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接下来讨论对称欧拉陀螺的情形的一般情况。由定义,此时只可能是一个轴转动惯量与2轴转动惯量相等。由(4.19)应取该轴为1轴。

I1=I2

那么由(4.28),k=0,sn、cn、dn函数分别退化为sin、cos、1,故三轴角速度不改变。

由(4.12),仍有L22I1T=I3(I3I1)ω302,那么代入(4.48.2),有:

θ=arccos(I3ω30L)(4.52)

可见章动角为一个常数,且一般不为零。

由(4.48.3),cos(ψ)=sin(λt+μ),sin(ψ)=cos(λt+μ)(4.53),

易知ψ=π2(λt+μ)2aψπ,aψ=0,1,2(4.54)

由(4.27)(两个符号和对应绝对值,消掉了):

λ=I3I1I1ω30(4.55)

由(4.32)(k=0,积分一次即可):

μ=arcsin(ω20ω102+ω202)(4.56)

故:

ψ=π2(I3I1I1ω30t+arcsin(ω20ω102+ω202))2aψπ,aψ=0,1,2(4.57)

可知自转是匀速的。

代入(4.45),积分,有:φ=LI1t+φ02aφπ,aφ=0,1,2(4.58)

总结下,对称欧拉陀螺的运动规律:

φ=LI1t+φ02aφπ,aφ=0,1,2(4.59.1)

θ=arccos(I3ω30L)(4.59.2)

ψ=π2(I3I1I1ω30t+arcsin(ω20ω102+ω202))2aψπ,aψ=0,1,2(4.59.3)

其中常数均是保证欧拉角在其定义域内的。

与前文书中照片对比,发现是一样的,只是后面为满足欧拉角定义域加了几个常数

这种情况下,进动和自转都是匀速的,且无章动,称之为规则进动

讨论一下,若仅1或2轴角速度不为零,代入可知,章动角为π2,即自转的同时在赤道平面内进动。当然,章动角为何不为零也是欧拉角的缺陷,实际上是稳定的旋转,前文讨论网球拍定理的时候,令两轴转动惯量相等,可以发现为一次函数,有限时间偏移内仍为小量,大家可以扔个矿泉水瓶看看。

而若仅三轴角速度不为零,由(4.59.2)有:

θ=arccos(1)=0(4.60)

即章动角为零,始终绕着角动量方向也就是3轴旋转。此时,还是欧拉角的缺陷,自转和进动似乎都有,我们还是按照习惯取有自转无进动,并取初始自转角为零,即此时:

φ=0,θ=0,ψ=ω30t(4.61)

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