好的继续：

根据上面的讨论，我们得到了关于2轴角速度的微分方程（4.5）

为了搞成第一类椭圆积分的形式，我们希望吧$2I_{3}T-L^2$、$L^2-2I_{1}T$提取出去，所以我们必须先讨论它们的大小，结合（1.3）（1.4）式，代入初始角速度，我们有：

$2I_{3}T-L^2=I_1(I_3-I_1){\omega }_{10}^2+I_2(I_3-I_2){\omega }_{20}^2$(4.11)

$L^2-2I_{1}T=I_2(I_2-I_1){\omega }_{20}^2+I_3(I_3-I_1){\omega }_{30}^2$(4.12)

好了先回收一个伏笔，记得为啥一定要用2轴角速度表示1、3轴角速度不？就是这个原因，这样推导出来由各主轴惯量之间的大小关系可以一眼看出，不管1、3轴转动惯量大小如何，$2I_{3}T-L^2$和$L^2-2I_{1}T$二者同号！

之前说过，先讨论主轴惯量不等的情况，那么如果$2I_{3}T-L^2$等于零，$L^2-2I_{1}T$不等于零，那么由（4.11），（4.12）可知1、2轴初始角速度为零，仅3轴初始角速度不为零，这不就是前面说到绕3轴定轴转动吗？那么定点转动退化为定轴转动，那么运动规律就是（4.10）了！（看到没第二个伏笔也回收了 ）

反之，如果$2I_{3}T-L^2$不等于零，$L^2-2I_{1}T$等于零，那么由（4.11），（4.12）可知2、3轴初始角速度为零，仅1轴初始角速度不为零，运动规律也就是（4.9）

那万一$2I_{3}T-L^2$和$L^2-2I_{1}T$都等于零呢？那更简单了，由（4.11），（4.12）可知，1、2、3轴初始角速度都为零，角速度矢量各个分量都为零，那么初始角速度不就零矢量了吗？也就是这个情况下刚体静止，压根就没动！即：

$\phi =0,\theta =0,\psi =0$(4.13)

这个情况相当简单，一看就知道了，所以当三轴角速度为零时刚体一定保持静止，运动规律一定是（4.13），和它的三个主轴惯量是否相同无关，所以后面讨论由主轴惯量相同的特殊情况的时候，就不考虑这种情况了。

当然，我知道大家不是想看这么简单的特殊情况，那么接下来就讨论$2I_{3}T-L^2$和$L^2-2I_{1}T$都不等于零的最一般的情况。

先把（4.5）$2I_{3}T-L^2$和$L^2-2I_{1}T$提出来，然后把根式移到左侧分母，把dt移到右侧，利用n₁n₃的性质，有：

$n_1{n}_{3}n\frac{\sqrt{(2I_{3}T-L^2)(L^2-2I_{1}T)}}{I_2\sqrt{I_1{I}_3}}dt=\frac{d{\omega }_2}{\sqrt{(1-\frac{I_2(I_3-I_2)}{2I_{3}T-L^2}{\omega }_2^2)(1-\frac{I_2(I_2-I_1)}{L^2-2I_{1}T}{\omega }_2^2)}}$(4.14)

更像第一类椭圆积分了对吧？

似乎只用换给变量再积分就可以了。但是，我们还要注意2轴角速度平方前面的系数取值范围的问题，毕竟前文说了，必须再0到1之间。这个下午再发