前文：《书写单位时，如何正确使用英文大小写字母》 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/t/84522 

本文重在简单易记，并不追求绝对严谨，如有补充请发在回复中。

1、分贝值

无线电测量中，分贝不是单位，他只是一种经过对数变换的比例关系，对数的底数是10。

每相差10倍，可以表示为相差1贝尔。

\[{\rm{B}} = Log\frac{a}{b}\]

1分贝就是十分之一贝尔，因此

\[{\rm{dB}} = 10Log\frac{a}{b}\]

分贝可以与单位组合。在无线电测量中，分贝与功率进行“基本结合”，对功率单位进行缩放。

\[{\rm{dBW}} = 10Log\frac{{{\rm{aW}}}}{{{\rm{1W}}}}\]

例如，10W的功率，表示为分贝值，是：

\[10Log\frac{{{\rm{10W}}}}{{{\rm{1W}}}} = 10 \times 1 = 10{\rm{dBW}}\]

也就是说，0dBW=1W，10dBW=10W，相应的，20dBW=100W，30dBW=1000W。每增加10dB，就加一个零。

但是dBW是很大的单位，更常用的单位是dBmW，以1mW为基准。由于1W=1000mW，于是：

\[{\rm{1W = 1000mW = 10}}Log\frac{{1000}}{1} = 30{\rm{dBm}}\]

0dBm=1mW

单位多就容易头晕，所以，即使表示10kW的大型发射机功率，也要说70dBmW，而不说40dBW。

之所以说分贝与功率进行“基本结合”，是因为可以认为分贝和电压、电流是“导出结合”。根据中学知识：

\[P = UI = U\frac{U}{R} = \frac{{{U^2}}}{R}\]

\[P = UI = IRI = {I^2}R\]

注意U和I均出现了平方项。根据对数运算的基本方法，可以把平方项从对数后面移动到对数前面，于是，每相差10倍电压或者电流，就相差2贝尔功率：

\[{\rm{dBV}} = 20Log\frac{{{U_1}}}{{{U_0}}}\]

\[{\rm{dBA}} = 20Log\frac{{{I_1}}}{{{I_0}}}\]

但是不要被平方项所迷惑。例如说信号衰减了10倍，一定是指功率衰减。那么在固定的阻抗上，不论用电压还是功率表示，都是衰减了10dB。因为把10dB电压衰减，换算成功率，就需要做一个平方，于是就等于10dB功率衰减。同样道理，如果刻意的指出是电压衰减10倍，那么，功率也衰减20dB。

dBV是很大的单位，在无线电测量中，通常用μV为底数，记为dBμV。

\[{\rm{1V = 1 \times 1}}{{\rm{0}}^{\rm{6}}}{\rm{\mu V}} = 20Log\frac{{1 \times {{10}^6}}}{1} = {\rm{120dB\mu V}}\]

0dBμV=1μV

窄带调频接收机的灵敏度通常为0.12μV，换算为分贝值是：

\[{\rm{0}}{\rm{.12\mu V = }}20Log\frac{{0.12}}{1} \approx  - {\rm{18}}{\rm{.42dB\mu V}}\]

电压每变化10倍，对数值变化20dB。从kV到V再到mV，都是1000倍关系，因此都是60dB关系。

从dBμV到dBmW，是什么关系呢？由于从电压换算到了功率，就需要用到欧姆定律，也就必须知道电阻。对于50欧阻抗，有：

\[{\rm{0dBmW}} \approx {\rm{107dB\mu V(}}R = 50\Omega )\]

“107”是十分常用的换算关系，应该牢记于心。

已知接收机灵敏度为-18.42dBμV，求dBmW表示的值：-18.42-107=-125.42dBmW。

由于太过常用，为了写起来、说起来、看起来方便，大家约定俗成，省掉伏和瓦：

凡是出现dBμ，一定是指dBμV

凡是出现dBm，一定是指dBmW

目前世界上就只剩下这两种信号强度常用单位，其它大小只用加减零。甚至，连dBμ都快要被抛弃了。其实这是因为人的天性觉得挪数字比挪数字+字母更香。除了古人和精神病人，一律不准使用dBμW和dBmV这种奇葩单位。

V，W等单位，统称线性值，dBμ、dBm等单位，统称对数值。

有的时候，需要进行对数值和线性值的心算，但是毕竟里面有平方或者开根，除了史丰收，恐怕极少有人能够心算。但是心算往往不需要太准确，知道大概就行了，于是出现了葵花宝典：

每变化3dB，功率变化一倍；每变化6dB，电压变化一倍。

3dBm就是2mW，6dBm就是4mW，9dBm就是8mW，10dBm就是10mW，33dBm就是2W。

问31.5dBm是多少瓦？肯定在1W和2W之间，并且更靠近1W。

实际算出来是1.4W。

如果非要追求一下精确，再背两个：1dB=1.25倍，2dB=1.6倍。

31dBm=1W×1.25倍=1.25W

32dBm=1W×1.6倍=1.6W

在无线电测量中，除了程序内部处理求平均等问题（对数值不能平均），世界上已经不需要人算线性值了，忘掉吧。

2、电平和场强的换算

电平，是指在传输线末端测得的信号的对数功率值，单位是dBm。

场强，是指空间中的电场（咱不谈磁场）强度，单位是dB(μV/m)，简称dBμ/m。

电平很容易测到，只需用匹配的接收机、频谱仪或者功率计（如果只有一个信号的话）接到传输线，直接读数就行了。

场强却很难直接感知，它需要先用天线把空间中的信号（场）转变为传输线中的信号，再送去测量信号的电平。

要想知道场强，就需要知道空间中的信号与传输线中的信号的关系。

天线如果能够收集更大截面积的能量，最终送去测量的信号就会多一些。因此，天线决定了场强和电平的关系。

由于天线千奇百怪，这个换算在古代是很麻烦的，比如需要用到天线面积或天线长度的概念。近代以来，人们习惯于用增益来描述天线，这个问题就简单了。

增益的定义在大多数情况下，等价于：

在同等输入电平下，天线在最大辐射方向上的场强，与全向天线产生的场强的比值。

或者反过来：

在场强相等的情况下，天线在最大接收方向上收集到的电平，与一个理想的、无方向性的天线的比值。

既然是比值，当然要用对数表示。过去有dBi和dBd两种表示方式，前者表示相对于点源，后者表示相对于半波振子，两者相差2.15dB（半波振子的增益）。然而在习惯统一以后，已经没人去搞什么半波振子了，尽管有时后者看起来能简化一下计算。因此，凡出现增益，必然是dBi，简称dB。除了古人和精神病人，一律不要使用dBd*。

对于一个增益已知的天馈系统，接收电平与场强的关系是：

\[P{\rm{(dBm)}} = E + G - 20L{\rm{og}}f({\rm{MHz}}) - 77.23\]

如果已知接收电平和天馈系统增益，则场强是：

\[E({\rm{dB}}\frac{{{\rm{\mu V}}}}{{\rm{m}}}) = P({\rm{dBm}}) - G({\rm{dB}}) + 20Logf({\rm{MHz)}} + 77.23\]

举个例子，如果收到的信号电平是-100dBm，天馈系统增益为10dB，频率为435MHz，那么场强是：

\[E \approx  - 100 - 10 + 52.77 + 77.23 = 20{\rm{dB\mu /m = 10}}\mu {\rm{V/m}}\]

注意我们忽略了天线系数的概念，正是这个东西引入了波长（因而公式中有频率）。不过没关系，记住上述公式就够用了，除非你想深刻洞察空间场到传输线场的转换关系。

本文说的增益，均已包括接收机端口之前的所有增益或损耗。如果天线本身增益为10dB，馈线损耗2dB，那么应当把天馈总增益视为8dB。

*环境保护标准中，对等效辐射功率的计算，在1GHz以下频率可能采用dBd。

3、电平、场强和功率通量密度的换算

在较高频率的测量中，功率通量密度或功率流密度（简称功率密度）是比较常用的数据，他表示通过单位截面积的射频辐射功率，单位是瓦每平方米（W/m²）。

平方米是很大的面积，不太直观，在电磁辐射测试中（特别是表征微波武器的火力时），常用mW/cm²和μW/cm² 。代表指甲盖大小的截面积通过的辐射功率。

\[{\rm{1}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.1}}\frac{{{\rm{mW}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = 100}}\frac{{{\rm{\mu W}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\]

通常也用分贝来表示，比如1W/cm² 表示为0dBW/cm² ，100W/cm²就是20dBW/cm²，换算方法参考第一节。

该单位对近场和远场均适用。但是如果要转换为电平，只有远场比较简单。

\[P({\rm{dBm}}) = S({\rm{dB}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}) + G({\rm{dB}}) - 20Logf({\rm{MHz}}) + 68.55\]

\[P({\rm{dBm}}) = S({\rm{dB}}\frac{{{\rm{mW}}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}) + G({\rm{dB}}) - 20Logf({\rm{MHz}}) + 78.55\]

括号里面是单位。

反过来，如果已经从仪器上读得电平，那么功率密度是：

\[S({\rm{dB}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}){\rm{ = }}P({\rm{dBm}}){\rm{ - }}G({\rm{dB}}) + 20Logf({\rm{MHz}}) - 68.55\]

已知功率密度，换算为场强是：

\[E({\rm{dB}}\frac{{{\rm{\mu V}}}}{{\rm{m}}}) = S({\rm{dB}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}) + 145.78\]

在这个文章中（XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/p/864507 ），我给出了用线性单位推导得到的射电强度单位Jy（央斯基）与场强的口算公式，数值是-114.24。用上面这个公式再算一次，得到：

\[1{\rm{Jy}} = {10^{ - 26}}{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{Hz}} =  - 260{\rm{dBW/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{Hz}} =  - 260 + 145.78{\rm{ =   - 114}}{\rm{.22dB}}\mu {\rm{V/m}} \cdot {\rm{Hz}}\]

鹅，相差0.02dB。这是因为两种推导都在不断的修约有效位数，可能是哪里不太规范导致的吧。

4、电波在自由空间的衰减

通常我们遇到的场景是：发射机以功率P_T输出信号，经过增益为G_T的发射天馈系统发射到空中，传播了d这么远的距离，功率通量密度S变得越来越小，直到被增益为G_R的接收天馈系统收到，最后以电平P_R送入接收机。

在计算中，总是已知其中一些数据，求取未知数据。为了做好这个工作，我们需要先理清思考路径。

假设d足够大，此时把发射天线看成点源，那么，发射的功率就会变成空间中的功率通量。如果天线是全向的，就相当于把发射功率均匀涂抹在以天线为球心的球面上。在距离（球半径）为d时，功率通量密度是：

\[S{\rm{ = }}\frac{{{P_T}}}{{4\pi {d^2}}}\]

用对数表示：

\[S({\rm{dBW/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) \approx 10Log{P_T}({\rm{W}}) - 20Logd({\rm{m}}) - 10.99 \approx {P_T}({\rm{dBm}}) - 20Logd({\rm{km}}) - 101\]

有了功率通量密度，根据第3节的公式，就能得到送入接收机的电平。

假设接收天馈系统的增益为零，那么：

\[{P_R}({\rm{dBm}}) = {P_T}({\rm{dBm}}) - 20Logd({\rm{km}}) - 101 - 20Logf({\rm{MHz}}) + 68.55 = {P_T}({\rm{dBm}}) - 20Logd({\rm{km}}) - 20Logf({\rm{MHz}}) - 32.45\]

根据上式，很容易知道自由空间衰减是：

\[L(dB) = 20Logd({\rm{km}}) + 20Logf({\rm{MHz}}) + 32.45\]

这样的推导在因果律上是不严谨的，但是结果是对的，并且足够好用：可以直接根据发射功率算接收电平。

天线通常有增益。当收发天线的主瓣正好瞄准时，根据增益的定义，相当于增大了发射功率。因此，只需要在接收电平的结果中加上收发天馈系统的增益（对数值）之和就行了。

\[{P_R}({\rm{dBm}}) = {P_T}({\rm{dBm}}) - 20Logd({\rm{km}}) - 20Logf({\rm{MHz}}) - 32.45 + {G_T} + {G_R}\]

例：

已知发射功率是10W（即40dBm），发射天线增益为12dB；接收天线增益为6dB；收发天线相距1000km，频率为436.5MHz，无阻挡，求接收机输入电平。

解：

\[{P_R} = 40 - 60 - 52.80 - 32.45 + 12 + 6 =  - 87.25{\rm{dBm}}\]

这就是地面和低轨道微小卫星通信时的常见场景。

-87.25dBm其实是一个很强的信号，实际上往往没有这么强。对于星地通信而言，空气引起的附加损耗会减小场强。另外，卫星的天线在435MHz往往无法实际达到6dB，加上姿态可能没有对准，以及可能存在的极化损失，电平通常还会进一步缩水。

例：

436.5MHz窄带调频接收机的灵敏度通常能做到-125dBm，在不考虑附加损耗、干扰和衰落的情况下，如果通信双方的天线增益均为3dB，求1mW功率的极限通信距离。

解：

\[20Logd({\rm{km}}) = {P_T}({\rm{dBm}}) - {P_R}({\rm{dBm}}) - 20Logf({\rm{MHz}}) - 32.45 + {G_T} + {G_R} = 0 - ( - 125) - 52.80 - 32.45 + 6 = 45.75\]

\[d = {10^{2.2875}} \approx 193.7{\rm{km}}\]

上述计算只适用于“自由空间”。一般的陆地通信，不能算做自由空间传播。在整个传播路径的第一菲尼尔半径内没有任何阻挡，且频率较高（通常大于1GHz）时，可以粗略的近似为自由空间。

5、谱密度

在上面央斯基的计算中，出现了dBm/m².Hz这样的单位。单位的分母中有Hz这个频率单位，则说明该数值是一种谱密度。

类似的有电阻的热噪声功率：dBm/Hz；相位噪声：dBc/Hz。有的时候为了相互比较，把各种数值都换算成每赫兹下的参数，这种操作也被称为归一化。

他们都是指在1Hz的频谱宽度上的功率值。运用谱密度有个前提，就是功率在一定的宽度内均匀分布，或者频域上的分布有意义。对于一个理想的正弦波，他的频谱宽度无限趋近于0，也就是分母为0，就不能用谱密度表示。因此，谱密度主要用于表征噪音或者类似于噪音的信号（如CDMA）。

如果一个信号的带宽是10kHz，功率为100W，即50dBm，且在带宽内均匀分布，那么他的功率谱密度是：

\[\frac{{{\rm{100W}}}}{{{\rm{10000Hz}}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.01(}}\frac{{\rm{W}}}{{{\rm{Hz}}}}{\rm{) = 10dBm(}}\frac{{\rm{W}}}{{{\rm{Hz}}}}{\rm{) = 10dBm/Hz}}\]

用对数来计算的话，由于

\[{\rm{10000Hz = 10Log}}\frac{{{\rm{10000}}}}{{\rm{1}}}{\rm{Hz = 40dBHz}}\]

因此

\[\frac{{{\rm{100W}}}}{{10000Hz}} = (50{\rm{dB}} - 40{\rm{dB)mW/Hz = 10dBm/Hz}}\]

也就是说，对于线性值，直接乘除带宽，对于对数值，直接加减带宽的对数，就能换算不同带宽下的功率。

假设频谱仪的最小RBW只有1kHz，用光标测得某信号一侧相距10kHz处相位噪声约为-80dBc，则归一化相位噪声约为-110dBc/Hz。注意用频谱仪测相噪通常只能“约为”。

频谱仪和测试接收机的灵敏度均可用归一化噪底来表示，他的极限通常在-150dBm/Hz~-170dBm/Hz水平。RBW越大，或者接收机的中频带宽越宽，吃进去的噪声就越多，因此灵敏度数值就越差。为了方便对比不同带宽的设备的灵敏度水平，用每赫兹来表示就很方便了。

6、以射电望远镜为例阐述思考过程

在射电望远镜计算中，可以基于总接收功率，也可以基于场强。前者更简洁一些。但是对于熟悉通信工程设计的人来说，后者更直观一些。所以我才把Jy换算成了场强。

那么我们就按通信工程的一般概念来考虑。

在中高频段，最佳的射电望远镜依然是抛物面天线。喇叭天线做个简单的体验一下容易，但是随着增益的升高，整个系统的成本会迅速增高，并且如果想换一下频率，几乎就得全部推翻重来。所以我们主要讨论抛物面天线。

先了解以下知识，我不是搞射电的，所以属于理论推测，可能忽略某些重要因素，仅供参考：

1、关于微波背景辐射的影响，理论上，不论多高增益的天线，受到的影响都是差不多的。微波背景辐射的影响符合增益的定义，大口径的天线能收集更大截面积的能量，但是他对应的天区会变小，两者正好抵消。所以设计时对背景辐射只用考虑其带来的噪声温度。

2、接收系统的噪声主要取决于天馈线+前放的噪声，天线本身的噪声理论上取决于天线效率。注意这里说的天线只包括馈源里面的振子。虽然名字叫抛物面天线，但抛物面以至馈源的波导都不能算天线。如果天线有1dB损失（比如因为失配和欧姆损耗），大约就有100K的噪声。前放的噪声很容易做到1dB以内。因为微波天线的损耗趋近于0，前放和天线噪声约为相加的关系。

下图是噪声温度和损耗的关系

3、但是如果天线的副瓣大，能够收到地面的东西，那么他收到的噪声会显著提高。因此天线的副瓣要尽量小，并且要放在电磁环境比较好的地方。

4、前放最好紧贴振子放置，减少馈线（特指天线与前放间的）的损耗。但是，如果天线的副瓣大、带宽宽，就势必需要一些滤波器来减少进入前置放大器的总功率，以改善他的工作条件。而滤波器会带来比较大的损耗，也就是轻松带来上百K的噪音。为了省去滤波器，最好使用波导形式的馈源，馈源尽量做成窄带的且副瓣小。抛物面的焦点可以稍远一些，避免馈源的发散角过大。

5、前置放大器的增益要足够大，以便让馈线（特指前放之后的）、接收机的噪音不再需要认真考虑。但是大的增益就意味着容易自激、容易受到外部干扰，所以又不能太大。一般来说要比馈线损耗+接收机的噪音系数还高10dB。例如馈线损耗6dB，接收机噪声系数20dB（这是常见的水平），那么前置放大器应该有36dB增益，至少需要两级。在两级之间可以加滤波器，这样既能改善第二级的工作条件，又避免了滤波器损耗的影响。如果可能的话，把混频器集成到馈源后面，以降低馈线传输的频率，减少馈线的损耗。同时，集成混频器还有一个好处，就是只需要增益较低的前置放大器，其它放大可以在中频上做，这就提高了抗干扰能力，避免了自激。卫星电视系统就是这样干的，他的高频头有混频器，且总增益通常能达到50dB以上。

6、但就天线本身而言，噪声很容易做到几十K，如果与波导和馈线的匹配做好一点，做到几K也不是难事。前置放大器尽量采用低噪声设计，目前的场效应管在1~10GHz范围内很容易做到0.5dB以内的噪声系数，也就是几十K的噪声温度。两者相加，能够很轻松的控制到100K以内。由于在爱好者的设计中，天线本身的噪音相对很小，在简化思考时，可以认为所有噪音都是前放贡献的。

了解了以上知识，我们再来分解设计步骤。在我们的步骤中，由于对射电源能量的收集能力是单独考虑的，所以包含前放在内的天馈系统的噪声温度，可以一律算到接收里面，得到“接收机的总的灵敏度”，简称接收灵敏度，注意该灵敏度与天线口径无关。

比如天线+前放的噪音为30K，那么接收灵敏度大约是-184dBm/Hz。倘若噪音只有3K，那么灵敏度将接近-194dBm/Hz。噪音为0K，灵敏度为-∞。然而由于包括宇宙微波背景辐射在内的宇宙噪音的存在，低于3K的接收系统噪声只对某些特殊用途有意义。

首先需要考虑的是需要多大口径的抛物面天线，也就是用多大的截面积来收集能量。根据需要接收的射电源的强度，留有一定余量，即可计算得到口径。

以能收到1Jy亮度，频率为1420MHz的射电源为例。

用功率通量的方法，已知接收灵敏度是-184dBm/Hz，那么多大的面积能收集到这样多的能量呢？根据Jy的定义，1Jy相当于每平方米有-230dBm/Hz的能量，距离-184dBm/Hz还差46dB，也就是说要46dBm²的面积，这相当于约4万平方米，225米直径。当然，实际上并不需要这么大的口径，因为在数据处理中还有办法找回几十dB，在后面会提到。

用场强增益的办法就要麻烦一些，但是他符合通信工程师的习惯。由于1Jy=-114.24dBμ/m.Hz，接收灵敏度-184dBm/Hz，可知需要天线增益G=70dB。按照抛物面天线增益的经验公式： \(G = 10\log [4.5 \cdot {\left( {\frac{D}{\lambda }} \right)^2}]\) ,可以求得口径是300m，与根据功率计算的天线在面积上大约差了一倍。这是因为通信工程中选取4.5的系数更符合实际情况，因为天线收集能量总有损失。

我们继续用场强增益的概念来计算收太阳的H线（约1420MHz）需要多大的天线。

已知太阳H线的强度是1600000Jy，转换为对数，可知他比1Jy大了62dB，那么场强是-52.24dBμ/m.Hz。根据33楼公式，要用接收灵敏度为-184dBm/Hz的系统收到，天线增益需要8.47dB。这已经不需要抛物面，直接用馈源喇叭就可以了。如果要用抛物面的话，最小口径24cm。这时，口径已经和波长差不多了，显然是不行的。一般来说抛物面应当至少大于6倍波长才能正常工作。因此，最小口径取1.2m。

前面提到，在1420MHz接收1Jy亮度的射电源，并不需要300m口径的望远镜。其中一个因素是，射电接收机并不需要“解调”信号。或者说，相当于在无限长的时间内，只传输有限bit的信息，理论上信号可以无限低于噪音（信噪比趋近于0）。射电源的“信号”并不需要比噪音大，“信号”叠加在“噪音”上之后，会导致“噪音”发生稍微的升高。只要能检测到升高，就可以检测到“信号”。检测到具体升高了多少，就能知道这个射电源有多亮。

这是通信工程的理解办法。由于我不是搞这方面的，所以不知道射电天文中怎么理解，毕竟射电信号具有噪音的特点。不过不要紧，通信工程的基础知识足够处理这个问题。

我们举个例子（不尽准确），假设没有射电源时，接收机底噪是-184.000dBm/Hz，而此时发现底噪变成了-183.999dBm/Hz，上升了0.001dB。这大约相当于变化了万分之二多一点。那么可以认为，存在一个幅度比原来底噪低36.4dB，也就是-220.4dBm/Hz的射电源，叠加在了噪声上。换句话说，如果接收机能够分辨这稍多于万分之二的差别，就能让天线截面积减小为原来的大约4000分之一。天线的口径忽然就从300米，变到只需要5米了。

因此，让接收机极为稳定，能发现万分之几甚至更小的幅度波动，是非常重要的。用这种办法会带来一个问题，那就是底噪总的来说是白噪音，会有随机波动，必须长期平均（或其它数学手段）才能得到一个稳定的值。因此，小口径天线的观测速度会很慢。这就要求接收机的长期稳定性足够好，不能自己波动起来，而且是噪音稳定，不是大信号示数稳定。通常的接收机（比如用于无线电监测的），经过简单恒温处理，大约能做到0.1dB的长期稳定度，相当于能够找回16dB的观测灵敏度，让天线口径缩小6倍。更烂的接收机（比如电视棒），不一定比高档接收机差，因为他们电路简单，可能波动的环节少，做好恒温、稳压反而可能表现出色。在实际观测中，必须编写软件来挖掘接收机的潜力，同时对于接收机本身的噪音，有测量的手段（这就是校准源的意义所在）。

最近太忙先写到这里，也许还有下集。