多普勒效应是波源和观察者相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源发出的频率并不相同的现象。对于静止的波源s和运动的反射体r，在波源s处接收到的反射波的频率f满足

$$ f=\frac{v_{0}-v_{r}}{ v_{0}+v_{r}}f_{0} \tag{1}$$式中，v₀为波的传播速度；v_r为反射体的运动速度（当反射体远离波源时，v_r为正）；f₀为波源发射的波的频率。对于本贴讨论的“微波”来说，它的波速为光速，即v₀=c。同时，电磁炮的弹丸运动速度v远远小于光速，所以有

$$|\Delta f|=\frac{2v}{c } f_{0} \tag{2}$$其中|Δf|是波源和反射波的频率差的绝对值。通过测量这个频率差，就可以求出弹丸运动速度。

$$ v = \frac{ c |\Delta f|}{2 f_{0} }=\frac{\lambda }{2 } |\Delta f| \tag{3}$$其中，λ是微波的波长。不过我们一般需要的是弹丸的位置，而不是速度，所以还需要把这个式子再处理一下。速度是“位置对时间的导数”，而频率是“相位对时间的导数”，所以对它两端积一下分，就有

$$ \Delta x = \frac{\lambda}{4\pi} \Delta\varphi \tag{4}$$$$ 位移=波长\times\frac{相位差}{4\pi} \tag{5}$$所以只需要检测波源和反射波之间的相位差，就能知道弹丸的位移。检测相位差的方法被称为“鉴相”。对于“弹丸位置检测”这个应用，我们既不知道反射波的幅度，也不知道它的相位。对此，一般鉴相方法的是，用波源和一个“与波源带90°相差的信号”，分别与反射波相乘。测量两个相乘结果的直流分量，然后代入一个简单的公式里，就能算出波源和反射波的相位差（以及反射波的幅度）。这种方案的好处是，它输出的是一个和弹丸位移相关的模拟量，也就是说原理上可以得到任意高的分辨率。不过这种方案目前市面上没有成品，需要自行制作。现在有些比较方便的芯片可以用，比如这个

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做这种几十GHz的系统，对仪器要求非常的高，短期内似乎不会有人来做这个。所以这里介绍另一种方法——过零点计数法

这种方案可以用市面上常见的“微波多普勒模块”来做，如下图。目前这种模块在淘宝上大约是20-30元一个，工作频率为24GHz。

图 1 24GHz微波多普勒模块

The Signal Path 上有关于这个模块的详细的测评。

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它的原理框图如下

图 2 微波多普勒模块原理框图以及各点信号波形

其中A为各点信号幅度，可以认为是未知量。发射天线发射的是一个正弦波；接收天线收到的是频率相同，但有额外相移的正弦波。整个模块输出的是相位差的函数，但是由于各点的幅度A未知，所以没法测量得到一个连续的“位置-时间关系”。

不过我们至少知道，当cos(φ)=0时，不论幅度A的值为多少，输出信号都会过一次零。所以，可以通过“数过零点的个数”来计算弹丸的位移，即前面提到的“过零点计数法”。结合图 2和式 4，可以知道弹丸每移动1/4个波长，模块的输出信号就会过一次零。不过需要注意的是，这里的波长不等于真空中的波长，而是要按“波导波长”来算，具体的我们稍后再说。

使用这种模块的时候，最简单的做法是：不加额外的结构，直接让模块的天线正对着炮管。如下图

图 3 最简单的用法

这里的“炮管”是一根内径8.1mm的不锈钢管。“弹丸运动”是通过徒手拉动一根约5mm直径的不锈钢棒来模拟的。场地布置如下

图 4 场地布置

当不锈钢棒在炮管内运动时，模块能输出几十mV级别的信号。如下视频

VID_20181129_090630_Trim.mp4 点击下载

之后可以接一级简单的放大，送给比较器检测过零点，然后传给单片机统计脉冲个数，进而确定弹丸位移。

对于这种无线系统来说，几十mV的信号可以说是非常强了（正常情况下输出信号应当是弱到可以淹没在示波器底噪里的）。这是因为炮管起到了“波导”的作用。不锈钢制的炮管可以当作是一个“圆波导”，能以很低的损耗传递电磁波，所以模块接收到的反射波幅度也会很强。类似于对着井口喊话，听到的回音要比“对着一棵树喊话”强得多，尽管井底的面积比树小得多。

图 5 24GHz的电磁波在8.1mm内径的圆波导中传播

然而“波导”也会带来两个问题。

一个是这种圆波导只允许频率足够高的电磁波在其中传播，如果电磁波频率太低（也就是波长太长），电磁波在进入波导后就会非常迅速地衰减，比如在一两个自由空间波长的距离上衰减几十dB，这个现象称为“截止”，对应的电磁波频率和自由空间波长则称为“截止频率”和“截止波长”。截止波长和波导的尺寸相关，对于圆波导，它的主模（TE11模）截止波长为1.707D，D为圆管的内直径。8.1mm的圆波导，截止波长为1.707*8.1=13.8mm，对应21.7GHz的电磁波，因此内径8.1mm的金属圆管中，只能传播频率高于21.7GHz的电磁波。

另一个问题是，波导会改变电磁波的波长，计算位移时要考虑到这个影响。电磁波在波导中的波长被称为“波导波长”，波导波长的计算方法如下

$$ \lambda_{g}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left( \frac{\lambda}{\lambda_{c}} \right)^{2}}} \tag{6}$$其中，λ为自由空间（无限大真空）波长，等于“真空中光速/电磁波频率”；λc为截止波长，圆波导主模截止波长为1.707D（D为圆管的内直径）。24GHz电磁波的自由空间波长=3*10^8/(24*10^9)=12.5mm，前文已知8.1mm圆波导的主模截止波长为13.8mm。因此图 4中的波导波长为

$$ \lambda_{g}=\frac{12.5}{\sqrt{1-\left( \frac{12.5}{13.8} \right)^{2}}}=33.1\; \rm mm \tag{7}$$这个计算结果与图 5中的仿真结果（约31mm）基本相符。因此使用24GHz模块和8.1mm内径炮管，弹丸每移动8.3mm，输出信号就会过一次零。

除了波导带来的问题以外，这个方案本身也会带来一些其他问题。比如微波多普勒模块要装在炮管的尾部，弹丸也要从这个地方进入炮管，所以供弹结构会影响到模块的工作。连发炮上使用这个方案的话，可能需要特别设计的机械和微波结构来消除这个影响。

另外根据The Signal Path上的测试，图 1中的这种模块的输出频率会随很多因素改变，如图 6。

图 6 模块输出频率随供电电压的变化

不过好在频率变化不大，只有万分之几，影响基本可以忽略。