接下来讨论对称欧拉陀螺的情形的一般情况。由定义,此时只可能是一个轴转动惯量与2轴转动惯量相等。由(4.19)应取该轴为1轴。
即。
那么由(4.28),k=0,sn、cn、dn函数分别退化为sin、cos、1,故三轴角速度不改变。
由(4.12),仍有,那么代入(4.48.2),有:
(4.52)
可见章动角为一个常数,且一般不为零。
由(4.48.3),(4.53),
易知(4.54)
由(4.27)(两个符号和对应绝对值,消掉了):
(4.55)
由(4.32)(k=0,积分一次即可):
(4.56)
故:
(4.57)
可知自转是匀速的。
代入(4.45),积分,有:(4.58)
总结下,对称欧拉陀螺的运动规律:
(4.59.1)
(4.59.2)
(4.59.3)
其中常数均是保证欧拉角在其定义域内的。
与前文书中照片对比,发现是一样的,只是后面为满足欧拉角定义域加了几个常数。
这种情况下,进动和自转都是匀速的,且无章动,称之为规则进动。
讨论一下,若仅1或2轴角速度不为零,代入可知,章动角为,即自转的同时在赤道平面内进动。当然,章动角为何不为零也是欧拉角的缺陷,实际上是稳定的旋转,前文讨论网球拍定理的时候,令两轴转动惯量相等,可以发现为一次函数,有限时间偏移内仍为小量,大家可以扔个矿泉水瓶看看。
而若仅三轴角速度不为零,由(4.59.2)有:
(4.60)
即章动角为零,始终绕着角动量方向也就是3轴旋转。此时,还是欧拉角的缺陷,自转和进动似乎都有,我们还是按照习惯取有自转无进动,并取初始自转角为零,即此时:
(4.61)