接下来，我们讨论下直立转动陀螺的稳定性

初始时无章动且章动角为零：$\theta =0,\dot{\theta }=0,x(0)=1$(5.68)

此时由于欧拉角的缺陷，无法分清进动和自转，同样地，取进动角和进动角速度为零。

$\phi =0,\dot{\phi }=0$(5.69)

仿照（5.46）（5.48）的推导方法，我们有：

$a=b$(5.70)

$\alpha =\beta$(5.71)

那么，代入f(x)，有：$f(x)=(1-x^2)(\beta (1+x)-a^2)$(5.72)

易知，此时$x=1$为一重根，$x=\frac{a^2}{\beta }-1$为一单根。

此时仍然可以看作在重根处稳定进动，由（5.33）式，$\frac{a^2}{\beta }-1>1$，不能取值。

所以，容易看出$x=1$为对章动角的平衡位置。接下来我们讨论平衡的稳定性。

现在在t = 0时施加一微扰：$\dot{\theta }=\epsilon$(5.73)

注意了，这个时候相当于不考虑f(x)仅一实根的特殊情况了，因为你给出一个微扰，就破坏了这种特殊情况，所以就可以看作三实根的情况。

依然仿照（5.46）（5.48）的推导方法，利用定义，我们有：

$a=b,\alpha =\beta +{\epsilon }^2$(5.74)

代入f(x)，有：$f(x)=-(1-x)(\beta x^2-(a^2+{\epsilon }^2)x+a^2-\beta -\epsilon )$(5.75)

这时一次多项式与二次多项式乘积的形式，我们可以解出三个零点：

$1$(5.76.1)

$\frac{a^2+{\epsilon }^2-\sqrt{(a^2-2\beta +{\epsilon }^2{)}^2+8\beta {\epsilon }^2}}{2\beta }$(5.76.2)

$\frac{a^2+{\epsilon }^2+\sqrt{(a^2-2\beta +{\epsilon }^2{)}^2+8\beta {\epsilon }^2}}{2\beta }$(5.76.3)

当判别式$\mathrm{\Delta }$为有限值时，即$a^2\ne 2\beta$时，泰勒展开，近似到二阶小量，三个零点为：

$1$(5.77.1)

$1-\frac{2{\epsilon }^2}{a^2-2\beta }$(5.77.2)

$1+\frac{a^2-2\beta }{\beta }+\frac{a^2{\epsilon }^2}{\beta (a^2-2\beta )}$(5.77.3)

当判别式$\mathrm{\Delta }$为小量时，即$a^2=2\beta$时，泰勒展开，近似到一阶小量即可，三个零点为：

$1$(5.78.1)

$1-\sqrt{\frac{2}{\beta }}\epsilon$(5.78.2)

$1+\sqrt{\frac{2}{\beta }}\epsilon$(5.78.3)

我们发现不论如何三个零点定有一个大于1，一个等于1，一个小于1，对应着前文的x₁、x₂、x₃，即此时：$x_1>x_2=1>x_3$

那么结合（5.22.b.2），发现章动幅度为$x_2-x_3$，这个情况中，x₂=1，此时章动幅度为：

$1-x_3$（5.79）

那么接下来的事情就是讨论不同情况下上式是否仍然为一个小量：

当$a^2>2\beta$时，x₃取（5.77.2）：$1-x_3=\frac{2{\epsilon }^2}{a^2-2\beta }$(5.80)

仍为一小量。

当$a^2=2\beta$时，x3取（5.78.2）：$1-x_3=\sqrt{\frac{2}{\beta }}\epsilon$(5.81)

仍为一小量。

当$a^2>2\beta$时，x3取（5.77.3）：$1-x_3=\frac{2\beta -a^2}{\beta }+\frac{a^2{\epsilon }^2}{\beta (2\beta -a^2)}$(5.82)

此时振幅是一个有限值！

综上，直立陀螺的稳定条件便是：$a^2\ge 2\beta$，即：

${\omega }_{30}\ge \frac{2\sqrt{2mgl{I}_1}}{I_3}$(5.83)

临界3轴角速度即是：

${\omega }_c=\frac{2\sqrt{2mgl{I}_1}}{I_3}$(5.83)

现实中，稳定直立旋转的陀螺，将会因为摩擦力矩等等原因使得3轴角速度降低，降到临界角速度时，便不再稳定。

高速自转陀螺，由定义，一定满足这种情况，称为睡陀螺，也是会在降低到临界角速度后不再稳定。