先前一篇文章利用的椭圆拟合去识别棒星系（barred galaxies）并测量相关参数，而对棒星系的识别还可以使用另一种方法，对图像进行傅里叶分解的方法（e.g. Athanassoula & Misiriotis 2002），这篇文章将介绍利用傅里叶分解来完成对棒星系的识别并定义测量星系中棒的相关参数。

我们知道傅里叶变换有

$\mathrm{A_{m}(r)=\frac {1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}\sum_{(r, \theta)}cos(m\theta)d \theta},\ m=0,1,2,...$

$\mathrm{B_{m}(r)=\frac {1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}\sum_{(r, \theta)}sin(m\theta)d \theta},\ m=0,1,2,...$

其中 $\sum_{(r, \theta)}$ 为半径r处的圆环上的数值。

随后计算第m次傅里叶展开的系数与第0次系数的比值：

$\mathrm{A_m(R)=\sqrt{A_m^2+B_m^2}/A_0}$  （注：此处的 $\mathrm{A_m(R)}$ 与前面提到的$\mathrm{A_m(r)}$ 不同。 ）

由于为了达到观测的效果，首先将TNG模拟中（对该模拟在先前一篇文章有做简要介绍）的星系数据做了处理，由于选择的星系恒星质量大于$10^{10} M_\odot$（即在模拟中该星系恒星粒子数量有大于$10^5$个），首先对星系所有恒星粒子在模拟盒子中的坐标进行转换，转到该星系face-on的角度，并将坐标零点设置在该星系中心；然后对所有恒星粒子进行分箱操作，在x与y范围为$\pm 17.5 kpc$内，分成100×100个pixels，即每个pixel对应实际空间大小为0.35×0.35 $kpc^2$，每个pixel的值由该pixel内存在的恒星粒子总质量决定（当然为了视觉效果进行了log-scale处理）。

由于进行了分箱操作，傅里叶变换由积分转变成离散的求和，所以我们需要求的$\mathrm{A_m(R)}$计算公式为：

$\mathrm{A_m(R)}=\frac{|\sum_{j}m_{j}e^{mi\ \theta_j}|}{\sum_{j}m_j}$

其中这里的$m_j$即为100×100个像素中任以一个像素的值的大小，$\theta_j$为该像素与原点连线后与x轴正方向的夹角，由于$\mathrm{A_m(R)}$是关于R的函数，我们需要对于R处的一个圆环进行傅里叶分解，所以选择R处dR为2个像素大小的圆环进行计算。

然后我们可以计算R处的相位$\mathrm{\Phi(R)}$：

$\mathrm{\Phi(R)=\frac{1}{m}arctan[\frac{\sum_{j}m_{j}sin(m\theta_j)}{\sum_{j}m_{j}cos(m\theta_j)}]}$

由于需要识别的星系的棒结构在图像中为一个条状物体，所以主要关注m=2的系数，Rosas-Guevara et al. (2020) 给出了用傅里叶分解判定星系棒的一些标准：

1. 强棒星系：$\mathrm{A_{2,max}}\ge 0.3$的盘星系，

2. 弱棒星系：$0.2\le\mathrm{A_{2,max}}< 0.3$的盘星系，

3. 非棒星系：不满足上述条件的剩下的所有盘星系。

这里所说的$\mathrm{A_{2,max}}$为对所有半径圆环进行傅里叶分解后的其中的最大值，被定义为棒的强度，达到最大值所对应的半径被定义为棒长。此外如果被识别成棒还隐含一个条件，那就是在棒内的相位$\mathrm{\Phi(R)}$=constant。

下图即为对一个星系自红移1以来所取的四个片刻的图像进行傅里叶分解后m=2的系数相对m=0的大小随半径R的变化，其中$A_{2,tot}$表示为半径R的圆内所有图像进行傅里叶分解m=2的系数的相对大小（红线），而$A_2$表示对半径R处的圆环进行傅里叶分解m=2的系数的相对大小（绿线）。可以看到该棒星系在四个时刻$A_{2,max}$均大于0.2，并且在演化过程中由0.26增长至现在的0.39。并且可以看到在棒所处的长度内$\Phi$的大小基本不变。

下面几张图呈现了其它星系的$A_{2}$的变化，可以看出来傅里叶分解的判别是否是棒星系还是十分有效的，但是对于正在并合的星系而言会产生误判，比如对于下面图中的id为108022的星系，在z=1时，该星系从图像中看正在进行星系的并合，这样的并合过程进行傅里叶分解得到的$A_{2,max}$为0.29，误判为棒星系了。分别对下面三个星系进行解释，第一个星系由于并合作用对星系的动力学性质产生影响，使得该星系在长时间的孤立演化中很难再形成一个棒状结构；第二个星系在z=0.5时有一个强棒，但z=0.5时该星系质量较小，意味着该星系将在z=0-0.5之间会经历更多的并合事件，来产生足够的质量增长，导致该星系的棒状物遭受破坏；第三个星系的棒在星系的孤立演化中逐渐增强。

此外下面几张图将给出m=0,1,2,3,4,5时 的$A_m$的变化，可以看到对于棒星系只有m等于偶数时$A_m$的值会较大，m=2时的值最高。忽略这里的m=0时的值，因为这里的$A_m$是第m次项的系数比上第0次项的系数，所以这里m=0时，$A_m$就全为1。

下图给出对一个棒星系的图像（与观测的图像还是有一定差异的，但仍可以扩展到实际观测图像中），可以看的m=2时的项最大，其次是m=4的项。再用下图解释这里的傅里叶分解，如果简单的将图像中颜色越深的地方比喻成山峰，m=1就表示在R处的圆环转一圈会经历一个高峰，而m=2就表示在R处的圆环转一圈会经历两个高峰。而m=0就表示在R处的圆环转一圈不会经历高峰，就是说m等于0的成分是圆对称的，就是任意度角的旋转对称。m=1为360度的旋转对称，m=2为180度的旋转对称...

上述就是关于棒星系识别与棒参数定义的内容，下一篇文章将介绍关于棒星系判别的第三个方法。