接下来，我们讨论一下快速自转陀螺，即：

\(\frac{1}{2}I_3\omega_{30}^2>>mgl\)(5.45)

此时，自转太快以至于进动章动等重力引起的效应都可以认为是微扰。

那么初始时进动角速度就应当为零，由（5.28）：

\(b=ax(0)\)(5.46)

又由于能量由转动动能和重力势能组成：

\(E = \frac{1}{2}I_3\omega_{30}^2+mglx(0)\)(5.47)

代入（5.23）（5.24），有：

\(\alpha=\beta x(0)\)(5.48)

代入f(x)，有：

\(f(x)=(x(0)-x(t))[(1-x^2(t))\beta-a^2(x(0)-x(t))]\)(5.49)

换元：\(X = x(0)-x(t)\)(5.50)

那么：

\(f(X)=\beta X(X^2+(\frac{a^2}{\beta}-2x(0))X+x^2(0)-1)\)(5.51)

显然，\(X_0=0\)为该函数一零点。

而\(\frac{a^2}{\beta}=\frac{I_3^2\omega_{30}^2}{2I_1mgl}\)(5.52)

由（5.45）可知，除非极其细长的陀螺使得\(I_3<<I_1\)，一般情况下\(\frac{a^2}{\beta}>>1\)。

那么，\(-2x(0)\)可以略去，而前面说了进动章动看作微扰，所以X²可以略去。

那么较小的一个零点满足\(\frac{a^2}{\beta}X+x^2(0)-1=0\)(5.53)

解得，\(X_1=\frac{\beta}{a^2}sin^2(\theta_0)=\frac{2I_1mgl}{I_3^2\omega_{30}^2}sin^2(\theta_0)\)(5.54)

那么\(\Delta x = x_0 - x_1 = X_1 - X_0 = \frac{2I_1mgl}{I_3^2\omega_{30}^2}sin^2(\theta_0)\)(5.55)

由上式和（5.45）可以看出\(\Delta x <<1\)，即章动的幅度很小。

接下来，我们想求解章动和进动的具体运动方程。

由于章动幅度很小，可以做近似\(1-u^2(t)\approx 1-u^2(0)=sin^2(\theta_0)\)

代入(5.49)可知：\(\dot{X}=\dot{x}=f(x)=a^2X(X_1-X)=-a^2(X-\frac{X_1}{2})^2+a^2\frac{X_1^2}{4}\)(5.56)

上式左右两次求导，同时消去两侧一阶导数项，利用\(\ddot{X}=\ddot{(X-\frac{X_1}{2})}\)有：

\(\ddot{(X-\frac{X_1}{2})}+a^2(X-\frac{X_1}{2})=0\)(5.57)

这个方程我们很熟悉，常系数齐次二阶微分方程，简谐振动中常常出现，解得：

\(X=Acos(at+\phi)+\frac{X_1}{2}\)(5.58)

由上可知\(\Delta x\)为两倍的振幅，即\(A=\frac{\Delta x}{2}=\frac{X_1}{2}\)(5.59)

代入t=0：\(\frac{X_1}{2}(1+cos(\phi))=0\)，即\(\phi =\pi\)(5.60)

代入积分常数后，我们便得到：\(X=\frac{X_1}{2}(1-cos(at))\)(5.61)

将（5.50）代入（5.61），再将各参量代入利用反余弦函数得到：

\(x=cos(\theta) = \frac{mglI_1}{I_3^2\omega_{30}^2}sin^2(\theta_0)(1-cos(\frac{I_3\omega_{30}}{I_1}t))+cos(\theta_0)\)(5.62)

（5.62）式显示出来章动角仅再初始章动角附近摆动，且3轴角速度越大，章动越小，对高速自转陀螺，章动甚微。

将（5.62）、（5.46）代入（5.2）第一式：

\(\dot{\varphi}= \frac{a(x(0)-x(t))}{sin^2(\theta_0)}=\frac{aX}{sin^2(\theta_0)}=\frac{mgl}{I_3\omega_{30}}(1-cos(\frac{I_3\omega_{30}}{I_1}t))\)(5.63)

（5.63）对时间取平均即得：

\(\bar{\dot{\varphi}}=\frac{mgl}{I_3\omega_{30}}\)(5.64)

由上面两式可见，此时陀螺以变化的进动角速度缓慢进动，而且此时平均进动角速度与上文讨论的规则进动中缓慢进动角速度一致。

代入（5.2）第2式，由于进动角速度远远小于3轴角速度，所以可近似为：

\(\dot{\psi}=\omega_{30}\)(5.65)

那么，积分，便可以得出此时的运动方程：

\(\varphi = \frac{mgl}{I_3\omega_{30}}(t-\frac{I_1}{I_3\omega_{30}}sin(\frac{I_3\omega_{30}}{I_1}t))+\varphi_0-2a_\varphi\pi\)(5.66.1)

其中\(a_\varphi\)为使得\(\varphi\in[0,2\pi]\)的自然数。

\(\theta = arccos( \frac{mglI_1}{I_3^2\omega_{30}^2}sin^2(\theta_0)(1-cos(\frac{I_3\omega_{30}}{I_1}t))+cos(\theta_0))\)(5.66.2)

\(\psi = \omega_{30}t+\psi_0-2a_\psi\pi\)(5.66.3)

其中\(a_\psi\)为使得\(\psi\in[0,2\pi]\)的自然数。

如果我们再取一次近似，那么：

\(\varphi = \frac{mgl}{I_3\omega_{30}}t+\varphi_0-2a_\varphi\pi\)(5.67.1)

其中\(a_\varphi\)为使得\(\varphi\in[0,2\pi]\)的自然数。

\(\theta = \theta_0\)(5.67.2)

\(\psi = \omega_{30}t+\psi_0-2a_\psi\pi\)(5.67.3)

其中\(a_\psi\)为使得\(\psi\in[0,2\pi]\)的自然数。

（实际上（5.66）已经是从近似中推出的，现在（5.67）则是为了进一步简化继续近似）

也就是说，这个时候，看上去，陀螺似乎是以（5.67）的形式，匀速进动，无章动，匀速自转地定点转动，然而实际上不是，而是（5.66）形式，略微有章动，且以缓慢变化的小角速度进动。实际上，陀螺由于阻力等原因，几乎无法观测到章动。这样，我们称之为赝规则进动。

这也说明了陀螺的形状对其的影响，一般我们买到的陀螺玩具都是扁平的，因为不需要过高的转速就可使（5.52）远远大于1，使陀螺进入赝规则进动状态。

（我去，我写这里的时候被查水表了，因为我去年搜索了ap的制作方法……不过所幸无大事）