第二节 现代数学的研究进展
一、现代数学发展的特点
现代数学的发展，与初等数学、变量数学相比，具有以下几个显著特点：
（一）纯碎数学更加抽象，分支增多且相互渗透
酝酿于19世纪，发展、定型、成熟于20世纪上半叶的被人们称为数学"新三高"的泛函分析、抽象代数、拓扑学等，都是在原来抽象概念的基础上再次抽象出新概念并加以研究，是抽象之抽象的结果。一方面，它们互为独立，有着各自的研究领域，另一方面，它们又相互渗透、互为借鉴并产生许多边缘学科。比如，抽象代数与拓扑学的结合产生了拓扑群；泛函分析与抽象代数的结合产生了算子环；拓扑与泛函的结合产生线性拓扑空间等。人们认为，数学理论正向着"高维"与"多变量"的方向前进。
（二）以集合论为基础，以结构为对象
19世纪80年代以康托尔的集合论为标志，数学进人现代数学时期。从二十世纪初开始，集合论的思想方法不仅应用于几乎所有纯数学部门，而且广泛运用到其他自然科学领域，特别是物理学之中。
二十世纪最具影响的法国布尔巴基学派奉行结构主义的观点，认为全部数学基于三种母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构。他们把现代数学定义为研究结构的学科，犹如古代数学主要研究常量，近代数学主要研究变量一样。
（三）重视数学基础研究，探索数学哲学问题
二十世纪以来，数学基础和数学哲学问题成为众多数学家关心的热点，不同的数学家接受了数学历史上的不同数学思想和数学哲学观点，并由此产生了研究数学基础的不同学派。这些学派提出了不同的数学观点和改造数学的方案，他们相互争论、互相批判，把数学基础和数学哲学的研究推向了高潮。
（四）以公理化为目标，新的分支大量产生
公理法是最重要的数学思想方法之一，它既是建构数学理论的思想方法，又是表述数学理论的思想方法。许多数学命题不仅可以通过公理法得到，而且公理法还把它们组织成为一个体系即形成数学理论。现代数学几乎都是按公理法建构起来的，因此，公理化已成为数学研究的重要目标之一。
随着各门科学的数学化，新的数学分支在不断地涌现。许多与数学有关的边缘学科，如生物数学、数学心理学、数学考古学等数学边缘学科也在大量产生。
（五）数学应用广泛而深刻，计算机影响着数学的进程
数学的应用，主要是作为一种科学方法的应用，它表现为数学向现代科学技术全面渗透；对其他学科的语言表述、问题论证、计算方法等产生着深刻的影响。尤其是计算机，计算机的产生是以数学的发展为重要条件之一，而计算机的产生和发展反过来又影响着数学发展的进程。一些繁重的数字计算以及某些复杂的数学证明可以运用计算机来完成，计算机把数学家从"简单劳动"中解放出来，使他们集中精力于创造性劳动，这对数学发展的进程无疑将产生重大影响。
二、现代数学发展的主要成果
现代数学较之初等数学、近代数学，更加抽象、更加高深、更加庞大复杂。因此，要对现代数学作一个比较全面的表述，是非常困难的。以下主要介绍受到广泛重视的逻辑问题、模糊事件、突变现象等一些影响深远的数学思想以及介绍被认为是现代数学三大基础学科的所谓"新三高'，即泛函分析、抽象代数和拓扑学，它们的概念和方法已渗透到数学的各个领域，并且在其他学料中也日益得到极其广泛的应用。
（一）数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑或逻辑蒂，是运用数学方法研究的逻辑，是数学的一个分支。所谓数学方法就是指采用数学的一般方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是使用形式化的公理方法。使用数学方法研究逻辑的思想起源于G.W.莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑（包括亚里士多德和中世纪的传统逻辑）必须加以改造和发展使之更为精确和便于计算。莱布尼茨的这一思想经过一些数理逻辑先驱们的不懈努力，逐步得到完善和发展。到了20世纪，数理逻辑的内容，从最狭义到较广义、再到最广义，大致形成了三个层次：
1. 最狭义的数理逻辑
该层次的逻辑通常被称为狭谓词逻辑或经典谓词逻辑，它基本上是对亚里士多德三段论式理论演变产生的传统逻辑的严格化。它在数理逻辑中是最基础的部分，也是对传统演绎逻辑基本内容的精密化、精确化和形式化，它既是演绎逻辑的基础，又是在数学中证明定理时所用的最基本的逻辑推理规律或法则。
2.较广义的数理逻辑
20世纪，由于对数学奠基问题的研究而形成了四个数理逻辑分支，即模型论、公理集合论、递归论和证明论，简称四论。这四论构成现代数理逻辑的主要内容，这样的数理逻辑就是数学形式化的逻辑，亦即通常所称的数学逻辑。
3.最广义的数理逻辑
主要包括归纳逻辑、包含可能、必然等模态词的模态逻辑、内涵逻辑、多值逻辑以及包含时间因素的时态逻辑等。它们仍然是运用数学的方法进行研究的逻辑。
当今，人类社会正在快速进入信息时代。信息时代科学技术的一个重要特点就是一切科学、技术领域的研究课题都需要运用计算机对信息进行加工处理，以促使科学的数学化、技术的数学化（精确、严格等）。而对计算机的"思维"过程、计算机的组织以及计算机的效率等问题研究，都包含着大量的与数理逻辑有关的研究课题，而且许多问题本身就是数理逻辑方面的问题。
一般而言，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。从学科性质看，全部数理逻辑都是数学，每一门数学分支或数学结构都具有一定的数理逻辑关系，数理逻辑是数学研究特别是数学问题的研究的有效工具和解构方法。数理逻辑与计算机的关系体现在思维过程的演算化、计算化和形式化上。
（二）模糊数学
模糊数学，就是用严密的数学方法研究和处理模糊性现象的数学理论和方法。1965年美国控制论学者 L.A.查德（XXXXXXdeh）发表了论文《模糊集合》（或译为不明集合、弗晰集合），标志着这门新学科的诞生。
数学所具有的特点：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性等。数学的精确性与之在研究客观事物中存在的模糊现象时，很容易发生矛盾。即用精确的数学方法去研究和处理客观现象中大量的模糊问题是否可能？对这一问题的深入分析与研究，使现代数学的新分支即模糊数学得以在20世纪60年代产生。
模糊性现象是一种普遍存在的现象，人们以前似乎在回避它。但是，由于现代科技所面对的现象、系统日益复杂和庞大，模糊性又总是伴随着复杂性而出现。各门学科，尤其是人文社会学科以及其他"软科学"的数学化、定量化趋向把对模糊性的数学处理方法推向了中心地位。特别是近几年来，计算机的深入发展与广泛运用，使计算机在研究和处理模糊性问题时，发挥着越来越重要的作用。一方面，计算机对复杂事物具有了一定的识别力；另一方面，描述模糊性系统的复杂数学模型不借助计算机是不可想象的。
要对具有模糊性的事物与现象，使用经典的数学方法进行研究和处理往往是比较困难的。在国外，模糊数学一般被称作"模糊集合"，主要是采用截割方法和边界游移的思想，把大量的模糊问题转化为精确问题加以分析、研究和处理，这是对以往数学方法的创新和突破。
自美国数学家查德在1965年首先提出了用"模糊集合"作为表现模糊性事物的数学模型，在模糊集合的意义上逐步建立了运算、变换等学科规律，并积极开展有关的理论研究以来，经过数学家们的多年努力，现代模糊数学已形成了模糊拓扑学、模糊群论、模糊概率、模糊图论，以及模糊环论等分支。
（三）突变论
突变论是20世纪70年代才出现的数学新分支，主要是用以描述突变现象的数学理论。突变论的创立是以法国数学家R.托姆(XXXXom,1923～)于1972年发表的《结构稳定与形态发生》的著名论著为标志的。在该论著中，R.托姆系统地阐述了突变论的基本思想：一种自然现象或一个技术过程，在发展变化过程中常常会从一个状态跳跃式地变换到另一种状态，或者说经过一段时间缓慢的连续的变化之后，在一定的外界条件下，会发生一种不连续的变化，这种不连续变化的现象或过程就是突变现象，它可以借助一定的数学模型来加以描述。
突变现象在大自然里、工程技术过程中都是普遍存在的。例如，天气的突然变化会产生暴风雨，地壳的剧烈运动会引起地震，桥梁的扭曲变形会导致断裂，容器中的几种物质在一定的外界条件下会发生某种化学反应，等等。以前的科学家对这些现象的研究会遇到各种困难，其中的主要原因或困难就是缺乏恰当的数学工具来描述这些突变现象。1969年，法国数学家R.托姆在其《生物学中的拓扑模型》一文中，首次在奇点分类的基础上，提出了一个描述突变现象的数学模型。稍后，1972年，他在著名的《结构稳定与形态发生》一书中，系统地阐述了突变论的基本思想，这就是我们现在所称的突变理论。R.托姆指出，在自然和社会中存在大量的不连续的突变现象，用数学模型可以对其加以描述。R.托姆提出了7种描述突变的模型，即折叠突变、尖点突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐点型突变、椭圆脐点型突变以及抛物脐点型突变等。描述或研究突变现象的数学方法一般都要涉及到抽象代数拓扑学等有关的现代数学学科，
（四）代数几何
代数几何是一门高度抽象化的数学，是现代数学的一个重要的、新的分支学科。代数几何的研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。通常，这样的集合叫做代数簇，这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。
代数几何的起源主要是从平面中的代数曲线的研究开始的。对于一条平面曲线，一般地，人们首先注意到的是一个数值不变量的次数；即定义这条曲线的方程的次数，由于次数为一或二的曲线都是有理曲线（即在代数几何的意义下同构于直线的曲线），因此，代数几何所研究的主要是关于三次或更高次的平面曲线（即代数簇定义在复数域上），它是一门非常抽象、高深的数学前沿学科。当前，代数几何的研究重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。
代数几何作为现代数学的一门高度抽象化的、新的数学分支，它与数学的其他分支学科有着广泛的联系，除与数论有密切的渊源关系外，还与解析几何、微分几何、变换代数、拓扑学以及代数群等相互促进、共同发展。而作为一门高度抽象的理论学科，代数几何的应用前景也开始日益受到人们的重视，其中的一个著名的例子就是代数几何在控制论中的应用。特别是近几年来出现的计算性代数几何与构造性代数几何的思想使这门新的数学分支学科与新技术革命紧密联系起来，必将发挥出它的重要作用。
（五）泛函分析
泛函分析是研究无穷维抽象空间及其分析的数学理论。泛函分析的基本思想是把函数（或曲线等）看作空间的元素或点，而函数的集合就构成了研究的"空间"。泛函就是把函数变成实数的一种"变换'，相应地，把函数的广义变换则称为算子。
对泛函的研究可以追溯到19世纪，而泛函的命名则是由法国著名数学家阿达马（Hadamard，1865－1963）完成的。从20世纪20年代起，经过众多数学家的努力，泛函分析已逐步形成了自己的学科观点、研究方法和理论体系，已成为现代分析学的重要的基础学科之一。波兰数学家巴拿赫（Banach，1892－1945）在1932年出版了《线性算子论》一书，进一步地统一了当时泛函分析的众多成果，使泛函分析逐步成为数学的一门分支学科。特别是近半个世纪以来，泛函分析的各种理论都得到系统的发展，如广义函数论、非线性泛函等已成为应用数学的重要工具。同时，运用泛函分析的观点和研究手段，也有力地推动着其他一些数学分析学科的发展，如在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的运用。泛函分析还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要工具。可以说，把泛函分析应用到自然科学（特别是物理学）的各个方面，都取得了极大的成功。20世纪30年代末期，人们又发展了巴拿赫的代数理论，利用泛函分析的抽象方法轻而易举地解决了古典分析中的复杂问题。这既显示出了泛函分析方法的优越性，又有力地促进了该门学科的发展。
（六）抽象代数
抽象代数是从19世纪初开始萌芽并发展、成长起来的。19世纪80年代，数学上从有限置换群的概念向抽象群的方面发展，并以通用的形式逐步前进，这就是建立抽象代数学的先声。而深刻研究群以及其他相关的概念，比如域、环、模、代数等，并把这些相关概念运用到代数学的各个部分，从许多分散出现的具体研究对象中抽象出它们的共同特征来进行公理化的研究，促进了抽象代数的更进一步的演进，完成了以前相对独立发展的三个主要方面（群论、代数数论、线性代数以及代数）的综合。对抽象代数学的形成、发展和传播作出杰出贡献的主要是以德国数学家为群体的德国学派。
抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律，研究由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构（群、环、域、模、代数、格等）的性质为中心。由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，而且代数结构及其元素具有很强的一般性，因此，抽象代数学的研究在整个数学中最具奠基性。抽象代数学的方法和成果也很容易渗透到一些与它相接近的各个不同的数学领域中，从而形成了一些有新面貌和新内容的边缘学科，比如代数数论、代数几何、拓扑代数、泛函分析等。抽象代数学对现代数学的发展发挥着极其显著的基础性作用，被认为是现代数学的支柱之一。它在其他一些科学领域，比如理论物理、结晶学等学科，也有着非常重要的影响和作用。
随着数学分支中各分支学科理论的发展和应用的需要，抽象代数学受到极大的启发、促进并不断发展。特别是20世纪40年代末以来，作为线性代数的推广的模论的进一步发展，泛函数、同调代数、范畴等新概念、新领域建立和发展起来了，对抽象代数的某些领域的研究，都将对许多代数结构甚至整个数学结构的研究产生深刻的影响。
（七）拓扑学
拓扑学起初叫形势分析学，形是指一个图形本身的性质，势是指一个图形与其子图形相对的性质，比如纽结和嵌入问题就是有关势方面的问题。拓扑学是中文的音译，它最早是由J.B.利斯廷在1847年提出的。
1851年，德国数学家、数学物理学家B.黎曼(G.Riemam,1826～1866)在研究复函数时认为，要研究函数和积分，就必领研究形势分析学（即图形的性质、纽结与嵌入等方面的问题），拓扑学的系统研究从此开始。到了19世纪末20世纪初，拓扑学已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学两个研究方向，经过众多数学家几十年来的艰辛努力，拓扑学已形成了一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学等几大重要分支。
简要地讲，拓扑学所研究的是几何图形的某些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意变形下能够保持不变，条件是图形在变形过程中，既不使原来不同的点溶化为同一个点，又不产生新的点。也就是说，在原来图形上的点与变换了的图形上的点之间存在着-一对应关系，并且邻近的点仍为邻近的点。这种思想若用"连续性"来表达的话，拓扑学所研究的就是在一个变换及其逆变换都是连续变换（亦即同胚）的情况下，几何图形所表现出的不变性质，以及对这些性质进行表述，对这些几何图形进行分类等。
拓扑学是现代数学的重要基础学科，它的基本思想方法在现代数学的几乎所有领域都有应用，并且在其他学科中也得到日益广泛的应用，拓扑学的基本内容已成为现代数学工作者必备的数学常识。
三、数学的应用
（一）数学在自然科学中的应用
自然科学无疑是最早应用数学的科学，比如古希腊和古代中国的天文学等都实际地应用了数学。17世纪即数学大发展的世纪--以微积分的建立为标志，数学既来源于自然科学的需要，而自然科学的需要又极大地推动了数学自身的发展。它们的相互作用与共同促进，使数学在自然科学中的应用更加广泛而深入。物理学的基本规律基本上都是用数学方程来表达的，像万有引力方程、电磁场方程、爱因斯坦引力场方程、规范场方程、量子力学方程等，都是用数学方程表达的当代物理学的基本规律，这些方程既是物理学的一部分，又是物理学的精髓所在。同样，在化学、生物学、天文学、地学等自然科学领域，数学都是作为一种科学方法而广泛使用的；在经济学与其他人文科学中，数学也有广泛的应用。
（二）数学在工程技术上的应用
将技术问题转化为数学的方法来解决，比如应用数学的推理、计算等方法而不直接去做那些实际上难以做到或不安全的实验，或作事后的修补等。因此，数学对工程技术具有重大的影响和作用。当今，科学与技术日益呈现出统一的势头．这将使数学在其中扮演非常重要的角色，其应用也将更加广泛而有效。比如在大型工程中，周密的计算、精确的数据往往是建设大型工程的基础。像我国的三峡水利工程这样举世瞩目的超大型工程，需要解决的大型工程计算是非常众多的。如施工中大体积的混凝土在凝结过程中的化学反应所产生的热，会使坝体产生不均匀的应力，甚至形成裂缝而危害大坝安全。在以往，一般都要花费大量的财力进行事后修补。而现在，可以应用计算的方法动态模拟混凝土在施工过程中的温度、应力和徐变状况，从中分析、比较、优选各种施工方案。大坝建成后，还能应用动态模拟的计算方法进行监控和测算，以确保大坝的安全等。
应用最优控制理论和新的计算方法，能够优化冶金、化工的生产过程和某些工艺参数。比如，我国的攀枝花钢铁公司，因为建立了提钒工艺流程的系统优化的数学模型，使钒的冶炼提取与回收率等，都达到了国际先进水平，使我国从钒进口国一跃成为钒出口国。
（三）数学向社会科学的渗透
随着科学技术的进步及其对人类社会生活的广泛影响，使社会科学领域某些学科的研究变得日益复杂，一些自然科学的研究方法、问题观点甚至个别结论也日益渗透到社会科学各门学科的具体研究中，从思想方法、逻辑证明、精确分析、数理统计等方面给予社会科学广泛影响。
当前，自然科学向社会科学渗透的一个重要特点之一就是数学的广泛应用及其对社会科学研究方法的影响。比如，在现代经济学中，如果缺乏使用数学的概念、思想、方法对经济活动进行论证和分析，那么，这样的经济行为就难以达到应有的效果，宏观经济结构也可能失调并导致社会经济发展战略的失败，因此有人认为，一位不懂数学的经济学家决不会成为杰出的经济学家。在1969年至1981年间颁发的13个诺贝尔经济学奖中，有7个是定量经济学方面的。
（四）数学在军事与国防上的应用
数学在军事与国防上也有广泛的应用，比如，西方作战理论中的"N一平方律"，即"交战双方的有效战斗力正比于其战斗单位数的平方与每一单位的平均战斗力的乘积"。按照这一规律，如果一万的武器系统的单位平均效能为另一方的4倍，则后者只要在数量上集中两倍以上的兵力就可以抵销前者武器质量上的优势。也就是说，对于劣势装备的一方，集中优势兵力有着非常重要的意义。而这一研究结论，即表述作战过程的"N一平方律"就是应用数学的方法和数学模型得出来的。
在我国的国防建设中，之所以能在很短的时间内研制成功原子弹、氢弹以及其它先进武器，一个非常重要的原因是我国有许多优秀的数学家参加了这项工作。比如，我国的试验次数仅为西方国家的l／10，从原子弹到氢弹只用了2年8个月，在较短时间里成功发射火箭和卫星等等，这其中凝聚着许多数学家的心血和智慧。
（五）数学在其他方面的应用
在环境保护与预防自然灾害方面，可以应用数学的方法对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题进行分析和模拟，从而有效地保护环境与预防灾害。在农业经济的发展和生态农业的开发上，应用一定的数学模型，能够对农业经济系统的优化、林业的开发、土地资源的合理使用等方面，提出有效、可行的对策。
总之，数学在自然科学、技术和人文社会科学的各个领域，得到普遍的应用，数学已成为各行各业的不可缺少的辩证辅助工具。随着数学内部的各分支学科间的相互渗透，数学与其他科学（如控制论）的相互渗透以及电子计算机的广泛使用。可以预测，数学的未来既有学科本身的发展活力，也有着广阔的社会需要以及宏大的科学技术背景。未来数学在推动经济发展、促进社会进步、提高公民素质等方面将发挥越来越重大的作用。
