lymex（BG2VO）在十年前发布了许多基本电学仪器DIY经历，几乎每个都从原理、设计、DIY过程、参考资料、制作感悟、理解方法等方面进行了深刻的阐述，为广大爱好者和职业工程师留下了宝贵的学习素材。为了避免这一系列经典湮灭，有空的时候我就转到这里来，不过完整的都已经转了，剩下的几乎都丢了图片或者损失了图片质量（包括这篇），转的动力就有所降低，除非当时的某些讨论与之有关。这篇原载38hot论坛，有改动。

正文

前言
电阻是最常见的电子电器设备的单位之一，电阻基准是各标准实验室必须保持的基准之一，精密电阻测量是常见的实验室操作。
不太精密的测量可以用万用表、电桥直接进行电阻测量。但精密的电阻测量，就不能直接用万用表测试了，哪怕是用最高档的8位半，年不确定度也是7ppm左右。
精密测量电阻采取的办法，不是直接测试，而是对比。一般是被测电阻与基准电阻进行对比。而为了能够准确的进行对比，要用到各种电阻比较仪器。
本文试图又浅入深探讨一下电阻的测量/对比方法，最后给出一个自制Warshawsky比较电桥的实例。

一、电阻的测量方法
1.1、直接测量法，也叫转换测量法、I-V法
测量时，把电阻欧姆先转换成别的量再测量。比如把被测量电阻施加以一个已知的电压，那么再测量流过电阻的电流，根据欧姆定律，这个电流与电阻成正比。因此，我们采用测量这个电压，就可以得到电阻值。
直接测量简单快速，但转换后很多因素直接参与误差贡献，比如恒流源的精度、电压表的精度都直接影响被测电阻值。
用质量/砝码的称量来举例，用弹簧称称量砝码，就属于直接测量，要求仪器的线性度良好，但也与重力、弹性等太多因素有关，误差可能比较大。
 
为了排除引线电阻和接触电阻的影响，可以采用4线测试。
四线测试首先要有个精密恒流源，用其中的2线接到电阻上。这样无论有多大的接触电阻和引线电阻，电流都是恒定的。
另外还有两个电压接点，由于电压表输入阻抗非常高，因此可以认为2根电压引线是没有压降的，因此无论有多大的接触电阻和引线电阻也都是没有影响的。

1.2、对比法
对比法就是用另外一个标准电阻与被测电阻进行比较，若二者平衡，那么对比指示为0或者居中。其优势是，不要求指示仪表的准确性。对比法根据被测量和标准量是否相等，可以再分成同值对比和不同值对比两种。
同值电阻对比，比如等臂电桥。由于电桥两臂相等，因此制造时可以做的一样，一致性和对称性可以做得很好，因此对比起来误差小；
非同值电阻对比，比如普通电桥。此时电桥臂的阻值不一样，因此采用的电阻就不一样（比如采用不同线径的电阻丝），测量时电压、发热情况也不一样，因此会存在更多的产生误差的机会。
用质量/砝码的称量来举例，常见的天平就是同值对比。而常见的杆称或者台秤就是非同值对比。无论如何，由于是对比，因此比如重力的变化就对称量没有影响。

1.3、替代法
其实，等臂电桥或者机械天平，尽管做的表面上很对称，但任何东西不可能做到完全对称，比如漏电阻、内部引线电阻、分压不均匀等。尽管可以用交换法来抵消一部分，但交换与替代有类似的地方。
替代法其实就是一种方法，是在以上两种方法的基础上，把被测量和标准不是同时异地，而是同地分时对比。先把标准放上去，电桥或者天平的另一端加个假负载（Dummy），调整平衡或者记下误差/读数后，把被测物换上来，重新调节平衡或读数。这样，由于臂长不一样、引线电阻不一致或者漏电等造成的因素可以几乎完全消除，只剩下短期稳定性而引起的可重复性是误差的来源，而这个误差可以通过多次测量来减少。
也就是说，有了对比法的器材，就可以进行替代法操作。历史上，曹冲称象可以说就是一个典型的替代法。
 
替代法之四线电阻法
如图，2个对比电阻的电流端直接串联（一直串联不转换），通以恒流电源，这样其接触电阻和引线电阻是不影响电流的。电压端可以切换对比。

二、常见的电阻比较仪器极其简单原理
2.1、单臂电桥
 
单臂电桥又叫惠斯通电桥（Wheatstone桥），这个四臂结构是直流电桥的基本形式。采用平衡原理，当两个臂的分压比一样的时候，电桥输出A、B两点的电位差就为零（平衡），此时有R1/R3=R2/R4，而且此平衡公式与电源电压、检流计的灵敏度参数等无关，因此广泛用于电阻测量。但另一方面，由于有不可避免的引线电阻接触电阻的影响，有一定误差，尤其是低电阻的时候误差比较大，例如，0.1Ω的引线和接触电阻一般难免，因此，用此电桥测量1kΩ的时候不要期待会有好于0.01%的结果，因此适合中等以上电阻的场合。
单电桥很重要的一个参数就是（相对）灵敏度，表明被测量电阻变化一个微小值后，输出电压变化了多少。
由于电阻的变化和输出的变化都用相对值来表示，因此又叫相对灵敏度。灵敏度的计算，很少见有文献描述，这里给出一个[1]：
 
这个公式看起来很复杂，但比较全。其中δ是某电阻相对变化率，Rg是电源内阻，Rd是检测器的输入电阻。
若检测器的电阻非常大（开路），而且另S=Ei/Eo/δ为相对灵敏度，那么公式将简化为：
 
如果再假设电源电阻为0，那么公式进一步简化成

\[S\text{=}\frac{1}{2\text{+}{{{R}_{1}}}/{{{R}_{3}}}\;\text{+}{{{R}_{3}}}/{{{R}_{1}}}\;}\]

即S = 1 / (2 + R1/R3 + R3/R1)。
这个公式里没有出现R2和R4，因为平衡时其比例与R1/R3相同。

2.2灵敏度
灵敏度代表了电桥因电阻失衡后的输出大小，当然是越高越好。那么如何提高灵敏度呢？显然，当R1/R3=1时，相对灵敏度最高，为1/4。换句话说，当上电阻等于下电阻时，灵敏度为最高。此时当某电阻有1%的变化，将有0.25%的电压输出。但若R1和R3不平衡，比如商品电桥进行1:10测量时，那么相对灵敏度为1/(2 + 10 + 0.1) = 0.083，比0.25小了不少（为1/3）。
同样可知，当进行1:100测量时，那么相对灵敏度为1/(2 + 100 + 0.1) = 0.0098，就小得更多了（为1/25.5）。
 
因此，为了能提高灵敏度，就要把电桥的检测点设计成电源电压的一半左右。
就这样一个小小的灵敏度公式，竟然很少有人来研究，没见到有人讨论灵敏度与比例臂的关系，更没有人画出上述的关系图。国内有一个文献[8]，尽管最后也得到了类似公式，但过重的强调了绝对灵敏度，把电源、检流计这些非电桥的参数也包含到了公式之中，而把最重要的桥臂比率对灵敏度的影响给忽略了。另外两篇[9][10]只是定性的分析了灵敏度。实际上，国内很多电桥产品都是仿造别人的、灵敏度低下的产品，而且定型了多少年都没有改变。国外研究灵敏度的人也很少，否则为什么NIST在电桥设计时一点也不考虑灵敏度？这一点当讲到Warshawsky电桥的会有说明。另外，国外的商品电桥产品也是一样，由于祖传的设计缺陷，灵敏度被设计成非常低。
那么灵敏度低的电桥有什么缺陷？
低灵敏度的电桥，分辨力不够，精度也下降。低灵敏度的电桥，势必要提高电源电压来补足灵敏度，那样会造成发热大，温度稳定性不佳，指标降低等弊病。
总结：
灵敏度最高为25%，理论上不可能再高了。
实际电桥，如果选择对称，是可以达到这个灵敏度的。

2.3、双臂电桥
双臂电桥又叫开尔文电桥（Kelvin桥），克服了接触电阻而引起的误差，适合低阻测量。双臂电桥的基本原理仍然是普通的电桥的平衡原理，但普通电桥测量时有难于克服的引线电阻和接触电阻，在低阻测量时尤其不能忽视。为了解决这个问题，Kelvin在最关键的Rx和Rs结合节点引入另外一个辅助桥臂，把这个讨厌的电压进行比例分配，因此大大的减少了引线电阻和接触电阻的影响。为了能够进行双桥测量，要求被测和被比较电阻必须是四端的。当然，精密电阻尤其是低阻标准电阻无一例外都是四端的。网上有一篇比较经典的文章介绍该电桥的原理可以参考[2]。

当然，上面的连接中图画的不太直观。现引用文献[1]中的图来说明。
与简单电桥比，双桥最大的变化就是右边的节点的展开。其中rA、rγ和r5分别代表两引线电阻和接触电阻，比较小，但上面有压降不能忽略，而这个压降从理想情况看应该按照Rx（被测电阻）和Rs（标准电阻）的比例来分配。事实上，新引入的辅助桥ra、rb就是干这个用的，其比值被同步的调节到Rx/Rs，而其引线电阻r3和r6又比较小，可以忽略，最后，总体误差就很小了。

另外，参考后边的QJ36实际接线图，双臂电桥实际上是首先是让两个电阻（标准和被测）从电流端外部串联，然后通以相同的电流，把电阻比较转化成电压后再进入电桥内部进行比较，电流端根本就不进入电桥。比较的过程中，用了另外一个电压可以调节的臂来解决的。另外，电阻Ri采用了一个尽可能短粗的铜质连接棒，以便减少电阻，以为这个电阻是与误差直接成正比的。
 
双臂电桥的弱点就是结构比较复杂，而且灵敏度比较低（由于设计原因和低阻原因），造成必须提高电压才能得到期待的分辨，但往往提高了电压就增加了电阻的消耗和发热，这是精密计量的大忌。我国和国际上都有规定，计量用的标准电阻在测试时不允许超过10mW的功率，这对于10k电阻就是10V，但对于1欧电阻就是0.1V，要想得到1ppm的分辨，就势必让检流计有0.05uV的分辨，同时要求其它误差都在这一水平，这对于双臂电桥也无能为力，因此发展出三次平衡电桥。

2.4、三次平衡电桥
三次平衡电桥的详细介绍参见文献[3]，不仅有原理，而且有操作步骤。
从结构上看，是在双桥的基础上，在两个引入电桥的电压端也加入了调节电阻ra和rb，这样，连同另外两个可调节的电阻rc、rd，四个电压端都接入了可调电阻。
从操作上看，通过短路S1和S2与否并调节RA、RC等6个可调电阻，使得任何左右对称的电阻，都要调节到与Rx和RT相同的比例。
从另外一个角度上看，双桥在单桥的一个节点上增加了一个辅助分压电阻，而这里的三次平衡电桥在另外两个节点上又增加了两个辅助分压电阻，而且与主电阻分别可调，因此才需要调节三次。三次平衡电桥的例子比如国产的QJ40、XQJ 3。

2.5、Warshawsky电桥
从双臂电桥的原理图可以看出，最根本的变化是在一个节点引入辅助分压。三次平衡电桥可以认为在三个节点上引入分压。事实上，电桥有4个节点，剩余节点上同样存在接触电阻和压降。把4个节点同时都进行辅助分压，就成为Warshawsky电桥。之所以这么称呼，是因为在1955年华沙夫斯基（Warshawsky）写了一篇文章[4]，详细介绍了此法。国内早期采用此电桥（称为四跨线电桥），并在早期的检定规范里（JJG 166-84）有介绍。
Warshawsky电桥的介绍文章有限，其原理将在下一节详细描述。

2.6、直接电流比较仪
直接电流比较仪，英文简写DCC，也叫直流比较仪式电桥，分辨力超高（1E-9），线性超高（1E-8），比较不确定度很高（1E-7之内）。
主要用与比较小电阻（1k以下），其原理是，让两个通过磁通平衡的装置可调比例的电流分别流过共地的被测电阻和标准电阻，这样其压差就可以用检流计/纳伏表非常灵敏的、直接的探测出来，调节比例让压差为0。而这两个电流是分别发生、用磁通平衡变压器来实现的，可以非常准确的调节比例。
 

这个在国际上被广泛用于测量1欧或者1k以下的电阻，图为加拿大MI公司的6010C，是一个全自动的DCC。国内的例子比如QJ55、QJ6675、QJ9975。

2.7、二进制分压器
二进制分压器，英文叫Binary Voltage Divider（BVD），也有叫Binary Resistive Divider（BRD），或者叫Cutkosky Divider，很明显是以发明者命名的（1978年）。与DCC适合测试低阻不同，BVD能够高精密的对比高阻，因此与DCC形成很好的互补。介绍二进制分压器的文章也很少，主要来自加拿大MI（测量国际）公司和美国Fluke公司。有两篇内容基本一样的文献[6][7]，其中[6]要好一些。
BVD的原理很简单，就是利用一个二进制分压器产生精密电压，通过检零计/纳伏表来得到两个比较电阻上的4个电压值，由此可以计算出两个电阻上的电压从而电阻比例精确可知。右图为加拿大MI公司的6000B高阻测量仪器，采用的就是这个原理，可以用来测量1kΩ到1TΩ之间的电阻，分辨和线性为25位二进制（3E-8），比较不确定度1E-7。
 

2.8、我自己的一种方法
与双臂电桥的一半相同，即让两个电阻（标准和被测）串联通以相同的电流，把电阻比较转化成电压比较。
为此，要做几个短期稳定的恒流源，比如100mA用于测试1欧，10mA用于测试100欧，1mA用于测试10k等。
至于如何比较这两个电压，有两个子方法。
A、采用Linear的LTC1043，把某个电压传递到另外一个的地上，即达到两个电压共地，这样就可以用检流计/纳伏表直接对比，达到高灵敏度、高分辨的目的。
 
B、用8位半万用表分别测量这两个电压，利用3458A的超级线性和超级转移特性（0.1ppm即1E-7），分别测试两个电阻上的电压，达到1E-7级别的比较精度。这样的比较不仅局限于两个相同电阻之间的比较，由于万用表的读数的通用性，可以测量一个范围内（10%-120%量程）的任何电压，都可以达到1E-7的比较精度，因此可以适合宽范围电阻的比较，包括10:1传递。

2.9、有关检流计/检零计/纳伏表
在电桥的测量中，必须检查电桥是否平衡，这就需要用非常灵敏的、探测电桥微小不平衡的设备。早期常见用检流计，国产的比如AC15系列，灵敏度从每格3E-10A开始（0.3nA），一直到1E-8A（10nA）。国外名字为GALVANOMETER。以前测量时，以低阻抗为主（比如1Ω），而此时电压低，要求电压灵敏度也高，但对于内阻没有什么要求，因此AC15的某些型号内阻有很低的比如40Ω。灵敏度达到每格0.1μV。但是，对于越来越多的高阻测量，这些检流计就不适合了，而是需要又能有高的电压分辨，同时又有高的输入阻抗。国外在80年代开始大量生产了所谓Null Detector（检零计），比如Fluke 845AR/AB（如图），具有1μV满量程档模拟显示，峰-峰值噪音仅为0.2μV，因此可以完全取代检流计。另外常见有Keithley 155 ，HP419，类似特点。这些检零计与检流计一样，最重要的用途就是看是否平衡，而不是用来读数的。尽管检零计有读数功能，但误差比较大，达到3%左右，因此大多情况下只用来辅助定性分析。由于现代计量的方便性，很多场合下不仅需要零检测，而且需要很准确的知道到底偏离了多少，因此检流计和检零计被逐渐淘汰，代之以纳伏表，一方面可以分辨到1nV，输入电阻很高，另一方面是数字读数，准确度很高，比如Keithley 181是6位半的。HP/Agilent 34420A是7位半的。当然，也有一些实验室，直接选择了8位半的万用表，利用了其良好的线性和准确性，同时又能够分辨出10nV的特点。数字表的输入电阻一般至少是10MΩ，这对于一般电桥足够了。而且绝大多数数字表和纳伏表在低量程下具有1GΩ的输入电阻。

三、Warshawsky电桥的原理
3.1、Warshawsky电桥的特点
从上面已经看到，Kelvin电桥是仅仅是在一个节点引入分压就消除了大部分接触电阻，三次平衡可以说是在两个节点引入分压，而Warshawsky电桥是在4个节点全部引入分压。
Warshawsky电桥是专用电桥，被测量比较电阻的阻值是固定的、单一的，比如10k，就只能用来测量10k电阻，不能用于别的阻值。这样，电桥内部没有开关触电，因此分压补偿电阻也都是固定的，容易做成高准确度的。
最后，Warshawsky电桥的内部每一个三叉节点，都是哈蒙（Hamon）连接。哈蒙连接的特点是，四点连接的任何两点通以电流，则另外两点电压为0，即真0电阻。三点连接的任何两点通以电流，第3点的分压为对称、均匀。这样，哈蒙节点实际上是起到进一步均匀对称分压的作用。在图形上看，哈蒙节点用一个三角形代表。

[原载网站遗失该图片]

3.2、节点分压原理
为了能够说明Warshawsky电桥的原理，我们先看一个节点，辅助分压电阻是如何解决化解接触电阻的。
首先我们知道，为了消除接线电阻，精密测量都采用4线方式。4端电阻接到电桥上，理想的接法如右图左。其中C是把两个电阻直接用粗短线连接起来，争取最小的接触电阻由此引入最小的可能电压，另外一个电压臂则通过接线柱接到电桥内部，合在一起，并接到检流计或者接电源。
实际上，粗引线也是有电阻的，而且各接线柱也都存在接触电阻，为了说明问题方便我们稍微夸张一些，把几个电阻都显性化，等价于右图。其中RC=0.1欧是包含了两个电阻的内部引线电阻、外部引线电阻和两个接线柱的连接电阻。另外两个电阻也包含了各自的上述全部电阻。假设测试电流从上而下是1mA，那么这3个电阻就相当于0.1Ω和0.15Ω的并联为0.06Ω，因此压降就是60μV，所以0.10Ω分得40μV，0.05Ω分得20μV。理想状况是各分得30μV，因此误差就是10μV。由于Rs或者Rx的电压为10V，因此10μV的电压就相当于1.0ppm，这个就不可接受了。

解决的办法就是增加两个稍微大一些的同值电阻，来冲淡接触电阻的变化。如图下图左增加了两个Rf=1kΩ，这个电阻的阻值一般不高于主电阻以便不太影响电桥的灵敏度，但应该远大于接触电阻。由于检测G的输入电阻很高，因此这点增加对灵敏度影响也非常小。
这样，原来右边原有的接触电阻就被串联，等价如右图。同样通过计算可知，节点电压此时变为100μV，增加了一些，但显然由于两个电阻的引入，使得分压将非常平均。计算结果表明，两个电阻分压的结果，上面分得50.00125μV，下面分得49.99875μV，只比理想的50仅差了0.00125μV=1.25nV，与10V相比，仅仅是0.000125ppm，要知道最高的基准也最多计量到0.001ppm，因此完全可以忽略了。
从这个例子也可以看到，1kΩ的电阻若变化了0.05欧也是完全允许的，这也就是0.005%，对于线饶电阻是容易做到的。

另外两个节点由于是对称的，因此特性是一样的，但我们不妨换一种方法重新分析一下。假设电流如图，先把连接开路，由于平衡则A、B两点等电位，可以算出压差为22μV，这是把0.1Ω电阻接上去之前的电压。由于从这点看进去，内阻是1kΩ+1kΩ再并上10kΩ+10kΩ，因此为1.8kΩ，并上0.1Ω电压会变成0.1Ω/1.8kΩ，也就是1.2nV，结果与上述很类似。
 

总之，Warshawsky电桥巧妙的利用了4对固定分压电阻，彻底解决了讨厌的引线电阻和接触电阻，而且不需要在测试的时候进行调节，这就大大简化了测试过程。当然，可以看到，Rf的选择要远大于接触电阻和引线电阻才可以，而这两个很难小于0.001欧甚至0.01欧，因此Rf应该在10欧以上才能较好的起作用，100欧很好，1000欧很理想了。这个原因，就限制了Warshawsky电桥只能用于电阻比较高的场合。进一步的计算表明，Warshawsky电桥用在100Ω电阻的比较上，理论上还可以做到0.01ppm，但对于10Ω电阻的 比较就降低到0.1ppm，1Ω电阻更降低到1ppm，这样就难于接受了。因此，Warshawsky电桥最适合用于100Ω或以上电阻的比较上。越高阻值就越适合Warshawsky电桥的发挥。但是，另一方面，Rf取到1kΩ或者10kΩ已经是足够大了，因为接触电阻加上引线电阻很少有大于0.01欧的标准电阻，所以，Rf没有必要随着主电阻的增加而增加。

3.3、实例分析
看一下来自美国国家标准局文献上的某原理图[5]。
 
这个是10k专用Warshawsky桥，省略了保护和自动部分。可以看到，这个电路其实有以下几个缺点：
A、灵敏度比较低。经过计算，灵敏度只有4.4%，仅为理想值（25%）的17%，非常低下。原因之一是臂电阻严重不对称，1:10的比例造成中点不平衡，这一点在国内外电桥电路中广泛存在。另外，辅助电阻选择10k，等价为电源内阻大增，有效电压减少近一半，也降低了灵敏度一半。
B、电路复杂，引入了10Ω等几个附加电阻。这样不仅要求参考臂降低为1kΩ，更主要的是接触电阻和开关有可能引入干扰和热不稳定。后引入的4个电阻和两个开关，其作用是通过试验的方法来确定电桥的灵敏度。而事实上，灵敏度完全可以精确的计算出来，根本不需要试验。
C、非对称，类似不等臂天平，使得几对电阻生产制造起来不完全一样（老化、温度系数），受热也不一样，这些都可能产生附加误差。
D、缺少一组辅助臂，为非完全Warshawsky桥。当然，这个辅助臂引入与否是最不关键的。
E、需要外部哑电阻（Dummy电阻Rd）。其实，除了Rx、Rs臂外，其它三个臂的任何变化，都将反映到测试结果之中。因此，并非Rd自己特殊。Rd做的再好，另外两个1kΩ电阻不争气也是没用。况且，四端的Rd在接入时，需要太多的引线，因热扰动、漏电阻和干扰等因素很可能引入额外误差。
再看一个来自同一文献的1M专用桥
[原载网站遗失该图片]

这个桥的灵敏度也太低了。他们难道不了解Rf的作用而只知道教条的蹈矩？把跨线电阻居然取1M这么大。
事实上，高阻桥，做补偿的意义都大大降低，就更别说用Warshawsky桥了。 
最后看一个在早期JJG 166-1984 直流标准电阻器检定规程里面引用的[11]
[原载网站遗失该图片]

图中：R--比较臂；
RB--被测臂；
R--比例臂；
RD--参考臂；
R1、R2、R3、R4--电源辅助臂电阻；
r1、r2、r3、r4--检流计辅助臂电阻；
ra、rb、r、rd--跨线电阻；
Ra、Rβ--屏蔽支路；
RC--检流计保护电阻；
RE--工作电流调节电阻；
A、E--分别为直流电流表、直流电源
四跨线电桥的电路参数按下表进行选择
[原载网站遗失该图片]

四跨线电桥平衡过程如下：
a.开关K闭合，调节RA，使指零仪指零；
b.开关K断开，调节r2，使指零仪指零；
c.反复a、b，至相邻两次RA的读数变化不超过表9规定的相应等级的一个读数单位，即CR，电桥平衡，得：
RB=RA/RC*RD
当RB或(RD)≥1Ω时，四跨线电桥只需进行一次平衡调节，即上述过程a对RA的调节，即可认为电桥平衡。
补充，最近发现了一篇IEEE的文章介绍这个桥，由于灵敏度低，不得不在后面加大放大，放大倍数达到100,000倍。
An Automated Guarded Bridge System for the Comparison of 10 k Standard Resistors
 

3.4、自己的10k Warshawsky电桥设计图
由于以上的缺点，自己重新设计了10kΩ Warshawsky桥，如图。
 
具有如下特点：
A、完全对称，4臂电阻均采用10kΩ，因此灵敏度大增，而且灵敏度为确定、已知。
（即便不完全对称，也可以把D与电源颠倒，灵敏度也提高）
B、所有的4个节点都用了辅助分压，一共用了8只1k电阻，属于真正Warshawsky桥。灵敏度因此从原来的4.4%提高到了17%，提高了4倍。如果算上电压总利用率，则从3.2%上升到了20%，提高了6倍多。
C、辅助分压电阻改成1kΩ，进一步提高灵敏度。现在，灵敏度可以达到22.7%，这已经是理想值（25%）的90.8%了！也就是说，假设电阻变化了1ppm，电压用13.2V，则会产生3.3uV的输出电压。
可以采用1k而不用10k的原因，上一节已经有说明，这里再具体看一下：
接触电阻和引线电阻的变差不超过0.05欧，因此当I1或I2开路时，两个1k的压降之差也不超过50微伏，I1或I2短路后可以减弱成1E-4，这就是5nV，是主电压5V的1E-9，可以完全忽略。尽管采用10k辅助电阻可以把这个误差减少到1E-11，但那没什么用途了。实际上，在100欧到10k欧的Warshawsky桥上换标准里采用了100欧，可以准确到1E-7，也基本够用了。经过计算，采用1k的辅助分压电阻，分压不确定度不超过1E-9，灵敏度降低很有限，达到较理想的状态。
D、把Rd改到内部。Rd的设计规格与RA和RB一样，要求短期稳定度高、噪音低、功率系数低。把Rd改到内部将减少因为电阻规格不一致、温度不一致、外部漏阻的影响。Rd如果放到外部，则很少有独立的电阻具备保护功能的。
E、电源用电池，并放到电桥内。这样，就能彻底解决因电源而带来的噪音和干扰问题。

3.5、自己的实现
这个Warshawsky桥需要8只精确匹配的1k电阻，而且制作这个桥还需要良好的外壳和众多低热电动势接线柱。采用esi SR1010/1k转移标准进行改造，则具备一切要素，真乃理想之物！
SR1010为原来esi生产（后卖给Tegam，现属于IET），而1k的我正好有两个，用一个改装成电桥则还有一个备用。
SR1010具有12只匹配到10ppm的1k线绕电阻，串联连接，而且具有26个接线柱，用很少的工夫就可以改好。
[原载网站遗失该图片]

细的电阻为原来1k，拆掉了4只保留8只。
拆掉的4只的空位置，正好是4个10k主臂。其中三个为RA、RB和Rd，如粗线所示，需要装到机壳里，另外一个就是测量位，用于接标准电阻和被测电阻。
按理说，Rs or Rx应该按照细黑线接到相邻两对接线柱上，但为了减少引线电阻，可以饶过两个短接线（打了黄叉的），直接接到绿色圈接线柱上，如黄线所示。
这样，接线图与原理图就一致起来。这样制作的桥，从理论上讲，只要接触电阻和引线电阻不大于0.1欧、变差不大于0.05欧（这两个条件很容易满足），采用分辨为0.01uV的数字表（如3458A、34420A），就可以把10k电阻的比对到4E-9（分辨）和5E-8（不确定度），而且没有任何可调节元件。同时，任何一个电阻的功率消耗不大于2.5mW，这也远小于通常采用的10mW的限制。

3.6、自己制作的照片/说明
原始SR1010/1k，此转移标准1985年生产，购于eBay，折合人民币大约2500元。

出厂测试数据标签，可见当时匹配的相当好

（其实这是另一个，待修改）
带有esi公司原厂封贴，说明22年来从来没被拆开过

两次实际测试值，单位ppm。可见平均年老化最大不到1.5ppm
电阻    原偏离    现偏差1    现偏差2    年变化
R1       -4.0        13.2        16.0         0.7
R2       -5.0        35.3        37.0         1.6
R3       -2.0       -33.8       -31.0        -1.4
R4       -4.0        25.4        28.0         1.2
R5       -3.0         2.9         4.0         0.2
R6        1.0        -1.2        -9.0        -0.4
R7       -4.0        -6.2        -4.0        -0.2
R8       -5.0        21.4        23.0         1.0
R9       -5.0        23.4        25.0         1.1
R10       -4.0        14.7        17.0         0.7
R11       -3.0         2.3         6.0         0.3
R12       -3.0       -12.6       -10.0        -0.4
平均值      -3.42        7.07        8.50        0.37

拆开，看内部镀金纯铜板做的Hamon节，用料非常扎实

拆下不用的4只线绕电阻和8个重型接线柱

安装10k电阻3组，分别用于电桥的三个臂RD、RA、RB。每组10k，采用Fluke精密仪器上拆下的19.999k 0.005%电阻8只串并联而成。多只串并联以后，可以减少几乎2/3的噪音，提高8倍功率储备，同时在老化、温度系数、可预测性尤其是短期稳定性上大大加强。
部分安装完毕侧面图：

内部安装完毕侧面图：

安装完毕底视图：

所用电阻局部图。P2.0就是温度系数为2ppm/℃的意思，N2就是-2ppm/℃：

内部安装电源和稳压电路，采用成品4节带保护电路锂电池，电压为14.4V，实际输出进行了稳压，采用低功耗和低压降集成稳压模块，输出电压13.2V，这样，每个桥电阻精确的控制在6V有效电压，既保持了很高的灵敏度（达到0.0333ppm每0.1uV），同时功耗为3.6mW，低于10mW的测试限制：

内部接线图：

面板图。可以看到各标识。其中两个箭头接纳伏表直接读出电阻偏差，四个Rx接被比较电阻，右边“开”为电源开关，左边“+/-”开关转换测试极性以便消除内部热电动势，“Li+”、“Li-”为锂电池充电用。可以看到两个灰色的外部连线，才用低热电势高绝缘的镀银铜线。左、右两个黄色接线柱为外壳屏蔽。

实际工作连接图。引线均为聚四氟乙烯绝缘镀银铜线，插头镀金：

四、Warshawsky桥的应用
4.1、Warshawsky桥的使用操作方法
与其它电桥类似，Warshawsky桥的使用也分成准备、接线、开电源、读数几个部分。具体操作可以参照标准电阻检定规程，这里只给出一些建议。
准备主要是预热均温，要把电桥和被比较电阻放到一个温度合适、温度变化很小、无风的环境中，并放置一段时间。刚拿到的标准电阻应放置足够长的时间以便排除搬运效应的影响。另外，纳伏表也要预热一段时间。
接线主要涉及外电阻的接线，应采用聚四氟乙烯绝缘的（镀银）铜线作为测试线，插头采用镀金插头，引线与插头之间采用压接而不是焊接。
开启电源后，应留出足够的时间让电路达到热平衡。好在每个电阻消耗很少的功率（3.6mW），电阻的体积比较大，在内部只引起大约0.05度的温升，影响不到0.02ppm，因此，热平衡的时间比较短。
电阻的切换是关键，最好用程控低热电动势开关自动进行，不仅减少差错，而且减少气流扰动和因接触热量的影响，提高切换和稳定速度。如果不具备自动切换的条件必须用手动进行，操作对插头进行拔插最好带手套以便对插头温度影响过大。插头可以设计成多个一组，用长绝热连接进行统一操作。拔插后应有充分的时间进行均热，但也不应过长以免电桥内部变化过大。
读数包括电桥平衡输出电压的测试和其它辅助量的测试。目前自己采用Agilent 纳伏表34420A，预热半小时以上，原厂低热电动势引线带叉型压片直接压接在电桥的接线柱上。纳伏表设置成NPLC=20、数字滤波50，量程1mV，分辨10nV（5位半）。经过对比，这样的设置比采用8位半的3458A要稳定10倍以上。读数之前要先等待1分钟，然后观察至少5次，排除最高和最低的两次，剩余3次取平均值。这样做以后，不同时间的读数差别可小到30nV之内，相当于0.01ppm。
另外，读数还包括辅助量和检查量，比如检查电池电压是否低于13.5V，否则要充电；温度等环境因素，当然包括必测的电阻内部温度，以便对电阻进行修正、对电阻温度系数进行修正。

4.2、Warshawsky桥的测试结果
为了建立本Warshawsky的技术特性，首先进行理论计算，以下指标中很多是设计值，即从设计时就保证的，比如各电压、灵敏度、允许测试引线电阻。但是，也有一些指标是设计制作中难于得到的，需要进行测试。
表：自制Warshawsky特性
指标    值    单位
适用电阻    10    kΩ
适用电阻误差（不大于）    1    Ω
电源电压    13.20    V
电压利用率    90.9    %
电阻测试电压    6.00    V
电阻测试功率    3.60    mW
相对灵敏度    3.00    μV/ppm
分辨力（不差于）    0.01    ppm
热电动势（不大于）    100    nV
热电动势（补偿后）    20    nV
短期稳定性（10min）    0.03    ppm
温度特性    0.2    ppm/℃
允许测试引线电阻    0.5    Ω
比较误差（最大）    0.1    ppm

经过近一年陈放，用3458A做检测，用DIY 2×4开关，对比两个SR104，取得了10分钟0.02ppm的稳定性结果。这个指标，比1年前说的0.03ppm的自稳定性（不切换）还要高。
[原载网站遗失该图片]
对比两个电阻方差能小到0.02ppm，就意味着可以观察更细小的变化，例如可以精确的测试温度系数、较快的得到老化结果，例如10ppm/年的老化，1天就是0.03ppm

4.3、Warshawsky桥的不足、改进和未来
Warshawsky电桥的不足在于比较复杂，通过把RD、电源、开关和换向开关放到内部，也增加了复杂性，但减少了操作连接的复杂性。
Warshawsky电桥的另外一个不足之处是只能测量单一阻值的电阻，多值的靠转换开关比较难，就更不用说万用了。尽管开始设计了双值桥，但由于转换复杂、互相影响而放弃。
Warshawsky电桥不适合做低电阻比较。自己计划再做一个100欧的Warshawsky电桥，这已经接近极限，比较误差计算值接近1ppm。如果再小，误差还要加大。理论计算表明，制作1欧的Warshawsky电桥已经没有实际意义。
国内早期有人做1欧的甚至亚欧的Warshawsky电桥，在1978年居然获得国家科技进步奖，甚至写进JJG166-1984规程。说句不客气的话，其设计人员并不真正理解什么是电桥的灵敏度，什么是电压利用率，什么是Kelvin节点的极限，进而无限延伸低阻测量下限。因此，分辨能力和测试的重复性根本做不好。后来，规程被改写，再也不提及这个电桥了，实物据说要进博物馆了。
瑕不掩瑜，适当制作的Warshawsky不仅方便使用，更主要的是性能超群、方便之极、价格低廉。Warshawsky最适合的阻值范围是100欧到1M之间，因此仍然大有用武之地。

参考文献
[1] [美] B.M.奥利涪等，《电阻测量和仪器》，p.184，张伦等译，科学出版社1978年9月第一版
[2] 双臂电桥测低电阻，XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/jpkc/g ... 2/grade2/XXXXXXXXml
[3] 国防科工委科技与质量司（组织编写），《电磁学计量》（上册），原子能出版社2002年北京第一版，p141-146
[4] Warshawsky, I.: Multiple-bridge Circuits for the Measurement of Small Changes in Resistance. Rev. Sci. Instr., vol. 26, p.711, 1955
[5] Randolph E. Elmquist, NIST Measurement Service for DC Standard Resistors. p.23. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/files/TN1458-WERB6.pdf
[6] Jeffrey S. Willey, Resistance Measurement Systems w/ sub ppm Accuracy's from 1μΩ to 1GΩ. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/media/pdfs/subppmresistancemeasurement.pdf
[7] Karl-Peter Lallmann, High Resistance Measurements.  XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/appnotes ... ce_Measurements.PDF
[8] 陈文皎，直流电阻计量的几个因素-《标准计量与质量管理》1992年6期，p28-31
[9] 李霞、张秀，惠斯通电桥灵敏度的探讨，孝感学院学报，2004年11月，p66-68
[10] 于华、赵德华，关于惠斯登电桥测电阻倍率与检流计灵敏度关系的研究，大学物理实验，2002年6月，Vol 15 No.2，p66-67
[11] 中国计量科学研究院， JJG 166-1984 直流标准电阻器检定规程
【全文完】

后续

2016年2月改进：增大电压。原来的电桥用4串锂电，稳压后电源13.2V、10k被测电阻的电压6V，不标准。
改进后用6串锂电，电池电压22.2V到25.2V之间，折合单节电压3.7V到4.2V，稳压后22V，这样10k被测电阻的电压就是标准的10V。
后加的2串电池放在立柱旁：

增大电压后，电桥的指标有所提高：

可以看到，灵敏度已经提高到5uV/ppm，这是离理想的10uV/ppm的一半，而理想的灵敏度只能通过1mA电流源法取得。

作者：张利民，2009年发表。