补充：时序控制磁阻炮的$v_{in}-\Delta v$（注入速度-速度增量）曲线斜率与速度稳定性分析推导

如图是$v_{in}-\Delta v$曲线的一部分，绿线为斜率为-1的切线。

简单思索可知，在注入速度变化的情况下，如希望输出速度不变，那么速度增量应当能弥补注入速度的偏差。

理想情况下$v_{in}$=19m/s，$\Delta v$=10m/s。如扰动情况下$v_{in}$=18m/s，我们期望$\Delta v$=11m/s。如此即可使得输出速度$v_{out}=v_{in}+\Delta v$保持不变。即理想$v_{in}$附近，曲线的导为-1。对应在图中曲线，17-21m/s范围的导都非常接近-1。

简单证明：

    前提条件：磁阻炮每次发射时，各级储能不变。即前级的扰动仅能以弹丸速度的形式对后级造成影响。那么每级磁阻炮拥有独立不变的$v_{in}-\Delta v$曲线。设第n级的映射关系为$\Delta v=f_n(v_{in})$。

    且令第n级注入速度为$v_{n-1}$，输出速度为$v_n$，那么有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& v_n=f_n(v_{in})+v_{n-1}\end{array}$$

    我们期望无论$v_{n-1}$发生变动，$v_n$保持不变，即希望：

$$\frac{d{v}_n}{d{v}_{n-1}}=0$$

    将(1)两端对$v_{n-1}$求导：

$$\frac{d{v}_n}{d{v}_{n-1}}=f_n^{,}(v_{n-1})+1=0$$

    故$f_n^{,}(v_{n-1})=-1$

进一步地，从直观上理解，即使斜率在-1附近，多级加速仍然能将速度误差逐步减小，那么斜率范围该如何确定呢？

为方便推导，将$v_{in}-\Delta v$曲线在理想$v_{in}$附近简化为一次函数，且所有级的斜率k一致。

    那么第n级的$v_{in}-\Delta v$曲线简化为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f_n=k{v}_{in}+b_n\end{array}$$

    逐级展开$v_n$:

$$v_1=f_1(v_0)+v_0=(k+1)v_0+b_1$$ 

$$v_2=k((k+1)v_0+b_1)+b_1+(k+1)v_0=(k+1{)}^2{v}_0+(k+1)b_1+b_2$$

$$v_3=f_3(v_2)+v_2=(k+1{)}^3{v}_0+(k+1{)}^2{b}_1+(k+1)b_2+b_3$$

即：$$\begin{array}{}\text{(3)}& v_n=(k+1{)}^n{v}_0+\sum _{i=1}^n(k+1{)}^{n-i}{b}_i\end{array}$$

由于(3)可能存在负数乘方，对其判别敛散性(这里的敛散指的是速度收敛于标准出速，可能需要作差处理才是趋向于常数的敛散，原谅我写到这里有点没思路...但是对结论是不影响的)

$$\{\begin{array}{rlr}k& \in (0,+\mathrm{\infty })& \mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{发}\mathrm{散}\\ k& \in (-1,0)& \mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ k& =-1& v_n=\sum _{i=1}^n{b}_i\\ k& \in (-2,-1)& \mathrm{振}\mathrm{荡}\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ k& \in (-\mathrm{\infty },-2)& \mathrm{振}\mathrm{荡}\mathrm{发}\mathrm{散}\end{array}$$

即当$k\in (-2,0)$时，理论上可实现负反馈。

一些发现：

1、工程上可能容许斜率取到(-1.5,-0.5)这个样子，这在实际磁阻炮中是很容易实现的。

2、如果磁阻炮过于鶸，导致斜率最小处也>-1，会导致这一级没有比较合适的负反馈区间。

3、速度增量越大的磁阻炮，斜率-1的位置越接近最大速度增量位置，容易在只损失很少效率代价的情况下获得不错的稳定性。

4、本段结论于实际仿真中的应用技巧，如定性修改哪些参数能够使得斜率-1位置向期望的方向偏移等等...大概另外开贴总结。

啊今天是9月26号，超炮T完结了，好久舍不得看，写点帖子纪念一下。下次荧幕再会可能是五年？十年？或者...forever