接下来，我们讨论下直立转动陀螺的稳定性

初始时无章动且章动角为零：\(\theta = 0,\dot{\theta}=0,x(0)=1\)(5.68)

此时由于欧拉角的缺陷，无法分清进动和自转，同样地，取进动角和进动角速度为零。

\(\varphi = 0,\dot{\varphi}=0\)(5.69)

仿照（5.46）（5.48）的推导方法，我们有：

\(a=b\)(5.70)

\(\alpha =\beta\)(5.71)

那么，代入f(x)，有：\(f(x)=(1-x^2)(\beta (1+x)-a^2)\)(5.72)

易知，此时\(x =1\)为一重根，\(x = \frac{a^2}{\beta}-1\)为一单根。

此时仍然可以看作在重根处稳定进动，由（5.33）式，\(\frac{a^2}{\beta}-1>1\)，不能取值。

所以，容易看出\(x = 1\)为对章动角的平衡位置。接下来我们讨论平衡的稳定性。

现在在t = 0时施加一微扰：\(\dot{\theta} = \varepsilon\)(5.73)

注意了，这个时候相当于不考虑f(x)仅一实根的特殊情况了，因为你给出一个微扰，就破坏了这种特殊情况，所以就可以看作三实根的情况。

依然仿照（5.46）（5.48）的推导方法，利用定义，我们有：

\(a=b,\alpha =\beta +\varepsilon^2\)(5.74)

代入f(x)，有：\(f(x) = -(1-x)(\beta x^2-(a^2+\varepsilon^2)x+a^2-\beta-\varepsilon)\)(5.75)

这时一次多项式与二次多项式乘积的形式，我们可以解出三个零点：

\(1\)(5.76.1)

\(\frac{a^2+\varepsilon^2-\sqrt{(a^2-2\beta+\varepsilon^2)^2+8\beta\varepsilon^2}}{2\beta}\)(5.76.2)

\(\frac{a^2+\varepsilon^2+\sqrt{(a^2-2\beta+\varepsilon^2)^2+8\beta\varepsilon^2}}{2\beta}\)(5.76.3)

当判别式\(\Delta\)为有限值时，即\(a^2\ne2\beta\)时，泰勒展开，近似到二阶小量，三个零点为：

\(1\)(5.77.1)

\(1-\frac{2\varepsilon^2}{a^2-2\beta}\)(5.77.2)

\(1+\frac{a^2-2\beta}{\beta}+\frac{a^2\varepsilon^2}{\beta(a^2-2\beta)}\)(5.77.3)

当判别式\(\Delta\)为小量时，即\(a^2=2\beta\)时，泰勒展开，近似到一阶小量即可，三个零点为：

\(1\)(5.78.1)

\(1-\sqrt{\frac{2}{\beta}}\varepsilon\)(5.78.2)

\(1+\sqrt{\frac{2}{\beta}}\varepsilon\)(5.78.3)

我们发现不论如何三个零点定有一个大于1，一个等于1，一个小于1，对应着前文的x₁、x₂、x₃，即此时：\(x_1>x_2=1>x_3\)

那么结合（5.22.b.2），发现章动幅度为\(x_2-x_3\)，这个情况中，x₂=1，此时章动幅度为：

\(1-x_3\)（5.79）

那么接下来的事情就是讨论不同情况下上式是否仍然为一个小量：

当\(a^2>2\beta\)时，x₃取（5.77.2）：\(1-x_3 = \frac{2\varepsilon^2}{a^2-2\beta}\)(5.80)

仍为一小量。

当\(a^2=2\beta\)时，x3取（5.78.2）：\(1-x_3 = \sqrt{\frac{2}{\beta}}\varepsilon\)(5.81)

仍为一小量。

当\(a^2>2\beta\)时，x3取（5.77.3）：\(1-x_3 = \frac{2\beta-a^2}{\beta}+\frac{a^2\varepsilon^2}{\beta(2\beta-a^2)}\)(5.82)

此时振幅是一个有限值！

综上，直立陀螺的稳定条件便是：\(a^2\ge2\beta\)，即：

\(\omega_{30}\ge\frac{2\sqrt{2mglI_1}}{I_3}\)(5.83)

临界3轴角速度即是：

\(\omega_c=\frac{2\sqrt{2mglI_1}}{I_3}\)(5.83)

现实中，稳定直立旋转的陀螺，将会因为摩擦力矩等等原因使得3轴角速度降低，降到临界角速度时，便不再稳定。

高速自转陀螺，由定义，一定满足这种情况，称为睡陀螺，也是会在降低到临界角速度后不再稳定。