速度c，得到电磁波在发射源与目标之间双程传播的距离。除以二即得到雷达与目标之间的距离***R***。

$$ \Delta t=R*2/c \ \ \ (1) $$

引入脉冲压缩技术

目前为止，这样的工作方式看起来简单易行。观察两个点目标反射回波的波形图：

看起来只需要在脉冲边沿进行测量就可以得到飞行时间。如果缩小两个点目标之间的距离，再看看图像：

很不幸，两个脉冲在时间上发生了混叠，部分能量交织在一起。通过这样直观的分析，可以认识到压缩前雷达的原始距离分辨率$\rho_{r}'$由发射脉冲的宽度$T_{r}$决定。

$$ \rho_{r}'=T_{r}/2*c \ \ \ (2) $$

因此，发射足够短的脉冲就能实现高分辨率？没错，但越短的发射脉冲意味着越小的平均发射功率。

$$ P_{avg}=P_{peak}*T_{r}*f_{PRF} \ \ \ (3) $$

而平均发射功率影响了雷达探测的“质量”，即有用的回波信号和无用的干扰噪声之间的比例——信噪比（SNR，Signal Noise Ratio）

$$ SNR_{receiver}=\frac{P_{avg}G^{2}\sigma\lambda^{2}}{(4\pi)^{3}R^{4}F_{N}kTBL}\ \ \ (4) $$

由(4)式可知，回波信号的信噪比与发射平均功率成正比。由(3)式可知，峰值发射功率$P_{peak}$、发射脉冲宽度$T_{r}$和脉冲重复频率$f_{PRF}$又共同决定了平均发射功率。

我们当然希望获得更好的探测质量。然而，在业余条件下，我们又不能大幅度地提高发射峰值功率（不仅仅出于成本上的考虑，同时也为了符合法律要求）。

于是，提高平均发射功率的重任就落在提高发射脉冲的占空比DR（Duty Ratio）上。

$$ DR_{transmit}=T_{r}*f_{PRF} \ \ \ (5) $$

仅仅在精确的静止测距应用下，DR=100%的条件才是可以适用的。即发送连续的恒定功率信号。可惜这样的连续波雷达并不适用于动目标检测和雷达成像等应用。做出一台只能当测距仪来用的雷达显然是我们不愿意看到的。一般地，考虑到成像带内相邻脉冲之间的能量模糊，过高的PRF是没有意义的。但是，一定程度内提高单个脉冲的持续时间不失为良策。

脉冲压缩的实现——匹配滤波

总之，我们需要兼顾分辨率和信噪比。

常用的方法是对脉冲信号进行压缩。即发射长时脉冲，接收后再将其转化为窄脉冲。这样做有个前提——发射的长时脉冲和等效的窄脉冲之间必须有相当的带宽。这样一来，发射脉冲的形式很容易得到——包络为宽矩形脉冲的线性扫频信号。就如下图所示：

要实现对上图脉冲的压缩，需要借助匹配滤波技术。为了实现更清晰的推导，首先给出发射线性调频信号的表达式：

$$ S(t)=rect(\frac{t}{T_{r}})\cos(\phi (t))=rect(\frac{t}{T_{r}})\cos(\pi kt^{2}) \ \ \ (6) $$

直接在时域进行分析：

对时间的二次相位进行微分，可以得到时频关系

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi }\cdot\frac{d\phi (t)}{dt}=kt \ \ \ (7) $$

回波信号经IQ解调之后的复信号形式为：

$$ S_{r}(t)=rect(\frac{t-\Delta t}{T_{r}})\exp(j\phi (t-\Delta t)^{2}) \ \ \ (8) $$

运用Fourier变换，将其变换到频域（利用POSP获得的近似解析解）：

$$ G_{r}(f)=rect(\frac{f}{|K|T})\exp(-j\pi \frac{f^{2}}{K})\exp(-j2\pi f \Delta t) \ \ \ (9) $$

绘制出图像：

幅度谱

实部

图形上看，幅度谱近似于矩形函数，而实部则表现出与时域下类似的线性调频性质（为了和幅度谱坐标尺度保持一致，图形没有充分展开。实际上和时域的图形是类似的）。

借助一个数学关系：

一个域中的矩形函数经Fourier变换得到另一个域中的sinc型尖峰函数

考虑回波信号在频域幅度谱上是矩形函数，似乎只需要借助Fourier变换对即可实现脉冲压缩。可惜，这个变换显然仅在相位项也为线性的时候才成立。因此，在执行Fourier变换之前，首先需要消除信号中的二次相位。一个最直观的实现方法：

在频域将回波信号与其复共轭信号相乘

观察式(9)，不难发现待消除的二次相位与目标位置$\Delta t$无关。换句话说，仅与发射信号的形式有关。故复共轭信号可以直接根据发射信号的表达式在频域生成：

$$ H(f)=rect(\frac{f}{|K|T})\exp(+j\pi \frac{f^{2}}{K}) \ \ \ (10) $$

将共轭信号（即为匹配滤波器的频域函数）与回波信号相乘：

$$ S_{out}(f)=G_{r}(f)H(f) \ \ \ (11) $$

根据复数的运算法则，可以得到匹配滤波器的输出：

$$ S_{out}(f)=rect(\frac{f}{|K|T})\exp(-j2\pi f\Delta t) \ \ \ (12) $$

式(12)中，二次相位项已经被消除，仅留下携带目标位置信息的线性相位项。对其进行Fourier逆变换，得到压缩后的脉冲信号：

$$ S_{out}(t)=|K|Tsinc(KT(t-\Delta t)) \ \ \ (13) $$

绘制出压缩后的脉冲图像：

一柱擎天的效果立竿见影。

对匹配滤波的另一种理解

原理上似乎说得通了，可是这个过程为什么叫“匹配滤波”？

利用一个性质（在频域和时域中）：

一个域中的乘法运算，等效于另一个域中的卷积运算

这样一来，上面提到的在频域进行的匹配滤波似乎有些繁琐。

回顾一下脉冲压缩的整个过程，总共经历了三个步骤：

利用Fourier变换将回波信号变换到频域
将回波信号与其 发射信号的复共轭信号 在频域相乘
利用Fourier逆变换将结果变换回时域

利用这一性质，这三个步骤可以合并为一个步骤：

将回波信号与其 发射信号的时间反褶后的复共轭信号 在时域卷积

写出表达式：

$$ S_{out}(t)=S_{r}(t)\bigotimes h(t) \ \ \ (14) $$

其中h(t)即是 发射信号的时间反褶后的复共轭信号，也就是匹配滤波器函数的时域形式。写成表达式即为：

$$ h(t)=S^{*}(-t) \ \ \ (15) $$

但这似乎一点也不直观。稍做变换，将卷积运算写成互相关运算的形式，物理意义就明朗了很多：

$$ S_{out}(t)=R(S_{r}(t),g(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}S_{r}(u)S^{*}(u-t)dt \ \ \ (16) $$

互相关运算描述的两个信号在不同位置上的匹配程度。将发射信号与回波信号进行互相关运算，可以想象为这样一个积分过程：

将发射信号延迟一段时间
将延迟后的信号与回波信号进行匹配（积分）。如果匹配则输出一个尖峰（积分结果）
改变延迟值，重复上述过程

当发射信号延迟到与回波信号重合的时刻时，匹配程度最高。因此，在存在回波信号的时刻，匹配滤波器就输出一个尖峰，即达到了脉冲压缩的目的。

其它测距方法——模拟去斜

上述匹配滤波算法均是在数字域完成的，下面分析一种在轻小型SAR雷达中常用的信号去斜手段：这是nanoSAR接收端去斜的框图：去斜结构如图中Dechirping框中所示。由混频器将回波信号和发射信号延迟后的信号混频，再经过BPF提取出带内信号，采样后进行FFT获得压缩后的输出。对于相乘再滤波的过程，可以等效描述为将回波信号和发射信号的复共轭信号进行复乘： $$ \eqalign{ & S_{q}(t)=S_{r}(t){S_{t}^*}(t) = \exp(\rm j \pi {K_{\rm{r}}}2t({t_0} - {t_1})) }\exp(\theta ) \ \ \ (17)$$ 其中$\theta $为常数相位项。这是一个单频正弦信号，其频率与目标位置和参考目标位置之间的距离成正比。对其进行Fourier变换可以得到类似式(13)的sinc型函数。