4.勒让德第一类椭圆积分和一些雅氏椭圆函数的定义：

对${\int }_0^u\frac{d\xi }{\sqrt{(1-{\xi }^2)(1-k^2{\xi }^2)}}$(1.7)的积分：

若有$u\in [-1,1]$和$k\in [0,1]$

我们可以换元，令$\xi =sin(\alpha ),u=sin(\varphi )$

即有${\int }_0^{\varphi }\frac{d\alpha }{\sqrt{1-k^{2}si{n}^2(\alpha )}},\varphi =arcsin(u)\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$(1.8)

这个积分无法用有限的基本初等函数表示，我们将这个积分的结果记作$F(\varphi ,k)$或$F(arcsin(u),k)$

可以求得它的级数表示：

$F(\varphi ,k)=\varphi +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}{\int }_0^{\varphi }(ksin(\alpha ){)}^{2n}d\alpha )$(1.9)

特别地，如果$\varphi =\frac{\pi }{2}$即$u=1$，这时(1.9)中求和号内的积分可以积出，此时称为勒让德第一类完全椭圆积分，记作$K(k)$，有$K(k)=F(\frac{\pi }{2},k)=\frac{\pi }{2}(1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}{k}^n{)}^2)$(1.10)

注意上面的!!并不是取完阶乘后再取一次，而是重阶乘，我第一次遇到的时候也以为是取两次，因为卡西欧是这么算的

这个很重要，不知道这个定义看不懂啊！！！(注意！这里的“！！！”不是三重阶乘，只是感叹号，包括本句句首的“！”也只是感叹号)

从上面似乎可以看出$F(\varphi ,k)$的定义域是$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,但我们总可以使用被积函数的偶函数和周期函数特性，将其定义域延拓至整个实数集，我们有：

${\int }_0^{\varphi +2c\pi }\frac{d\alpha }{\sqrt{1-k^{2}si{n}^2(\alpha )}}={\int }_0^{\varphi }\frac{d\alpha }{\sqrt{1-k^{2}si{n}^2(\alpha )}}+4c{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\alpha }{\sqrt{1-k^{2}si{n}^2(\alpha )}},\varphi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],c\in Z$

即$F(\varphi +2c\pi ,k)=F(\varphi ,k)+4cK(k),\varphi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],c\in Z$

不妨设$k=\frac{114514}{191981}$ ,作图即可直观地看到被积函数的性质：

注意！积分(1.7)时仍要确保$u\in [-1,1]$

如果我们把k看作参量，可以得到它的反函数，记作$am(\beta ,k)$

有$\beta =F(\varphi ,k),\varphi =am(\beta ,k)$(1.11)

定义函数：

$sn(\beta ,k)=sin(am(\beta ,k))$(1.12)

$cn(\beta ,k)=cos(am(\beta ,k))$(1.13)

$dn(\beta ,k)=\sqrt{1-k^{2}s{n}^2(\beta ,k)}$(1.14514)

椭圆函数作为数学的一个重要分支，肯定不止这些，我也是在学习理论力学的过程中发现需要用到临时学的，也仅仅刚好够用于求解刚体定点转动，有大佬懂的话还请科普

前置知识点就这些了，一会给出在哪里可以系统学习。

对了，给论坛提一下建议，就是这个公式编辑器能不能做到更加人性化一点呢？就这点我输了一个半小时（好像还有个鼠标移到上面公式编辑器那个按钮会乱蹦的bug……）