自制LORA平板定向天线

m24h

6个月5天前修改于 5个月29天前 IP:上海

操作

发表于《自制LORA平板定向天线》

首先这是一个偶振子天线与微带结构的结合

光从微带结构说应该称为"倒置微带线" 网上有计算特征阻抗和等效介电常数的工具在设计天线长度时候应该相当有用

(发这个图片的时候才发现CTRL-V就能直接上图 ... 太吓人了幸好我没有CTRTL-C什么不合适的图)

因为好奇我看了javascript里面的算法追查了用的公式的来源应该来自一本国外的书书名"Microstrip Lines and Slotlines : Third Edition, Section 2.5.1, P110"

有出处就好 mathworks也采用了他的算法应该可信不过由于蛇形走位而且有较多辐射预期需要的天线长度应该还要更小

天线部分网上的推导多采用微带线加耗损的模型将总辐射功率根据天线微元上的电流分布进行分配然后计算出输入阻抗

其中l是天线长度

k 是相位系数从模型上认为是2π/λ

βa=R1/2Wa 是等效衰减系数, 其中R1=$ \frac {2 RΣ} {l(1-\frac{sin2kl}{2kl})} $ 是单位长度耗损电阻(辐射导致)

而其中RΣ就非常复杂了根据远区坡印廷矢量积分算出辐射功率再推算出的辐射电阻但此处有个问题对比开放的偶振子天线我这里是应该只有半边辐射的 RΣ就只有一半 (但是这个结论是粗糙存疑的不知道是否有人指点一下)

Wa 是理想无耗损传输线的阻抗这里带入网上工具算出来的大概250Ω

根据上面模型写个程序可以得到天线输入阻抗与天线长度的关系图

import scipy.integrate
import numpy
from matplotlib import pyplot

wa=250
ratio_from=0
ratio_to=0.5

ratio=numpy.linspace(ratio_from+0.001, ratio_to-0.001, 1001)
k_l=ratio*2*numpy.pi
r_sigma=numpy.array([30*scipy.integrate.quad(
		lambda theta, kl: ((numpy.cos(kl*numpy.cos(theta))-numpy.cos(kl))**2)/numpy.sin(theta), 
		0, numpy.pi,
		args=(t,)
	)[0] for t in k_l])
r1_l=r_sigma*2/(1-numpy.sin(2*k_l)/(2*k_l))
beta_a_l=r1_l/2/wa
t=wa/(numpy.cosh(2*beta_a_l)-numpy.cos(2*k_l))
ra=(numpy.sinh(2*beta_a_l)-beta_a_l/k_l*numpy.sin(2*k_l))*t
xa=-(numpy.sin(2*k_l)+beta_a_l/k_l*numpy.sinh(2*beta_a_l))*t
amp=numpy.sqrt(ra*ra+xa*xa)
ang=numpy.arctan2(xa, ra)*180/numpy.pi

print('At {}λ, RΣ={}, impedance={} + {}j'.format(
	0.25, 
	numpy.interp(0.25, ratio, r_sigma),
	numpy.interp(0.25, ratio, ra),	
	numpy.interp(0.25, ratio, xa)))

fig, ax1=pyplot.subplots()
fig.subplots_adjust(right=0.85)
ax1.set_title('Input impedance of antenna')
ax1.set_xlabel('l/λ')
ax1.set_ylabel('Impedance (Ω)', color='blue')
ax1.set_ylim(0, 500)
ax1.set_xlim(ratio_from, ratio_to)
ax1.set_xticks(numpy.linspace(ratio_from, ratio_to, 5))
ax1.grid()
ax1.plot(ratio, amp, linewidth=1, color='blue')
ax1.plot(ratio, r_sigma, linewidth=1, color='black')
ax2=ax1.twinx()
ax2.set_ylabel('Phase (°)', color='orange')
ax2.set_ylim(-90, 90)
ax2.grid()
ax2.plot(ratio, ang, linewidth=1, color='orange')

z=numpy.complex(0, 1)*xa+ra
z0=numpy.complex(numpy.interp(0.25, ratio, ra), 0)
rf=(z-z0)/(z+z0)
vswr=(1+numpy.abs(rf))/(1-numpy.abs(rf))
fig, ax3=pyplot.subplots()
fig.subplots_adjust(right=0.85)
ax3.set_title('VSWR')
ax3.set_xlabel('l/λ')
ax3.set_ylabel('VSWR', color='black')
ax3.set_ylim(1, 3)
ax3.grid()
ax3.plot(ratio, vswr, linewidth=1, color='black')

pyplot.show()

但非常无奈的是左右检查仍然与网上文章的图形有出入主要是在1/4波长上我计算的结果是略微容性而网上的图片会有明显的感性 (需要注意的是下图的表达是与上图不同的上图是幅度/角度下图是实部/虚部)

下图应该是符合真实的表现出因为末端放电导致的缩短系数但是我盘算以上整个推算步骤是没有这方面的体现的应该是在计算之外本来就i不该显示在结果中只能通过经验缩短设计1%-5% (由于印刷天线截面积小这个效应实际应该不明显)

此外不同的是计算范围如果是 0-λ 我的结果与上图就截然不同了主要区别是0.75λ处我计算有个可用的天线长度

也有可能是相位系数k的问题毕竟天线上电流分布的模型不一定能合适用在所有天线长度上但是并没有找到更好的模型

假定我的计算是正确的那么可以看出实际是1/4左右波长是辐射效率最大的此时输入阻抗接近并略小于开放偶振子的辐射功率电阻73Ω/2(半封闭) 比3/4波长处的效率要高在1/2波长附近虽然有0相位点但是阻抗比微带线的特征阻抗还高应该没有多少辐射

看看驻波比

在当前设计下如果需要保证驻波比小于1.5(反射系数0.2) 从图中获取数据并计算了一下大概可以容纳6%的频带宽度对于450MHz 有大概27MHz 感觉差不多可以覆盖437-463MHz 如果减少背板距离增加微带线的宽度减少微带线特征阻抗这个带宽会变大不过我打算使用双分支天线这样覆盖430-435MHz就应该没有问题了 470-510MHz看情况可能真需要调整一下)

天线大抵是这样的具体尺寸根据到货板子测量后调整

----------------------------- 6.21 ------------------

发现上面的推导有重大问题 !!!!

最大的问题是 k这个参数没有考虑到微带线上的速度与空气中的速度区别混用了

其次就是蛇形天线并不合适使用以上的微带计算公式因为有转弯带来更多的电感有许多靠近又没有周围的过孔屏蔽导致新的串扰电容结果就具有目前难以预期的滤波效果

其次就是输入阻抗的推导首先是坡印廷矢量的积分不对蛇形横向的电流元是相互有部分抵消的不能算入这样RΣ就可能比直线型的要小不少其次是"耗损电阻平均分布在振子上"这个前提可能不对继续用带衰减的传输线公式来计算也可能不对

真令人头疼啊果然必须得仿真吗或者勉强再算算

假设平行的蛇形线间仅仅相互抵消不考虑其他相位和电/磁感应的话这种天线可以等效为数段短天线相连中间有固定时延但是不妨假设电流驻波幅度在短天线间连续(并非电流波本身而是驻波幅度) 末端电流驻波为0 这样的话

假设空气中相位系数为k0 天线上相位系数为k1 天线上电流驻波最大幅度为Im 蛇形天线真实高度为h

分段积分实在难搞不妨假定分段够多够细够均匀（比如斜线走位）那么

其中η0是自由空间阻抗120π

$ dE_\theta = \frac {j60 \pi sin \theta } {\lambda r} I_z e^{-jk_0r_z} dz $

$ I_z = I_m sin (k_1(h-|z|)l/h) $

$ r_z = r - z cos \theta$

$ E_\theta = \int_{-h}^h dE = \frac {j 60 \pi I_m sin \theta e^{-jk_0r}} {\lambda r} ( \int_{-h}^h sin (k_1 l (h-|z|) /h) e ^ {jk_0z cos \theta} dz) $

>>> from sympy import integrate, symbols, sin, cos
>>> k0, k1, l, h, z, j, theta=symbols('k0 k1 l h z j theta')
>>> r1=integrate(sin(k1*l*(h-z)/h)*(cos(k0*z*cos(theta))+j*sin(k0*z*cos(theta))), (z,0,h), conds='none')
>>> r2=integrate(sin(k1*l*(h+z)/h)*(cos(k0*z*cos(theta))+j*sin(k0*z*cos(theta))), (z,-h, 0), conds='none')
>>> r=(r1+r2).simplify()
>>> print(r)
2*h*k1*l*(cos(k1*l) - cos(h*k0*cos(theta)))/(h**2*k0**2*cos(theta)**2 - k1**2*l**2)

$ E_\theta = 2 h l k_1 \frac {j 60 \pi I_m sin \theta e^{-jk_0r}} {\lambda r} \frac {cos(k_1 l)-cos(h k_0 cos \theta)} {(h k_0 cos \theta)^2 - (k_1l)^2}$

$ |E_\theta| = \frac { 120 \pi h l k_1 I_m sin \theta } {\lambda r} \left| \frac {cos(k_1 l)-cos(h k_0 cos \theta)} {(h k_0 cos \theta)^2 - (k_1l)^2} \right| = 60 h l k_0 k_1 I_m \left| \frac {sin \theta (cos(k_1 l)-cos(h k_0 cos \theta))} {r ((h k_0 cos \theta)^2 - (k_1l)^2)} \right| $

$ P_\Sigma = \oint_S E_\theta H_\varphi /2 \, \vec {dS}= \frac {r^2} {2 * 120 \pi} \int_0^{2 \pi} d \varphi \int_0^{\pi} E_\theta^2 sin \theta d \theta = 30 (h l k_0 k_1 I_m)^2 \int_0^{\pi} ( \frac { cos(k_1 l)-cos(h k_0 cos \theta)} {(h k_0 cos \theta)^2 - (k_1l)^2})^2 sin^3 \theta d \theta $

$ R_\Sigma = 2 P_\Sigma / I_m^2 = 60 (h l k_0 k_1)^2 \int_0^{\pi} ( \frac { cos(k_1 l)-cos(h k_0 cos \theta)} {(h k_0 cos \theta)^2 - (k_1l)^2})^2 sin^3 \theta d \theta$

仍然假设分段够多够细够均匀耗损电阻仍然平摊仍然采用原有的"有耗损的末端开路的传输线模型"

$ R_\Sigma = (R_1*l/h) \int_0^h sin^2 (k_1(h-z)l/h) dz $

>>> import sympy
>>> from sympy import symbols
>>> from sympy import integrate
>>> from sympy import sin
>>> l,h,z,k1,r_sigma=symbols('l,h,z,k1,r_sigma')
>>> y=integrate(sin(k1*(h-z)*l/h)**2, (z,0,h), conds='none').simplify()
>>> r1=r_sigma/y*h/l
>>> r1.simplify()
4*k1*r_sigma/(2*k1*l - sin(2*k1*l))

$ R_1 = \frac {4 k_1 R_\Sigma} {(2 k_1 l - sin(2 k_1 l))} $

......

按我上面设计通过蛇形走位把原天线压缩到1/5 ... 结果令人非常难以接受输入阻抗在谐振时候甚至只有2.3Ω